8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

Transkrypt

1 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi. Najczęściej jest tak, że osoba podejmująca decyzję może wybrać tylko taką decyzję, która jest zgoda z pewymi warukami ograiczającymi (a przykład wyikającymi z fiasowych możliwości iwestycyjych iwestora-decydeta). Decyzję taką azywa się dopuszczalą. Okazuje się jedak, że iwestor może mieć do dyspozycji kilkaaście wariatów iwestycyjych, spośród których kilka spełia waruki ograiczające, czyli ma do wyboru kilka decyzji dopuszczalych. W świetle celów, które stawia sobie decydet (a przykład celem tym może być maksymalizacja stopy zwrotu z iwestycji), jede decyzje mogą okazać się lepsze, a drugie gorsze. Powstaje zatem pytaie: którą decyzję wybrać? Decydet będzie chciał wybrać oczywiście decyzję ajlepszą według określoego kryterium (we wspomiaym przykładzie aszym kryterium jest maksymalizacja stopy zwrotu z iwestycji), które kwalifikuje decyzje jako lepsze lub gorsze. Kryterium to azywa się kryterium wyboru (ocey), a podjęta według tego kryterium decyzja osi azwę optymalej. Należy podkreślić w tym miejscu, że kryterium wyboru jest rzeczą bardzo istotą przy podejmowaiu decyzji - bez jej określeia ie jesteśmy w staie wskazać decyzji optymalej. Waruki ograiczające opisywae są ajczęściej za pomocą układów rówań lub (i) ierówości. W rówaiach tych (lub ierówościach) mogą występować pewe z góry ustaloe dae zwae parametrami oraz wielkości, których wartości ależy ustalić, zwae zmieymi decyzyjymi. Oprócz waruków ograiczających w zadaiu decyzyjym mogą rówież występować waruki dotyczące zaku zmieych (p. waruek ieujemości zmieych decyzyjych jeżeli zmieą decyzyją jest a przykład wielkość produkcji jakiegoś wyrobu; oczywiste jest, że ie moża produkować ujemej liczby jedostek tego wyrobu) lub typu tych zmieych (waruek ich ciągłości, całkowitoliczbowości lub biarości ). Zmiee całkowitoliczbowe i biare azywa się zmieymi dyskretymi (bo mogą przyjmować wartości tylko z określoego, przeliczalego (dyskretego) zbioru). Decyzje dopuszczale, spośród których będziemy wybierać decyzję optymalą, będą utożsamiae z takimi wartościami zmieych decyzyjych, które zapewiają spełieie wszystkich waruków ograiczających opisujących daą sytuację decyzyją. Jako kryterium wyboru decyzji będziemy używali pewej fukcji zmieych decyzyjych i parametrów zadaia, która będzie "mierzyć" osiągięcie założoego celu. Fukcja ta osi azwę fukcji kryterium albo fukcji celu. Zadaie decyzyje jest to opis w języku matematyczym rozpatrywaego problemu, tz. waruków ograiczających, kryterium wyboru i decyzji. Przykładem ciągłej zmieej decyzyjej, czyli takiej, która może przyjmować wartości ze zbioru ciągłego może być zmiea opisująca p. ilość produkowaej eergii elektryczej przez elektrowię, wartość sprzedaży przedsiębiorstwa, akłady a reklamę itp. Nie ma potrzeby, aby wartości tych zmieych były całkowowitoliczbowe, bo moża produkować p.,3 MW eergii elektryczej. Przykładem zmieej całkowitoliczbowej może być zmiea opisująca liczbę sztuk samochodów produkowaych przez fabrykę, liczbę pracowików przydzieloych do staowiska pracy, liczbę wariatów projektów przyjętych do realizacji itp. Waruek całkowitoliczbowości jest wymagay poieważ ie moża wyprodukować p. 3,7 samochodu. Zmiee biare to takie, które mogą przyjmować tylko dwie wartości: 0 lub (możemy je iterpretować jako: fałsz i prawda). Przykładem takiej zmieej może być zmiea opisująca, czy day projekt będzie realizoway () czy ie (0), czy zakład produkcyjy zlokalizujemy w daym pukcie (), czy ie (0) itd.

2 Wybór decyzji optymalej polegał będzie a ustaleiu takiej decyzji dopuszczalej, przy której fukcja celu osiąga wartość ajkorzystiejszą (miimalą lub maksymalą, w zależości od sytuacji decyzyjej). Sformułowaie zadaia decyzyjego w postaci ajbardziej ogólej wygląda astępująco: zaleźć taką decyzję dopuszczalą x * ależącą do zbioru Ω decyzji dopuszczalych, że (8..) f ( x * ) = extr{ f ( x) : x Ω} gdzie f ozacza fukcję kryterium atomiast extr ozacza rodzaj ekstremalizacji (mi - dla miimalizacji, max - dla maksymalizacji wartości fukcji celu f). Częściej, ale miej dokładie zapisuje się to w postaci: (8..) f ( x) max dla x Ω lub f ( x) mi dla x Ω Opisaie sytuacji decyzyjej w języku matematyczym (budowa tzw. modelu matematyczego rozpatrywaego zagadieia) umożliwia sprowadzeie problemu wyboru optymalej decyzji do rozwiązaia pewego jedozaczie określoego zadaia matematyczego. Zadaie to osi azwę zadaia programowaia matematyczego. Powio oo zawierać astępujące elemety, o których wspomiao wcześiej: parametry zadaia, czyli wielkości, które są dae; zmiee decyzyje, czyli wielkości, które mają być wyzaczoe; waruki ograiczające, czyli waruki ograiczające, które musi spełiać dopuszczala decyzja i sformułować je w postaci rówań i ierówości wiążących zmiee decyzyje z parametrami zadaia; fukcję celu, czyli fukcję zmieych decyzyjych określającą stopień osiągięcia zamierzoego celu. Sformułowae zadaie (8..) dzieli się a kilka kategorii, od których zależy sposób rozwiązaia zadaia i rodzaj użytej metody. W zależości od tego, jakiego rodzaju są fukcje opisujące cel i waruki ograiczające możemy mieć do czyieia z dwoma rodzajami zadań: liiowymi zadaiami decyzyjymi (LZD) - kiedy wszystkie fukcje ograiczeń są liiowe i liiowa jest fukcja kryterium; ieliiowymi zadaiami decyzyjymi (NZD) - kiedy przyajmiej jeda z fukcji ograiczeń jest ieliiowa lub ieliiowa jest fukcja kryterium. W zależości od tego, jakiego typu są zmiee decyzyje możemy mieć do czyieia z astępującymi rodzajami zadań: zadaiami ciągłymi - kiedy wszystkie zmiee decyzyje są ciągłe; zadaiami dyskretymi - kiedy zmiee decyzyje są dyskrete; wśród tej grupy zadań wyróżiamy zadaia całkowitoliczbowe (wszystkie zmiee są całkowitoliczbowe) i zadaia biare (wszystkie zmiee biare); zadaiami mieszaymi - kiedy część zmieych decyzyjych jest ciągła, a część - dyskreta.

