Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Transkrypt

1 Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: y Do rozwiązaia tego zadaia wykorzystałem fukcję polcoe z biblioteki Numerical Recipes. Fukcja ta wyzacza metodą Lagrage a współczyiki wielomiau przechodzącego przez zadae pukty. Na wejściu otrzymuje tablicę ze współrzędymi i y zadaych puktów, ich ilość, oraz tablicę do której wpisywae są wartości współczyików wielomiau. #iclude "r.h" void mai(void) float [],, 3, 5, 6; float y[] 1, 3,, 5, 6; float coef[5]; it i; polcoe(, y, 4, coef); pritf("zalezioy wielomia:\"); for(i; i<5; i++) pritf("%f*^%d\", coef[i], i); Wyik działaia programu: zalezioy wielomia: 1.*^ *^ *^ *^ *^4 Wielomiaem przechodzą cym przez zadae pukty jest wielomia zaday wzorem: y

2 Poiżej zajduje się wykres fukcji tego wielomiau, wraz z aiesioymi węzłami iterpolacji: Zadaie : Zaleźć wielomia iterpolacyjy co ajwyżej 3-go stopia z oszacowaiem błędu dla y a przedziale <1; 9/4>. Zae są węzły: 1, 5/16, 16/9, 9/4. Korzystając z zer wielomiau Czebyszewa zaleźć optymaly wielomia dla tej fukcji. Oszacować wielomia wg. M+1 f ( ) W ( ) ( + 1 )! Do rozwiązaia tego zadaia posłużyłem się, podobie jak w poprzedim zadaiu fukcją polcoe z bibloteki Numerical Recipes. Najpierw wyzaczae są współczyiki wielomiau a podstawie zadaych węzłów, a astępie za pomocą zer wielomiau Czebyszewa. Optymalymi węzłami dla przedziału <a,b> są bowiem pukty: 1 m m b + 1 a ( ) cos π + ( b + a) #iclude "../umrec/recipes/r.h" #iclude <math.h> void mai(void) float [] 1, 5.f/16.f, 16.f/9.f, 9.f/4.f; float y[] 1, 5.f/4.f, 4.f/3.f, 3.f/.f; float c[4]; float yc[4]; float coef[4]; it i, m; polcoe(, y, 3, coef);

3 pritf("zalezioy wielomia:\"); for(i; i<4; i++) pritf("%f*^%d\", coef[i], i); pritf("\wezly czebyszewa:\"); for(m; m<4; m++) c[m].5*(([3]-[])*cos(pi*((.f*m+1.f)/8.f))+([3]+[])); yc[m] sqrt(c[m]); pritf("c%f\tyc%f\", c[m], yc[m]); polcoe(c, yc, 3, coef); pritf("\optymaly wielomia:\"); for(i; i<4; i++) pritf("%f*^%d\", coef[i], i); Wyik działaia programu: zalezioy wielomia:.38711*^.75417*^ *^.1918*^3 wezly czebyszewa: c.45 c c c yc yc yc yc optymaly wielomia: *^.7553*^1 -.16*^.1981*^3 Wielomiaem iterpolują cym dla zadaych węzłów jest wielomia zaday wzorem: y Oszacowaie błędu: f ( ) ( 4 ) 15 f ( ) 16 7 ( 4 ) 15 M4 sup f ( ) < 1; 9/ 4> f ( ) W( ) ( 1) Wielomiaem optymalym wykorzystującym jako węzły zera wielomiau Czebyszewa jest wielomia: y Oszacowaie błędu zgodie z wzorem f ( ) W ( ) M4 f ( ) W( ) ! M+1 1! : ( + ) 3

4 Wykresy fukcji obu wielomiaów iemal pokrywają się z wykresem fukcji iterpolowaej: Różicę między wielomiaem a itrepolowaą fukcją widać wyraź ie a wykresie fukcji ε( ) f ( ) W( ), a którym rówież widać wpływ zastosowaia węzłów Czebyszewa: 4

