Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Transkrypt

1 Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay z liczby, Potrafi obliczyć trudiejsze graice związae z e. Cele operacyje: Uczeń Umie w przybliżeiu podać wartość stałej Eulera, Oblicza złożoe graice, Umie przekształcić fukcję wykładiczą a fukcję logarytmiczą, Stosuje pozae wzory w trudiejszych zadaiach, Doskoali umiejętości korzystaia z kalkulatora matematyczego lub tablic matematyczych, Uświadamia sobie istotość czasu i oprocetowaia dla fukcji oszczędzaia. Pozaje dodatkowe wzory przydate przy działaiach a logarytmach. Zasady auczaia: Świadomego i aktywego udziału uczia w procesie auczaia i uczeia się, Przystępości, Wiązaia teorii z praktyką, Systematyczości. Metody pracy: Pogadaka dyskusja, Metoda poszukująca, Ekspoująca iterdyscypliarość matematyki (oraz jej pięko). Formy pracy Praca w zespole klasowym, Praca samodziela. Środki pracy Kartki z zadaiami, Rzutik cyfrowy (ewetuala prezetacja rozwiązań z zał. 2.).

2 Wprowadzeie N: Prosi o przypomieie wzoru a procet składay, defiicję logarytmu, graicy, oraz sam podaje przykłady obliczeia logarytmów i graic. U: Przypomiają wzór, defiicję oraz podają przykłady. N: Pogadaka a temat istotości oszczędzaia, oraz sposobów a powiększeie efektywości oszczędzaia. U: Odpowiadają, dlaczego warto oszczędzać. I jakie są ajpopulariejsze sposoby oszczędzaia. Część główa N: Rozdaje kartki z zadaiami. Zad 1. Paradoks skąpej wdowy. U: Ucziowie starają się samodzielie rozwiązać zapropoowae przez auczyciela zadaie. O ile ie było wcześiej defiicji fukcji e, ależy pomóc ucziom w obliczeiu graicy. N: Dyskutuje z ucziami istotę paradoksu. U: Wyciągają wioski dotyczące paradoksu. Np. Mimo posiadaych ituicji praktyka moco rozmięła się oczekiwaiami. N: Zad 2. Skąpa wdowa kotratakuje. U: U już samodzielie rozwiązują zadaie posiłkując się pomocą auczyciela i rozwiązaiem zad 1. N: Dyskusja sposobu myśleia wdowy. U: Ucziowie wyciągają wioski, p. ituicja, że procet w baku musi być jak ajwiększy jest poprawa. N: Zad. Czyżby wdowa zmądrzała? U: Samodzielie rozwiązują zadaie posiłkując się wcześiejszym rozwiązaiem (jest to zadaie tylko pozorie trudiejsze iż poprzedie). N: Dyskusja sposobu myśleia wdowy. U: Ucziowie wyciągają wioski, p. ilość lat ma zaczący wpływ a wysokość zgromadzoego kapitału. N: Zad 4. Droga do milioa. U: Samodzielie rozwiązują zadaie. N: Dyskusja sposobu myśleia wdowy oraz sposobem rozwiązaia zadaia. Po rozwiązaiu zadaia podaie ciekawostki przez auczyciela. U: Ucziowie wyciągają wioski, p. im wyższy procet tym większy kapitał będziemy uzyskamy, przy zbyt iskich odsetkach założoy cel może stać się bardzo odległy. N: Zad 5. Droga do milioa. U: Samodzielie rozwiązują zadaie. N: Dyskusja sposobu myśleia wdowy oraz sposobem rozwiązaia zadaia. U: Ucziowie wyciągają wioski, p. jeżeli ie mamy możliwości regulacji odsetek, pozostaje am regulacja ilości lat. Im więcej lat będzie działał asz procet składay tym większy będzie asz kapitał.