3 Poadto możemy mieć do czyieia z sytuacją, kiedy cel opisyway jest ie za pomocą jedej fukcji kryterium (p. zadaie doboru optymalego portfela akcji maksymalizującego zysk), ale za pomocą wektora fukcji kryteriów (p. zadaie doboru optymalego portfela akcji maksymalizującego zysk i jedocześie miimalizującego ryzyko). W pierwszym przypadku mamy do czyieia z zadaiami jedokryterialymi, a w drugim - z zadaiami wielokryterialymi. W związku z podziałem przedstawioym wcześiej będziemy rozróżiać astępujące zadaia programowaia matematyczego: zadaia programowaia liiowego (PL) - są to zadaia liiowe i ciągłe; zadaia programowaia liiowego całkowitoliczbowe (PCL) - są to zadaia liiowe i całkowitoliczbowe; zadaia programowaia liiowego biare (PBL) - są to zadaia liiowe i biare; zadaia programowaia liiowego mieszae (PML) - są to zadaia liiowe i mieszae; Takiego samego podziału moża dokoać w przypadku zadań ieliiowych. W praktyce ajczęściej występują jedak zadaia zdefiiowae powyżej. Dodajmy, że dziedzią auki, która zajmuje się aalizą celowych działalości (operacji), geerowaiem i oceą ilościową różych decyzji kierowiczych są badaia operacyje (ag. operatios research) w ramach których mieści się zarówo budowa modelu matematyczego zagadieia, formułowaie zadaia programowaia matematyczego, które jego dotyczy, jak i metody rozwiązywaia tego zadaia. Do rozwiązywaia sformułowaych zadań programowaia matematyczego wykorzystuje się specjalizowae pakiety komputerowe, w których zaimplemetowae są metody rozwiązywaia różych zadań. Najczęściej użytkowik obsługujący taki pakiet ie musi deklarować metody jakiej ależy użyć do rozwiązaia zadaia - program sam dopasowuje metodę do rodzaju sformułowaego zadaia. Oczywiście istieją rówież ie metody, które ie wymagają zastosowaia komputera (p. metody graficze, metody tabelkowe), ale z racji charakteru książki ie będziemy się imi zajmować. Zaiteresowaego tą tematyką Czytelika odsyłamy do specjalistyczej literatury z zakresu metod optymalizacji. W Tabeli 8.. przedstawioo ajczęściej wykorzystywae oprogramowaie komercyje w wersjach ogólodostępych, jak i płatych wraz z adresami poczty elektroiczej. Oprócz pakietów komputerowych umożliwiających rozwiązywaie zadań programowaia matematyczego istieją rówież całe systemy służące modelowaiu i rozwiązywaiu problemów decyzyjych. Jedym z ajbardziej popularych jest system GMS ( sales@gams.com, Nie zawsze istieje potrzeba korzystaia ze specjalizowaych (i drogich) pakietów komputerowych (tzw. solver ów) do rozwiązywaia zadań programowaia matematyczego. Czasami wystarcza oprogramowaie, które mamy "pod ręką". Dlatego też w rozdziale 8.3 opisao sposób wykorzystaia arkusza kalkulacyjego Microsoft Excel do rozwiązywaia zadań programowaia matematyczego. W kolejych rozdziałach opiszemy w skrócie sposoby defiiowaia różych rodzajów zadań programowaia matematyczego w kotekście przykładowych decyzji iwestycyjych. Tabela 8... Zestawieie programów do rozwiązywaia zadań optymalizacji liiowej i ieliiowej 3

4 Nazwa oprogramowaia Właściwości 3 dres CPLEX S,M ifo@cplex.com C-WHIZ S,M ketroms@erols.com LPS-867 S, M ifo@mai.aae.com SS/OR S, M saseph@ux.sas.com HI-PLEX S i.maros@ic.ac.uk MINTO M marti.savelsbergh@isye.gatech.edu CONOPT N ifo@arki.dk LNCELOT N N.I.M.Gould@rl.ac.uk SOPT N saitech@momouth.com 8. Przykłady formułowaia decyzyjych zadań iwestycyjych 8.. Decyzje iwestycyje jako zadaia programowaia liiowego Ogóla postać zadaia programowaia liiowego (PL) jest astępująca: (8..) c max (mi) j= j x j (8..) a x b, i = m j= ij j i, (8..3) a x b, i = m + p j= ij j i, (8..4) a x = b, i = p + r j= ij j i, (8..5) x j 0, j =, gdzie. Wzór (8..) opisuje fukcję celu. Rówaia i ierówości (8..) (8..5) opisują waruki ograiczające. Każdy wektor x = x, x, x,..., x ) zmieych decyzyjych (których jest ) ( 3 spełiający waruki (8..) (8..5) jest rozwiązaiem dopuszczalym zadaia PL (czyli wektory te tworzą zbiór Ω z (8..)). Rozwiązaie dopuszczale, dla którego fukcja celu (8..) osiąga wartość maksymalą (miimalą), azywamy optymalym. Parametrami w tym zadaiu są: współczyiki c j występujące przy zmieych decyzyjych w fukcji celu (jest ich ), współczyiki b i występujące jako wartości ograiczeń w każdym waruku ograiczającym (jest ich r), współczyiki a ij występujące przy zmieych decyzyjych w warukach ograiczających (jest ich r ). Poadto mamy m waruków ograiczających typu " ", p m waruków ograiczających typu " " oraz r p waruków typu "=". Dodatkowo, a zmieych spośród ałożoo waruek ieujemości. Przykład 8.. (decyzyje zadaie iwestycyje jako zadaie PL) 3 Legeda: S - algorytm simpleks rozwiązywaia zadań PL; M - algorytmy rozwiązywaia zadań PCL i PML; N - algorytmy rozwiązywaia zadań PN. 4