5 Zadaie 3: Obliczyć wartość wielomiau Newtoa dla zad.1 Do rozwią zaia tego zadaia apisałem własy program wyzaczają cy współczyiki wielomiau iterpolacyjego metodą Newtoa. Wielomia Newtoa ma postać: ( ) ( ) ( ; ) ω ( ) ( ; ; ) ϖ ( )... ( ; ;...; ) ϖ ( ) W f + f 1 + f f 1 1 Gdzie: ϖ ( ) ( )( ) K 1 ( ) f ( 1) f ( ) ( ; ), f ( ; ; ) f ( ; ) ( ; ) f f 1 1 Najpierw obliczae są potrzebe ilorazy różicowe: wartości fukcji w kolejych puktach zawarte w tablicy y zastępowae są przez koleje ilorazy różicowe, tz: y, f( ; 1 ), f( ; 1 ; ), itd. Następie wyzaczae są współczyiki wielomiau iterpolacyjego: w kolejych iteracjach astępuje dodaie do wielomiau W wyrażeia ω f ( ) #defie MAX 5 void mai(void) float [MAX],, 3, 5, 6 ; /* dae wejsciowe */ float y[max] 1, 3,, 5, 6 ; float omega[max] 1,,,, ; /* (-)*(-1)*...*(-i) */ float w[max],,,, ; /* szukay wielomia */ it i, j, k; /* obliczeie potrzebych ilorazow rozicowych */ for(j; j<max-1; j++) for(i; i<max-j-1; i++) y[max-i-1] ((y[max-i-1]-y[max-i-])/([max-i-1]-[max-i-j-])); /* obliczeie wspolczyikow wielomiau Newtoa */ for(i; i<max; i++) for(k; k<i+1; k++) w[k] + omega[k]*y[i]; for(kmax-1; k>; k--) omega[k] omega[k-1]-[i]*omega[k]; omega[] -[i]*omega[]; pritf("zalezioy wielomia:\"); for(i; i<max; i++) pritf("%f*^%d\", w[i], i); Wyik działaia programu: zalezioy wielomia: 1.*^ *^ *^ *^ *^4 i,... ;...;, a astępie wymożeie wielomiau ω przez dwumia (- i ). Wielomiaem iterpolacyjym jest więc wielomia y który jest idetyczy z wielomiaem wyzaczoym metodą Lagrage a (a więc został wyzaczoy poprawie). 5

6 Zadaie 4: Fukcja f()e / daa jest a przedziale <3.5; 3.8> za pomocą tablicy w odstępach,1. Obliczyć wartości fukcji w przedziale z odstępem,1. Wielomia iterpolacyjy Lagrage a dla rówoodległych wartości argumetu ma postać: ( ) y ω ( ) ϖ ( )... ϖ ( ) W gdzie: ϖ y y y h! h! h ( ) ( )( ) ( ) 1 K y y1 y, y y1 y,... Do rozwiązaia tego zadaia wykorzystałem zmodyfikowaą ieco wersję programu z zadaia 3. Różica polega a tym, że zamiast ilorazów różicowych wyliczae są różice progresywe, a w pętli wyzaczającej współczyiki wielomiau dochodzi jeszcze wyzaczaie współczyika 1/(h i!). #defie MAX 4 void mai(void) float [MAX] 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 ; float y[max] , ,.365,.3559 ; float ewy[41]; float omega[max] 1,,,, ; /* (-)*(-1)*...*(-i) */ float w[max],,,, ; /* szukay wielomia */ float f 1; float h [1]-[]; it i, j, k; /* obliczeie potrzebych rozic */ for(j; j<max-1; j++) for(i; i<max-j-1; i++) y[max-i-1] y[max-i-1]-y[max-i-]; /* obliczeie wspolczyikow wielomiau Newtoa */ for(i; i<max; i++) for(k; k<i+1; k++) w[k] + omega[k]*y[i]*f; for(kmax-1; k>; k--) omega[k] omega[k-1]-[i]*omega[k]; omega[] -[i]*omega[]; f * 1/(h*(float)(i+1)); pritf("zalezioy wielomia:\"); for(i; i<max; i++) pritf("%f*^%d\", w[i], i); 1 pritf("\wartosci wielomiau dla od 3.5 do 3.8 co.1:\"); pritf("\ty\"); for(f3.5; f<3.8; f+.1) float y ; float t 1; for(i; i<max; i++) y + t*w[i]; t * f; pritf("%.f\t%f\", f, y); 6

7 Wyik działaia programu: zalezioy wielomia: *^ *^ *^ *^3 wartosci wielomiau dla od 3.5 do 3.8 co.1: y Wielomiaem iterpolują cym jest wielomia y Za jego pomocą wyzaczoe zostały wartości fukcji w przedziale z krokiem,1. 7