Modele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017

2 1

3 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej z dokładościa do składika losowego. Zmiea czasowa t jest to zmiea, której realizacje będace kolejymi liczbami całkowitymi, sa przyporzadkowae poszczególym jedostkom czasowym według zasady astępstwa czasowego. Najczęściej sa to liczby aturale t = 1,2,...,, gdzie liczba obserwacji w szeregu czasowym.

4 kostrukcja formala, za pomoca której przedstawia się przebieg badaego zjawiska w czasie. Zapis formaly ma postać: Y t = f (t) + U t, t = 1,2,...,, gdzie f (t) fukcja tredu, U t składik losowy. Składik losowy charakteryzuje efekty oddziaływaia a badae zjawisko wahań przypadkowych. Zakłada się przy tym, że jego wartość oczekiwaa wyosi 0, atomiast wariacja jest skończoa.

5 Podstawowym problemem w metodzie aalityczej jest określeie postaci aalityczej fukcji f (t). Przy jej wyborze kierujemy się zazwyczaj astępujacymi przesłakami: wybraa fukcja powia być prosta aalityczie; parametry strukturale fukcji powiy być iterpretowale; ależy wybierać fukcje, których parametry moża estymować klasycza metoda ajmiejszych kwadratów; wybraa fukcja powia być zgoda z empiryczymi wyikami badań.

6 Powyższe przesłaki powoduja, że w praktyce ajczęściej wykorzystywaymi fukcjami sa: fukcja liiowa: Y t = α 0 + α 1 t; fukcja parabolicza: Y t = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 ; fukcja potęgowa: Y t = α 0 t α 1; fukcja wykładicza: Y t = α 0 α t 1 ; fukcja hiperbolicza: Y t = α 0 + α 1 1 fukcja logistycza: Y t = α 1+βe rt. t ;

7 Wszystkie wymieioe fukcje moża sprowadzić, po dokoaiu pewych trasformacji, do postaci liiowej, dlatego skupimy się a estymacji liiowej fukcji tredu. Załóżmy więc, że fukcja tredu ma postać: y t = α 0 + α 1 t + u t, gdzie: y t poziom badaego zjawiska w jedostce czasu t; t zmiea czasowa (t = 1,2,...,); u t realizacje składika losowego; α 0,α 1 parametry liiowej fukcji tredu.

8 Parametr α 1 określa, jaki jest przecięty okresowy przyrost badaej zmieej Y w aalizowaym przedziale czasowym, zaś parametr α 0 wskazuje a teoretyczy poziom tej zmieej w tym okresie, dla którego t = 0. Parametry α 1 i α 0 szacuje się stosujac klasycza metodę ajmiejszych kwadratów, otrzymujac ich ocey w postaci: a 1 = y ti t i y t i=1, a 0 = y a 1 t, ti 2 t 2 i=1

9 gdzie: y średia arytmetycza zmieej Y w przedziale czasowym [1,]; t średia arytmetycza zmieej czasowej, y ti realizacje zmieej Y w okresie t i (i = 1,2,...,). Po oszacowaiu parametrów strukturalych fukcji tredu koiecza jest ocea jej jakości. Ocea ta dokoywaa jest w oparciu o pewe kryteria.

10 KRYTERIUM BŁEDU LOSOWEGO Obliczamy dwie wartości: odchyleie stadardowe składika losowego (resztowego) (Y t Ŷt) 2 S u =, k gdzie: Y t wartości empirycze zmieej (t = 1,2,...,), Ŷ t wartości teoretycze (wartości tredu) zmieej objaśiaej, k liczba szacowaych parametrów tredu (czyli k = 2 dla fukcji liiowej). Parametr te mówi, jaki - przeciętie biorac - bład popełiamy szacujac poziom badaego zjawiska a podstawie fukcji tredu.

11 współczyik zmieości losowej V u = S u Y 100%, gdzie Y średia arytmetycza zmieej objaśiaej. Miara ta określa, jaki procet średiego poziomu badaego zjawiska staowi odchyleie stadardowe składika resztowego. Z reguły przyjmuje się, że jeżeli V u (10 15)%, to bł ad losowy modelu tredu moża uzać za relatywie mały i w kosekwecji oceić model za dopuszczaly z puktu widzeia tego kryterium.

12 KRYTERIUM DOKŁADNOŚCI OPISU BADANEGO ZJAWISKA Obliczamy dwie wartości: współczyik zgodości: φ 2 = (Y t Ŷt) 2 = ϕ 2. (Y t Y ) 2 Mierik te przyjmuje wartości z przedziału [0, 1] i określa, jaka część badaego zjawiska ie opisuje wybraa fukcja tredu. Im współczyik zgodości jest bliższy 0, tym dokładość opisu tredu przez zastosowaa fukcję jest lepsza.

13 współczyik determiacji: R 2 = 1 φ 2 = 1 ϕ 2. Miara ta rówież przyjmuje wartości z przedziału [0, 1] i określa, jaka część zmieości badaego zjawiska jest wyjaśioa przez fukcję tredu. Jeśli R 2 1, tym model tredu jest lepszy. Umowie przyjmuje się, że jeśli φ 2 20%, to model tredu jest dopuszczaly z puktu widzeia tego kryterium. Warto jedak zazaczyć, że o przyjętej ormie graiczej decyduje podmiot badajacy.

14 KRYTERIUM PRECYZJI SZACUNKU PARAMETRÓW MODELU TRENDU W tym celu oblicza się błędy średie szacuku oce parametrów fukcji tredu, a astępie porówuje się je z tymi oceami. Jeśli otrzymaa relacja (umowie biorac) jest większa od 2, to moża uzać, że day parametr fukcji tredu został oszacoway precyzyjie. Jeśli fukcja tredu jest liiowa, to błędy średie szacuku oce parametrów dae sa wzorami: S u S u D(a 1 ) = =, (t t) 2 t 2 t 2

15 S 2 u t 2 D(a 0 ) = = (t t) 2 S 2 u t 2 ( t 2 t 2 ) Ocey parametrów tredu liiowego uzamy za precyzyje, jeśli: t 1 = a 1 D(a 1 ) > 2, t 2 = a 0 D(a 0 ) > 2. Oszacowaa fukcję tredu moża astępie wykorzystać do sporzadzeia progozy. Progozę zmieej Y a okres T otrzymuje się przez ekstrapolację fukcji tredu, czyli przez podstawieie do modelu w miejsce zmieej czasowej t jej realizacji właściwej dla okresu progozowaego T..

16 Załóżmy, że realizacja ta wyosi t T. Wtedy y P t T = f (t T ), t T >, czyli w przypadku liiowej fukcji tredu: y P T = a 0 + a 1 t T. Tak skostruowaa progoza jest progoza puktowa. Ocea jej jakości dokoywaa jest przez obliczeie średiego błędu progozy ex ate według wzoru: D(yT P ) = S u (t T t) 2 t 2 t 2 oraz względego błędu progozy ex ate według wzoru: V P = D(y P T ) y P T 100%.

17 Z reguły przyjmuje się, że jeżeli: V P 5% to progoza jest wysoce precyzyja, 5% < V P 10% to progoza jest dostateczie precyzyja, V P > 10% to progoza ma iedostatecza precyzję. Należy jedak wyraźie podkreślić, że o tym, czy progozę przyjać, czy też odrzucić decyduje jej odbiorca. Przykład.