5 Iwestor pragie zwiększyć swój kapitał poprzez iwestowaie w długotrwałe przedsięwzięcie przy jedoczesym zwiększeiu swoich dochodów bieżących. Zbadał róże wariaty iwestycyje i podzielił je a cztery grupy: stosukowo duże ryzyko przy jedoczesym wysokim dochodzie bieżącym i zaczym wzroście potecjału gospodarczego; źródło o zaczym ryzyku, wysokich dochodach bieżących lecz miejszym wzroście potecjału gospodarczego; 3 źródło o małym ryzyku, zaczym wzroście potecjału gospodarczego lecz stosukowo iskim dochodzie bieżącym; 4 źródło o małym ryzyku, iewielkim wzroście potecjału gospodarczego i stosukowo wysokich zyskach bieżących. Ze względu a elemet ryzyka iwestor chce ograiczyć udział iwestycji typu i do, co ajwyżej, 30% wartości iwestycji. Dla podwyższeia potecjału gospodarczego chce iwestować co ajmiej 40% w iwestycje typu i 3. Przy tych ograiczeiach pragie o maksymalizować swoje dochody bieżące mierzoe za pomocą średiej stopy zwrotu z iwestycji, wiedząc, że szacowae stopy zwrotu z poszczególych iwestycji wyoszą odpowiedio: iwestycja 6%, iwestycja 7%, iwestycja 3 3%, iwestycja 4 5%. Kwota przezaczoa a iwestycje wyosi zł. Podać jak ależy rozdzielić posiaday kapitał, aby otrzymać maksymaly dochód bieżący. Zauważmy, że z treści zadaia wyika, iż mamy dobrać udziały poszczególych czterech iwestycji w portfelu iwestycyjym w taki sposób, aby maksymalizować średią stopę zwrotu z tego portfela. Ozaczmy przez x j ( j =, 4) udział i-tej iwestycji w portfelu iwestycyjym, a przez R j ( j =, 4) stopę zwrotu z j-tej iwestycji. Zadaie optymalizacji dotyczące tego zagadieia będzie miało postać astępującą: 4 (8..6) f ( x ) = R j x j = R x + Rx + R3x3 + R4x4 = 6x + 7x + 3x3 + 5x4 max j= (8..7) x + x 0. 3 (8..8) x + x (8..9) x = x + x + x + x = j= (8..0) 0, j =, 4 x j j 3 4 Zauważmy, że zadaie powyżej sformułowae ie odbiega od schematu zadaia PL przedstawioego przy użyciu wzorów (8..) (8..5). I tak: wszystkie ograiczeia są liiowe i fukcja celu też jest fukcją liiową; liczba zmieych decyzyjych =4; liczba ograiczeń r=3, w tym: liczba ograiczeń (m) typu : m=, liczba waruków ograiczających (p m) typu " ": p m= p=, liczba waruków ograiczających (r p) typu "=": r p=; współczyiki c j ( j =, 4) fukcji celu: c =6, c =7, c 3 =3, c 4 =5; 5

6 współczyiki b i ( i =, r =, 3 ) występujące jako wartości ograiczeń: b =0.3, b =0.4, b 3 =00; współczyiki a ij ( i =, 3 ; j =, 4) występujące przy zmieych decyzyjych w warukach ograiczających (zapiszemy je w postaci macierzy =[a ij ] r o wymiarach r, czyli 3 4): = Wzór (8..6) opisuje fukcję celu, którą jest średia stopa zwrotu z portfela iwestycji (por. wzór (3.4.4) a oczekiwaą stopę zwrotu z portfela wieloskładikowego). Formuła (8..7) odpowiada za ograiczeie, że łącze udziały iwestycji r i r w portfelu muszą być ie większe iż 30% wartości portfela. Formuła (8..8) zapewia am, że łącze udziały iwestycji r i r 3 w portfelu będą ie miejsze iż 40% jego wartości. Rówość (8..9) zapewia sumowaie się wszystkich udziałów do 00%. Po rozwiązaiu zadaia (8..6) (8..0) (p. za pomocą Solver'a w arkuszu Excel 4 ) * otrzymujemy astępujący wyik: x = 0. 3, x * = 0, * 0. 0 * x 3 =, x 4 = 0. 6 oraz wartość fukcji celu rówą: ( * * * * * * f x ) = = 5., gdzie x = ( x, x, x3, x4). Zatem posiaday przez iwestora kapitał zł ależy rozdzielić astępująco: iwestycja 30% ze zł = zł; iwestycja 0% ze zł = 0zł; iwestycja 3 0% ze zł = 000 zł; iwestycja 4 60% ze zł = zł. Podział te zapewi am średią stopę zwrotu z portfela iwestycji rówą 5.%. g 8.. Decyzje iwestycyje jako zadaia programowaia dyskretego Niektóre rodzaje decyzji iwestycyjych wymuszają dyskrety charakter zmieych decyzyjych. Jeżeli mamy a przykład zadaie polegające a zbudowaiu optymalego portfela składającego się z akcji kilku spółek, to możemy je rozpatrywać albo jako zadaie ze zmieymi ciągłymi, albo jako zadaie ze zmieymi dyskretymi. W pierwszym przypadku zmiee decyzyje będą ozaczać udziały poszczególych składików (akcji) portfela w jego wartości (udziały wartościowe ie muszą być liczbami całkowitymi) atomiast w drugim przypadku zmiee te mogą ozaczać liczbę akcji poszczególych spółek w portfelu (udziały ilościowe muszą być całkowite). Iym przykładem wykorzystaia zmieych dyskretych może być zadaie polegające a wyzaczeiu optymalej struktury produkcji fabryki samochodów produkującej róże ich modele. Rówież i w tym przypadku ie moża produkować iecałkowitej liczby samochodów. Zagadieia decyzyje, w których wszystkie zmiee decyzyje przyjmują wartości dyskrete azywamy dyskretymi zagadieiami decyzyjymi. Model matematyczy opisujący tę sytuację azywamy dyskretym zadaiem decyzyjym. Jak wspomieliśmy w 4 O sposobie wykorzystaia arkusza Excel do formułowaia i rozwiązywaia zadań programowaia matematyczego piszemy w rozdziale

