Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Transkrypt

1 Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (porówujemy z jedostką) iteresującą as wielkość fizyczą (p. pomiar długości liijka), pomiar pośredi, czyli doświadczeie, w którym wyzaczamy wartość iteresującej as wielkości fizyczej przez pomiar iych wielkości fizyczych, związaych z daą wielkością zaym związkiem fukcyjym (p. pomiar prędkości (v) liijka (odległość s) + stoper (czas t); v=s/t). Wszystkie pomiary wykoywae są ze skończoą dokładością. Wyik pomiaru bez podaia dokładości (czyli iepewości pomiaru) jest bezwartościowy. Niepewości i błędy pomiarowe Błędy grube pojawiają się w wyiku pomyłki eksperymetatora (p. odczyt a iewłaściwej skali przyrządu) lub awarii przyrządów. Zwykle są oe a tyle duże, że moża je łatwo zauważyć. Niepewości pomiarowe możemy podzielić a: systematycze przesuwają wyiki pomiarów w jedą stroą w stosuku do prawdziwej wartości. Mogą mieć oe róże źródła: iewłaściwy sposób przeprowadzaia pomiaru (p. błąd paralaksy), stosowaie wadliwych przyrządów (p. waga szalkowa o różej długości ramio), założeia modelu przyjętego do opracowaia daych. Błędy te są zazwyczaj trude do wyelimiowaia. statystycze (przypadkowe) zmieiają się od pomiaru do pomiaru, powodując odchyleia od wartości prawdziwej zarówo w dół jak i w górę. Zakłada się, że spowodowae są oe przez wiele iezależych przyczy o porówywalym zaczeiu. Metody statystyki pozwalają a ich oszacowaie. Niepewości statystycze (przypadkowe) Niepewości przypadkowe moża zmiejszyć powtarzając day pomiar wielokrotie, czyli tworząc statystykę. Wyikiem będzie średia arytmetycza pomiarów, czyli wielkość ajbardziej zbliżoa do wartości prawdziwej (tzw. wartości oczekiwaej), wyrażająca się wzorem: x= 1 gdzie: to liczba pomiarów. Wielkością ajlepiej opisującą iepewość pojedyczego pomiaru (iepewość metody pomiaru) jest odchyleie stadardowe, wyrażające się wzorem: = S 1 x x 1 i x Natomiast wielkością ajlepiej opisującą iepewość wyiku serii pomiarów jest odchyleie stadardowe średiej arytmetyczej: 1/6

2 = S 1 x x 1 i x Widać, że: S xs x ; S x= S x tak więc: S (odchyleie stadardowe średiej arytmetyczej) moża x zmiejszać zwiększając liczbę pomiarów. Rozkład Gaussa Niepewości statystycze (przypadkowe) opisywae są rozkładem Gaussa, wyrażającym się wzorem: gdzie: x to wartość mierzoa, x 0 wartość oczekiwaa (prawdziwa), odchyleie stadardowe (miara iepewości). Rys.1 Rozkład Gaussa. Wiemy z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy daą wartość x. W przedziale [x 0 -S x,x 0 +S x ] mieści się 68,3% wszystkich wyików, atomiast w przedziale [x 0-3S x,x 0 +3S x ] mieści się 99,7% wszystkich wyików. Średia ważoa Mając wyiki z iezależych serii pomiarów tej samej wielkości: x A ± S x A moża zaleźć średią ważoą i jej iepewość, w astępujący sposób: x w = w A x A w B x B 1 S xw = w A w B w A w B i x B ± S x B z wagami: w A = 1 w B = 1 S x A S x B. Moża to łatwo uogólić dla wielu pomiarów. /6