3 Podsumowaie lekcji. N: Podsumowuje lekcję kładąc szczególy acisk a owo pozae wzory potrzebe do obliczaia graic oraz zastosowaie matematyki do rozwiązywaia problemów stricte ekoomiczych. U: Aktywie uczesticzą w pogadace. Praca domowa W drodze do domu zajść do baku i zapytać się o oprocetowaie a kocie oszczędościowym. Czy przy ieskończeie częstej kapitalizacji uda się z 1500 zł w krócej iż 25 lat uzyskać 750 tys. zł? Porówaj kilka baków. Sprawdź, jakie oprocetowaie było by wystarczające. Udowodij tożsamość z ciekawostki 1 (wskazówka: skorzystaj ze wzoru a zamiaę podstawy logarytmu)

4 Załączik 1 (Karta z zadaiami) Zad 1 (Paradoks skąpej wdowy) Żyła sobie kiedyś pewa bardzo skąpa wdowa z kapitałem początkowym A. Wiedziała oa, że pieiędzy w skarpecie ie przybędzie, więc postaowiła, że odda swoje oszczędości do baku. Ale to ie mógł być zwykły bak! Nie dla chytrej wdowy, która tak dobrze za matematykę. Wdowa pomyślała: skoro zam wzór a procet składay i zależy o tylko od oprocetowaia, ilości lat oraz ilości kapitalizacji oddam do takiego baku, gdzie te zmiee są jak ajwiększe (oprócz ilości lat musi wystarczyć 1 rok). Chodziła, więc od baku do baku szukając odpowiediego miejsca. Zalazła bak, w którym oprocetowaie wyosi 100%. Teraz pozostała kwestia wyegocjowaia częstotliwości kapitalizacji w ciągu jedego roku. Wdowa wyegocjowała ajpierw kapitalizację co pół roku. Następie co kwartał, dalej, co miesiąc, tydzień, dzień, godzię, miutę. Ostateczie jej kapitał kapitalizować się będzie tak często jak często kasjer może wciskać eter. Wdowa wykrzykęła: TERAZ BĘDĘ BOGATA!! Czy wdowa rzeczywiście dobrze zała się a matematyce? Zad 2 (Skąpa wdowa kotratakuje) Wdowa pomyślała sobie tak: skoro bak mie oszukał to poszukam takiego, w którym jest troszkę miejszy procet i kapitalizacja ieskończeie częsta w ciągu roku. No i zalazła taki bak, w którym procet wyosił 80% wraz z odpowiadającą jej kapitalizacją. Oddała w ręce bakierów swój kapitał, B i pozostało jej tylko czekać. No ciekawe czy zowu uda im się mie oszukać!! wykrzykęła a koiec. Zad. (Czyżby wdowa zmądrzała?) Oszukali mie!! Jak mogli?? Teraz zostawię mój kapitał C a kilka lat. Niech będzie a lata w tym samym baku i a takich samych warukach. Co powiecie teraz?! Czy wdowa zmądrzała? Zad 4. (Droga do milioa) Wdowa zadowoloa wykrzykęła już odkryłam potęgę procetu składaego!! Ciekawe a ile lat muszę zostawić 1 tys. zł, aby przy tych samych warukach uzyskać milio złotych? Po ilu latach wdowa miałaby milio gdyby odsetki były bardziej reale tz. p. 6%? Zad 5 (Droga do milioa) Przy jakich odsetkach wdowa z 1 tys. zł uzyska milio złotych w ciągu 25 lat?