7 rozdziale 8., będziemy rozróżiać dwa typy zadań dyskretych liiowych (bo do takich się ograiczymy): zadaia programowaia liiowego całkowitoliczbowe (PCL); zadaia programowaia liiowego biare (PBL); Sposób formułowaia zadaia PCL lub PBL jest bardzo podoby do sposobu formułowaia zadaia PL, z tym, że a zmiee decyzyje dodatkowo arzuca się waruek całkowitoliczbowości (PCL) lub biarości (PBL). Przedstawimy obecie przykłady dwóch problemów iwestycyjych, które zostały zdefiiowae jako zadaia PCL i PBL. Przykład 8.. (decyzyje zadaie iwestycyje jako zadaie PCL) Przedsiębiorstwo przewozowe zamierza zaiwestować w zakup samochodów ciężarowych do obsługi dwóch owo otwartych liii. Dae o poszczególych typach samochodów zawiera Tabela 8... Całkowita ładowość owych samochodów ma wyieść ie miej iż 40 t, a przebieg dziey ie miej iż 500 t/km. Ze względu a rodzaj przewożoych ładuków, samochodów drugiego typu powio być trzy razy więcej iż pierwszego. Wyzaczyć, ile samochodów poszczególych typów ależy zakupić, żeby łącza suma zakupów była możliwie ajiższa, przy spełieiu wcześiej przedstawioych wymagań. Tabela 8.. Dae o typach samochodów ciężarowych Dae Typy samochodów I II Ładowość (w t) 3 4 Przebieg (w t/km dzieie) Cea (w tys. zł) Ozaczmy przez x j ( j =, ) liczbę zakupioych samochodów j-tego typu. Biorąc pod uwagę dae zawarte w Tabeli 8.. oraz ograiczeia wyikające z treści, zadaie optymalizacji dotyczące tego zagadieia będzie miało postać astępującą: (8..) f ( x ) = 0x + 300x mi (8..) 3x + 4x 40 (8..3) 500x + 500x 500 (8..4) x = 3x (8..5) x j 0, j =, (8..6) x j całkowitoliczbowe, j =, Widać, że zadaie (8..) (8..6) jest zadaiem PCL, gdyż wszystkie ograiczeia i fukcja celu są liiowe, a wszystkie zmiee są zmieymi całkowitoliczbowymi. Fukcja celu (8..) opisuje całkowity koszt zakupu obu typów samochodów (tz. jest to koszt zakupu samochodów pierwszego typu rówy 0x plus koszt zakupu samochodów drugiego typu rówy 300x ). Ograiczeie (8..) zapewia am, że całkowita ładowość zakupioych samochodów (tz. ładowość samochodów pierwszego typu rówa 3x plus ładowość samochodów drugiego typu rówa 4x ) będzie ie miejsza iż wymagae 40 to. Ograiczeie (8..3) powoduje spełieie waruku a dziey przebieg zakupioych 7

8 samochodów. W rówaiu (8..4) zapisao wymóg a to, żeby samochodów drugiego typu było trzy razy więcej iż pierwszego. Pozostałe dwie grupy ograiczeń (8..5) i (8..6) zapewiają spełieie wymogu a ieujemość liczby zakupioych samochodów obu typów oraz a ich całkowitoliczbowość. * Rozwiązując to zadaie otrzymujemy optymale wartości zmieych decyzyjych: x = 6, * x = 48 oraz wartość fukcji celu rówą: f ( x * ) = = 790 tys. zł, gdzie * * * x = ( x, x), czyli, aby miimalizować koszt zakupu potrzebych samochodów i jedocześie spełić wymagaia ależy zakupić 6 samochodów pierwszego typu, 48 samochodów drugiego typu oraz wydać a te zakupy 790 tys. zł. g Przykład 8..3 (decyzyje zadaie iwestycyje jako zadaie PBL) Rozważmy astępujący problem wyboru iwestycji 5. Iwestor w kolejych okresach dyspouje określoymi fuduszami, które może przezaczyć a iwestycje. Ma do wyboru zadań iwestycyjych. Każde zadaie może być realizowae według jedego z kilku projektów. Oczywiście, z kilku projektów związaych z daym zadaiem iwestycyjym może być realizoway co ajwyżej jede. Z każdym projektem iwestycyjym związay jest dochód, który moża osiągąć dzięki realizacji tego projektu, oraz akłady iwestycyje, które muszą być poiesioe w poszczególych okresach. Rozpatrujemy horyzot plaowaia składający się z T okresów. Zadaia iwestycyje ie są iezależe. Wprowadźmy relację uzależieia U. Będziemy mówili, że i-te zadaie iwestycyje jest zależe od k-tego i zapisywali i, k U, jeżeli realizacja i-tego zadaia zależy od realizacji zadaia k-tego. W tym przypadku, jeżeli k-te zadaie jest realizowae, to może być realizowae także zadaie i-te. Jeżeli atomiast k-te zadaie ie jest realizowae, to ie może być także realizowae zadaie i-te. Przyjmijmy astępujące ozaczeia: liczba zadań iwestycyjych; T liczba okresów realizacji iwestycji; s i liczba projektów związaych z i-tym zadaiem, i =, ; c ij - dochód osiągay z realizacji i-tego zadaia według j-tego projektu, i =,, j =,s i ; b t - wielkość fuduszu, którym dyspouje iwestor w t-tym okresie, t =, T ; t b ij - akłady środków a realizację i-tego zadaia według j-tego projektu w t-tym okresie, i =,, j =,s i, t =, T. Zmieymi decyzyjymi będą: y ij, jeżeli i - te zadaie jest realizowe wedug j - tego projektu =, i =,, j =,s i. 0 w przeciwym przypadku Zagadieie wyboru projektów iwestycyjych maksymalizujących dochód iwestora sprowadza się do zalezieia takich wartości zmieych y ij, aby: 5 Opis problemu zaczerpięto z literatury. 8