3 Pomiary pośredie - propagacja iepewości statystyczych Pomiar pośredi to fukcja wielu zmieych (tutaj ograiczymy się tylko do dwóch). Jego iepewość wiąże się z iepewościami poszczególych zmieych, w astępujący sposób: z= f x, y z= S f x S x f y S y Przykłady: z=x y S z =1 S x 1 S y z=a x S z=a S x = a S x z=x y S z =y S x x S y z= x y S z= 1 y S x x y S y Niepewości systematycze Niepewości systematycze, których wielkość potrafimy oceić zazwyczaj związae są z przyrządem (urządzeiem), przy pomocy którego wykoujemy pomiar. Wyróżiamy: s x iepewość skali przyrządu (związaa jest z odległością między działkami a skali mierika, zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejymi działkami, choć gdy te są daleko moża przyjąć połowę tej odległości) k x iepewość klasy przyrządu k x= klasa zakres 100 Pomiary pośredie - propagacja iepewości systematyczych: Niepewość systematyczą pomiaru pośrediego oblicza się w astępujący sposób (przypadek fukcji dwóch zmieych): z= f x, y z= f f x x y y Zapis wyików końcowych z = z ± S z stat ± z sys [ jedostka] Wartość wielkości mierzoej i jej iepewość podajemy z taką samą dokładością. Zaokrąglając: podajemy ajwyżej dwie cyfry zaczące iepewości pomiaru (tylko te mają ses fizyczy), wyik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętego, do którego wyzaczoo iepewość pomiarową, 3/6

4 Przykład: Obliczeia: g= [ m s ] S g = [ m s ] Wyik: g =9.81 ± 0.1 [ m s ] Wyiki ajlepiej podawać w jedostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest w przedziale od 0,01 do 1000 (moża używać przedrostków:, m, M itd. lub otacji potęgowej: x10 6, x10-6 ): I= A S I = A akceptowale tylko w obliczeiach I=31.1 A S I =0.1 A I= A S I = A Niepewość względa i bezwzględa z iepewość bezwzględa z z iepewość względa z 100% iepewość procetowa z Przykład: L = 100 (1) mm L/ L = % Graficze przedstawieie wyików Wykresy Przedstawiając zbiór daych w postaci wykresu ależy pamiętać o wszystkich jego cechach, czyli: odpowiedio dobray zakres osi (ie zawsze muszą zaczyać się od zera), podpisy osi wraz z jedostkami, zazaczoe iepewości puktów pomiarowych, puktów pomiarowych ie połączymy liią łamaą, legeda wyjaśiająca co widać a wykresie. (a) (b) Rys. Przykład wykresu wykoaego źle (a) i dobrze (b). 4/6

5 Regresja liiowa: Często wielkości fizycze y związae są zależością liiową: y = ax + b. Współczyiki a i b moża obliczyć metodą regresji liiowej: a określa achyleie prostej, b to pukt przecięcia z osią rzędych (y). Parametry a i b zazwyczaj mają iterpretację fizyczą, a więc są wyrażae w odpowiedich jedostkach. Ich zajomość pozwala wyzaczyć iektóre wielkości fizycze. Rys.3 Prosta dopasowaa metodą regresji liiowej. W metodzie tej parametry a i b dopasowae są tak, aby zmiimalizować sumę kwadratów odchyleń współrzędych zespołu puktów o współrzędych (, ) od prostej y = ax + b : = a b =mi S yi Rys.4 Regresja liiowa ilustracja metody ajmiejszych kwadratów. Gdy wielkości zostały zmierzoe z idetyczą iepewością, czyli S = Sy = cost, a iepewości wielkości x są zaiedbywalie małe w porówaiu z iepewościami wielkości y to parametry a i b wyrażają się prostymi wzorami (tzw. regresja zwyczaja lub klasycza): 5/6

6 a= W S a =S y W b= x i W S b =S y W gdzie: W = x i Zalecaa literatura i źródła iteretowe [1] J. R. Taylor, Wstęp do aalizy błędu pomiarowego, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa [] H. Szydłowski, Pracowia fizycza, PWN, Warszawa [3] G. L. Squires, Praktycza fizyka, PWN, Warszawa 199. [4] A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 5, zeszyt 5, 001, str [5] [6] 6/6