5 Załączik 2 (rozwiązaia) Rozwiązaie 1 Z waruków zadaia mamy: 1 Kapitał końcowy Akońońco = A 1 + gdzie jest ilością kapitalizacji w ciągu roku, a liczik ułamka jest oprocetowaiem (100% = 1). Możemy przyjąć, że liczba okresów kapitalizacji dąży do ieskończoości (w końcu asza wdowa długo szukała odpowiediego baku). Zapiszmy, więc po raz kolejy asz wzór, tym razem używając ciągu. Skorzystajmy rówież z własości graicy i obliczymy wartość ciągu. 1 Akońońco A A 1 = 1 + = + = A e 1. Dla przypomieia: poday ciąg zbiega do e. Stałej Eulera będącej częściej spotykaą, jaka podstawa logarytmu aturalego. W przybliżeiu e wyosi 2, Więc asza wdowa pomożyła swój kapitał miej iż trzykrotie. Czy a pewo tego się spodziewaliście? Odp. Wdowa ie zała się a matematyce tak dobrze jak sądziła. Uzyskała stopę zwrotu ok. 272% kapitału początkowego. Rozwiązaie 2 Kapitał początkowy B Odsetki r = 80% = 0, 8 Kapitał końcowy Bkońońco = B 1 + gdzie jest ilością kapitalizacji w ciągu roku. Zowu możemy przyjąć, że liczba okresów kapitalizacji dąży do ieskończoości. Zapiszmy asz wzór i obliczmy wartość kapitału końcowego. Bkońońco B B = + = + 1 = B e B 1 2, Gdy pod zakiem ciągu zmiea (w tym przypadku ) zajduje się w licziku, w graicy zajdzie się w wykładiku potęgi o podstawie e. A więc ogólie: r r 1 + = e Odp. Wdowa po raz kolejy ie spełiła swoich marzeń odośie kapitału. Stopa zwrotu 226% kapitału początkowego jest miejsza iż w zadaiu 1. Rozwiązaie Kapitał początkowy C Odsetki r = 80% = Ilość lat m = Aalogiczie, jedak korzystając już z pełego wzoru a procet składay:

6 1 C 1 końońco = C + = C + Przyjmując, że liczba okresów kapitalizacji dąży do ieskończoości otrzymujemy: C końońco = C 1 + = C 1 + = C = C 2,4 = C e = C e 4, C Gdy dodatkowo asz ciąg mamy podiesioy do jakiejś potęgi (w tym przypadku o wykładiku ) w wyiku otrzymujemy e podiesioe do tej potęgi. A więc ogólie: m 1 + ( e ) r r m 1+ = e Odp. Wdowa wykazała więcej rozsądku zostawiając kapitał a dłuższy czas. 421% Związae jest bezpośredio z okresem lat poświęcoych a czekaie. = Rozwiązaie 4 Kapitał początkowy 1 tys. zł =1 000 zł =10 Odsetki r = 80% = Ilość lat m = 10 e e m m 6 = = 10 = 10 m m l10 10 = 10 = 10 = m l10 = m l10 = m 6, m m 8, m = 10 ( e ) m Odp. Wdowa przy tak dużych odsetkach już po 8 latach Przypadek dla odsetek r = 6% = 0,06. Tok myśleia aalogiczy do pokazaego wyżej. m = m m l10 0,06 6, ,06 115,

7 Odp. Już po 116 latach (!!) od założeia takiej lokaty będzie moża mówić o iej: Prawdziwa milioerka Ciekawostka 1 Zachodzi tożsamość: Lub ogóliej Ciekawostka 2 Zachodzi tożsamość: log e l10 = 1 log x log a = 1 a a log x b x = b log x a Rozwiązaie 5 Kapitał początkowy 1 tys. zł =1 000 zł =10 Odsetki r Ilość lat m = 25 Aalogicze rozumowaie doprowadza do rówaia: 0 = 10 e r l10 = 0r l10 = r 0 6, m 0 m 0, Odp. Oprocetowaie ok. 2 % pozwoli w ciągu 0 lat uzbierać wdowie milio.

8 Bibliografia: Praca zbiorowa pod redakcją Witolda Mizerskiego, Tablice matematycze, Wydawictwo Adamat, Warszawa 2002 G. M. Fichteholz, Rachuek różiczkowy całkowy, PWN, Warszawa 1999 G. Gabor, Wykład Aaliza matematycza 1 dla kieruku Nauczaie matematyki i fizyki, UMK, Toruń 2005