9 i (8..7) c y max przy ograiczeiach: s i= j= (8..8) y, i = s i j= ij ij ij, (8..9) b y b, t =, T si i= j= s i s k (8..0) yij ykj, i,k U j= t ij ij j= (8..) y ij {0, }, i =,, j =,s i. t Zadaie (8..7) (8..) jest zadaiem PBL, gdyż wszystkie ograiczeia i fukcja celu są liiowe, a wszystkie zmiee są zmieymi biarymi (zapewia to waruek (8..)). Fukcja celu (8..7) maksymalizuje dochód iwestora z realizowaych iwestycji. Waruek (8..8) zapewia, że co ajwyżej jede projekt związay z każdym zadaiem może być realizoway. Ograiczeie (8..9) gwaratuje, że w każdym okresie akłady iwestycyje ie przekroczą posiadaego fuduszu środków. Dla zadań zależych waruek (8..0) s i y ij j= zapewia możliwość realizacji i-tego zadaia, tz. =, o ile zostaie wykoae s k y kj j= zadaie k-te, tz. =. Jeżeli to ostatie ie będzie zrealizowae, tz. = 0, to ie s i y ij j= ma możliwości wykoaia zadaia i-tego, = 0. s k y kj j= W celu lepszego zrozumieia sformułowaego zadaia przyjmijmy astępujące dae: liczbę zadań iwestycyjych: =3; liczbę okresów realizacji iwestycji: T=; liczbę projektów związaych z każdym zadaiem: s =, s =, s 3 =3; dochód (w tys. zł) z realizacji każdego zadaia według odpowiediego projektu iwestycyjego: c =3 c 3 = c = c 3 =5 c =4 c 33 =3 wielkości fuduszy (w tys. zł), którymi dyspouje iwestor w każdym roku realizacji iwestycji: b =0 b = akłady środków (w tys. zł) a realizację każdego zadaia według określoego projektu iwestycyjego, w każdym roku realizacji iwestycji: = b 4 b 3 = 3 b = b 3 = 6 b 3 b 5 b 5 b = = 3 = 33 = b b 4 b 4 b 3; = = 3 = 33 = 9

10 relacja U uzależieia zadań iwestycyjych jest astępująca: = {,3 } U co ozacza, że tylko zadaie iwestycyje r jest zależe od zadaia iwestycyjego r 3. Biorąc pod uwagę powyższe dae, zadaie (8..7) (8..) będzie miało astępującą postać (odpowiediki fukcji celu i poszczególych ograiczeń ozaczyliśmy jako (umer wzoru)' ): (8..7)' 3y + y + 4y + y3 + 5y3 + 3y33 przy ograiczeiach: (8..8)' y + y y y3 + y3 + y33 (8..9)' 4y + 3y + y + 3y3 + 5y3 + 4y y + 5y + 4y + 6y3 + y3 + 3y (8..0)' y + y y3 + y3 + y33 (8..)' y ij {0, }, i =, 3, j =,s i max 0 Rozwiązując zadaie (8..7)' (8..)' otrzymamy astępujący wyik: * y = y 3 = 0 * y = 0 y * 3 = 0 y * y * = * 33 = oraz wartość fukcji celu, dla tego rozwiązaia rówą: = 0. Otrzymae rozwiązaie sugeruje, że w celu maksymalizowaia dochodu iwestora ależy realizować pierwsze i drugie zadaie iwestycyje według projektu pierwszego atomiast trzecie zadaie - według projektu trzeciego. Zapewi to am maksymaly dochód z iwestycji rówy 0 tys. zł. g 8..3 Decyzje iwestycyje jako zadaia programowaia mieszaego Zadaia decyzyje, z którymi możemy się spotkać w praktyce iwestycyjej mogą mieć taki charakter, który wymusza waruek dyskretości a część zmieych decyzyjych, atomiast pozostałe zmiee mogą mieć charakter ciągły. Zagadieia decyzyje, w których ie wszystkie zmiee decyzyje przyjmują wartości dyskrete azywamy mieszaymi zagadieiami decyzyjymi. Model matematyczy opisujący tę sytuację azywamy mieszaym zadaiem decyzyjym. W praktyce ajczęściej mamy do czyieia z mieszaymi zadaiami programowaia liiowego (PML). Rówież i w przypadku tych zadań sposób ich formułowaia jest bardzo podoby do sposobu formułowaia zadaia PL, z tym, że a iektóre zmiee decyzyje dodatkowo arzuca się waruek całkowitoliczbowości lub biarości, podczas gdy pozostałe zmiee mają charakter ciągły. Przedstawimy obecie przykład problemu iwestycyjego, który zostaie zdefiioway jako zadaie PML. 0

11 Przykład (decyzyje zadaie iwestycyje jako zadaie PML) Rozpatrzmy astępujące zadaie. Firma produkująca jedorody produkt (p. piwo, cukier) ma m zakładów, z których towar dostarczay jest do odbiorców. Zamy popyt każdego odbiorcy. Łącza zdolość produkcyja zakładów ie pozwala pokryć zapotrzebowaia odbiorców. Stąd przewiduje się zwiększeie mocy produkcyjych przez budowę owych zakładów lub moderizację już istiejących. W starych zakładach produkcja jest prowadzoa według starej techologii, a w zakładach owych lub zmoderizowaych według owej techologii. Dla każdego istiejącego lub potecjalego puktu produkcji potrafimy określić początkową lub ową zdolość produkcyją. Koszt całkowity produkcji K w starym zakładzie ograiczamy do kosztu zmieego K z, gdyż koszt stały produkcji K s od as już w tym momecie ie zależy. Zakładamy zależość liiową między tymi wielkościami. W zakładach owych lub moderizowaych koszt całkowity składa się z kosztu zmieego oraz kosztu stałego. Koszt stały związay jest główie z amortyzacją akładów iwestycyjych. Zależość kosztu produkcji od rozmiaru produkcji rówież przyjmujemy jako liiową. Zamy także wielkość akładów, które musimy poieść a iwestycje w każdym pukcie. Wiemy, jaka jest cea sprzedaży towaru, określoa dla każdego odbiorcy, oraz jakie są jedostkowe koszty trasportu z każdego puktu produkcji do poszczególych odbiorców. Należy ustalić pla lokalizacji iwestycji, pla produkcji oraz pla trasportu towaru, aby dochód osiągay przez firmę był maksymaly. Przez dochód rozumiemy różicę między przychodem ze sprzedaży towarów, a kosztami produkcji powiększoymi o koszty trasportu. Przyjmijmy astępujące ozaczeia: m liczba zakładów produkcyjych; liczba odbiorców; M zbiór puktów, w których może być prowadzoa produkcja; M zbiór istiejących puktów produkcji (stare i zmoderizowae zakłady); M zbiór potecjalych puktów produkcji, w których lokalizowae są owe zakłady 7 ; b j popyt j-tego odbiorcy; a i początkowa zdolość produkcyja (podaż) i-tego puktu (i M ); d i owa zdolość produkcyja (podaż) i-tego puktu (i M); R wielkość środków, które możemy przezaczyć a iwestycje; r i wielkość akładów, które przezaczamy a iwestycje w i-tym pukcie; c i jedostkowy koszt zmiey w i-tym pukcie, gdy produkujemy z wykorzystaiem starej techologii; c i jedostkowy koszt zmiey w i-tym pukcie, gdy produkujemy stosując ową techologię; s i koszt stały (amortyzacja) w i-tym pukcie, jeżeli były prowadzoe iwestycje; c ij koszt jedostkowy trasportu od i-tego puktu do j-tego dostawcy; p j cea sprzedaży jedostki towaru j-temu odbiorcy. Wprowadźmy astępujące zmiee decyzyje: y i, = 0 jeżeli w i - tym pukcie budujemy owy zaklad lub moderizujemy stary, i M; w przeciwym przypadku 6 Zadaie zaczerpięto z literatury. 7 Zachodzi przy tym: M =M\M.

12 x i wielkość produkcji w i-tym pukcie, według starej techologii, i M ; x i wielkość produkcji w i-tym pukcie, według owej techologii, i M; x ij wielkość przewozu towaru od i-tego puktu produkcji do j-tego odbiorcy. Model matematyczy zagadieia rozmieszczeia produkcji sprowadza się do astępującego zadaia: zaleźć takie wartości zmieych decyzyjych y i, x i, x i, x ij, aby: (8..) p j xij si yi ci xi ci xi przy ograiczeiach: j= i M i M (8..3) r i yi R i M (8..4) xi di yi, i M (8..5) xi a y ), i M i ( i (8..6) x x + xi, i M j= (8..7) x ij xi, i M j= (8..8) x ij b j, j =, i M ij i i M i M i M j= (8..9) y i {0, }, i M (8..30) x i, x i, x ij 0, i M, j =,. c ij x ij max Zadaie (8..) (8..30) jest zadaiem PML, gdyż część zmieych to zmiee ciągłe ( i x, x i, x ij ), a część - zmiee biare (y i ). Wszystkie waruki i fukcja celu są liiowe. W fukcji celu (8..) pierwszy składik określa przychód ze sprzedaży towaru odbiorcom, drugi - koszty stałe produkcji, które poosimy, o ile są prowadzoe iwestycje, trzeci - koszt zmiey produkcji według starej techologii, czwarty - koszt zmiey produkcji według owej techologii, a ostati składik - łącze koszty trasportu. Waruek (8..3) zapewia, że a iwestycje ie przezaczymy więcej środków iż faktyczie posiadamy. Waruki (8..4) i (8..5) gwaratują, że produkcja według owej techologii ie przekroczy owej zdolości produkcyjej, a produkcja według starej techologii ie przekroczy początkowej zdolości produkcyjej oraz, że obydwie techologie ie będą stosowae jedocześie w tym samym zakładzie. Waruki (8..6) (8..7) zapewiają, że z żadego puktu ie wywieziemy więcej towaru iż wyosi jego produkcja a waruek (8..8), że każdemu odbiorcy dostarczymy ie więcej towaru iż wyosi jego popyt. Waruek (8..9) wyraża iepodzielość obiektów iwestycyjych. Zagadieie lokalizacji produkcji moża rówież rozpatrywać w wersji uproszczoej, gdy ie ma żadych starych zakładów, a za kryterium ocey przyjmiemy miimalizację łączych kosztów produkcji i kosztów trasportu. g

13 8..4 Decyzje iwestycyje jako zadaia programowaia ieliiowego Zależości związae z decyzjami podejmowaymi podczas aalizy iwestycji mają często charakter ieliiowy. Przykładem takiej ieliiowej fukcji jest fukcja określająca wariację stopy zwrotu wieloskładikowego portfela akcji (por. wzór (3.4.5)). Gdyby aszym zadaiem było dobraie udziałów poszczególych walorów w portfelu miimalizujących ryzyko (mierzoe za pomocą wariacji stopy zwrotu portfela), to mielibyśmy do czyieia z ieliiowym zadaiem programowaia matematyczego. Zadaie decyzyje azywamy ieliiowym, jeżeli fukcja celu lub chociaż jede z waruków ograiczających są fukcjami ieliiowymi (p. kwadratowymi). Stąd rozpatruje się ieliiowe zadaia decyzyje (NZD) i odpowiadające im zadaia programowaia ieliiowego (PN). W poiższym przykładzie przedstawimy problem doboru optymalego portfela akcji jako zadaie programowaia ieliiowego (PN). Przykład 8..5 (decyzyje zadaie iwestycyje jako zadaie PN) Rozpatrzmy zagadieie doboru optymalego -składikowego portfela akcji. Chodzi zatem o to, aby tak dobrać udziały poszczególych akcji w portfelu, by: stopa zwrotu portfela R p (por. wzór (3.4.4)) była jak ajwiększa; ryzyko portfela V p (mierzoe za pomocą wariacji stopy zwrotu portfela (por. wzór (3.4.5))) było jak ajmiejsze. Tak zdefiioway problem decyzyjy jest problemem dwukryterialym (wrócimy do iego w rozdziale 8..5 poświęcoym zadaiom wielokryterialym), trudym do rozwiązaia w tej postaci. Najczęściej problem te aalizuje się jako dwa uproszczoe problemy jedokryteriale: problem I - ustalić taki portfel akcji, aby: a). stopa zwrotu portfela była jak ajwiększa; b). ryzyko portfela było ie większe iż ustaloy dopuszczaly próg wartości. problem II - ustalić taki portfel akcji, aby: a). ryzyko portfela było jak ajmiejsze; b). stopa zwrotu portfela była ie miejsza iż ustaloy dopuszczaly próg wartości. Przyjmijmy astępujące ozaczeia: liczba akcji w portfelu; R i oczekiwaa stopa zwrotu akcji i-tej spółki (por. (3.3.3)), x i udział akcji i-tej spółki w portfelu, i =, ; i =, ; s i odchyleie stadardowe akcji i-tej spółki (por. (3.3.6)), i =, ; ρij współczyik korelacji między akcją i-tej i j-tej spółki, i =,, j =, ; R pdop dopuszczaly (doly) próg wartości oczekiwaej stopy zwrotu portfela; V pdop dopuszczaly (góry) próg wartości wariacji stopy zwrotu portfela. Oba podproblemy moża zdefiiować astępująco: podproblem I - wyzaczyć takie wartości zmieych decyzyjych (udziałów) x i, aby: (8..3) x max i= i R i 3

14 przy ograiczeiach: (8..3) x j s j + x j s j xi si ρij Vpdop j= x i i= (8..33) = i= j= i+ (8..34) x 0, i =, i Zadaie (8..3) (8..34) ze względu a waruek (8..3) jest ieliiowym zadaiem decyzyjym, trudym do rozwiązaia. Fukcja celu (8..3) opisuje oczekiwaą stopę zwrotu z portfela. Waruek (8..3) odpowiedzialy jest za to, że ryzyko portfela (mierzoe za pomocą wariacji stopy zwrotu portfela) ie przekroczy wartości dopuszczalego progu. Waruek (8..33) zapewia to, że udziały w portfelu muszą się sumować do jedości (iaczej: do 00%). podproblem II - wyzaczyć takie wartości zmieych decyzyjych (udziałów) x i, aby: (8..35) x s + x s x s ρ mi przy ograiczeiach: j= j j (8..36) xi Ri Rpdop i= x i i= (8..37) = j i= j= i+ (8..38) x 0, i =, i To zadaie jest rówież zadaiem ieliiowym, gdyż ieliiowość wprowadza fukcja celu (8..35). Miimalizuje oa wariację stopy zwrotu z portfela. Waruek (8..36) zapewia to, że stopa zwrotu z portfela będzie ie miejsza iż ustaloa wartość progowa R pdop. Waruek (8..37) zapewia to, że udziały w portfelu muszą się sumować do jedości (iaczej: do 00%). by lepiej zrozumieć sposób formułowaia zadań optymalizacji dla obu podproblemów przyjmijmy kokrete dae. Skorzystamy w tym celu z daych w Przykładzie 3.4. (rozdział 3.4). Chcemy zbudować optymaly portfel składający się z akcji dwóch spółek i B, które charakteryzują się astępującymi parametrami: oczekiwae stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowiedio: R =0.009, R B =0.0095; odchyleia stadardowe stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowiedio: s =0.0547, s B =0.036; współczyik korelacji między akcjami spółki i B wyosi: ρ B =0.5. Pierwszy iwestor ozajmił, że zadowoli go takie rozwiązaie, które zapewi mu maksymalą stopę zwrotu z portfela, przy średim odchyleiu możliwych stóp zwrotu z portfela od wartości oczekiwaej ie więcej iż o 4%. Drugi iwestor ie chce ryzykować, iteresuje go więc taki portfel, który miimalizuje ryzyko. Wymaga przy tym stopy zwrotu z portfela ie miejszej iż %. Dla pierwszego iwestora mamy więc astępujące zadaie optymalizacji: wyzaczyć takie wartości zmieych decyzyjych (udziałów) x oraz x B, aby: j i i ij 4

15 (8..39) x 0,009 + xb 0,0095 max przy ograiczeiach: (8..40) x 0, xb 0,036 + x 0,0547 xb 0,036 0,5 0,04 (8..4) x + x B = (8..4) x, 0 x B Rozwiązując to zadaie otrzymujemy astępujące rozwiązaie optymale: x * = 0. 58, x * B = 0.48 oraz wartość fukcji celu (oczekiwaą stopę zwrotu z portfela) rówą 0.054, czyli.54%. Jest to maksymala możliwa do osiągięcia oczekiwaa stopa zwrotu z portfela przy ryzyku (wariacji stopy zwrotu z portfela) ie większym iż Z kolei dla drugiego iwestora mamy astępujące zadaie optymalizacji: wyzaczyć takie wartości zmieych decyzyjych (udziałów) x oraz x B, aby: (8..43) x 0, xb 0,036 + x 0,0547 xb 0,036 0,5 mi przy ograiczeiach: (8..44) x 0,009 + xb 0,0095 0, 0 (8..45) x + x B = (8..46) x, 0 x B Rozwiązując to zadaie otrzymujemy astępujące rozwiązaie optymale: x * = 0. 9, x * B = oraz wartość fukcji celu (wariację stopy zwrotu z portfela) rówą Jest to miimala możliwa do osiągięcia wartość ryzyka (mierzoego za pomocą wariacji stopy zwrotu z portfela), przy zapewieiu poziomu dochodów ie miejszego iż %. Należy zauważyć, że przyjęcie zbyt wysokiej miimalej stopy zwrotu z portfela R pdop prowadzi do sprzeczości zadaia lub portfela akcji o bardzo dużym ryzyku (w zadaiu (8..43) (8..46)). Podobie przyjęcie zbyt iskiego poziomu ryzyka V pdop w zadaiu (8..39) (8..4) spowoduje bądź iemożość spełieia ograiczeń, bądź zalezieie portfela akcji o bardzo małym dochodzie. g 8..5 Decyzje iwestycyje jako zadaia programowaia wielokryterialego Decyzje iwestycyje mają często charakter złożoy. Zdarza się, że przy wyborze decyzji decydet (iwestor) posługuje się ie jedym, ale wieloma kryteriami. Tak jest a przykład w przypadku iwestora giełdowego, który chce optymalizować budoway przez siebie portfel akcji w te sposób, że iteresuje go jak ajwiększa stopa zysku z portfela, przy jedoczesej miimalizacji ryzyka tego portfela. Tak jest rówież w przypadku prelimiowaia iwestycji oceiaych jedocześie kilkoma wskaźikami p. za pomocą NPV, IRR i okresu zwrotu. Wówczas mamy do czyieia z zadaiem optymalizacji wielokryterialej. Przedstawimy obecie ajbardziej elemetare spojrzeie a problemy tego typu, z uwzględieiem: porządkowaia elemetów zbiorów skończoych i dokoywaia wyboru ajlepszego elemetu; wyzaczaia decyzji optymalych w zadaiach wielokryterialych. 5

16 8..5. Porządkowaie elemetów zbiorów skończoych Idea metod tej grupy polega a: uporządkowaiu zbioru elemetów według przyjętej reguły klasyfikacyjej; wyróżieiu (w całym zbiorze klasyfikowaych elemetów) możliwie ajmiejszego podzbioru staowiącego podstawę przy dokoywaiu wyborów. Istieje kilka metod porządkowaia zbioru elemetów. Do ajczęściej wykorzystywaych przy oceie wielokryterialej ależą: diagram Hassego, metody progowe (p. metoda ELECTRE), tzw. podejście paretowskie, hierarchizacja kryteriów i ie. Zacziemy od diagramu Hassego. Defiicja 8.. Diagramem Hassego azywamy graf zorietoway G=(W,R), gdzie W ozacza zbiór porówywaych elemetów (zbiór wierzchołków grafu) atomiast R jest relacją częściowego porządku 8, R W W mającą iterpretację astępującą: (8..47) (x, y) R y "jest lepsze od" x Termi "lepsze" może być defiioway a wiele sposobów. Poiżej podamy kilka z ich. Jeżeli elemety zbioru W oceiae są za pomocą N kryteriów K j ( j =, N ), dla których ajlepszymi są ich wartości maksymale, to elemet y W jest lepszy od elemetu x W wtedy i tylko wtedy, gdy : ). istieje kryterium o takim umerze r {,...,N}, że: (8..48) K ( y) K ( x) r > r a dla każdego iego kryterium o umerze p {,..,N}\{r} zachodzi: (8..49) K p ( y) K p ( x) ; ). suma wartości 9 wszystkich kryteriów dla elemetu y jest większa iż dla elemetu x, tz.: (8..50) Ki ( y) > Ki ( x) ; N i= N i= 3). średia ważoa 0 wszystkich kryteriów dla elemetu y jest większa iż dla elemetu x, tz.: (8..5) wi Ki ( y) > wi K N i= N i= i ( x) 8 Przypomiamy, że relacja częściowego porządku (iaczej: quasi-porządku) jest zwrota i przechodia (ie jest atysymetrycza). 9 W tym przypadku wielokryterialość zostaje zastąpioa jedym kryterium (tzw. metakryterium) łączącym wszystkie kryteria. 0 Uwaga jak w przypisie poprzedim. 6

17 N w i i= gdzie w i - waga przypisaa i-temu kryterium, =, w i [0, ], i =, N. Sposoby porówywaia elemetów zbioru W według relacji (8..50) lub (8..5) mogą być stosowae tylko wówczas, gdy wszystkie kryteria mają te same miary, co w praktyczych problemach raczej rzadko występuje. Wady tej pozbawioa jest metoda polegająca a tzw. ormalizacji kryteriów. Główym jej celem jest pozbycie się miar, gdyż wartości wszystkich kryteriów po ormalizacji będą się mieścić w przedziale [0, ] i będą to wartości iemiaowae. Istieje wiele sposobów ormalizacji. My przedstawimy jede z ajbardziej ogólych. W tym przypadku ie zakładamy, tak jak poprzedio, że zależy am a maksymalizacji wszystkich kryteriów, gdyż dokoaa ormalizacja zapewi am, że kryteria zormalizowae będą podlegały zawsze maksymalizacji (bez względu a rodzaj ekstremalizacji kryteriów pierwotych). Kryterium i-te (K i (x)), (8..5) max Ki Ki ( x), max mi Ki Ki K i ( x) = max Ki Ki ( x), max mi Ki Ki przy czym (8..53) max K = max K ( x) i =, N po ormalizacji będzie miało astępującą postać ( K i (x) ): i mi i x W (8..54) K = mi K ( x) oraz max Ki mi i K, i =, N. x W i i jeżeli kryterium jeżeli kryterium K i K i podlegalo maksymalizacji podlegalo miimalizacji Zauważmy, że wartości tak zormalizowaych kryteriów będą zawsze mieścić się w przedziale [0, ]. Dla kryteriów zormalizowaych możemy teraz zastosować podejście opisae przez (8..50) (8..5) poprzez zamiaę w tych wzorach kryterium K i a K i, bez względu a to, czy kryteria pierwote K i mają być maksymalizowae, czy miimalizowae oraz czy mają takie same jedostki miar, czy też ie. Sposób budowy diagramu Hassego, przy różych sposobach defiiowaia relacji R przedstawimy w Przykładzie Przykład 8..6 (porządkowaie zbioru elemetów oceiaych wieloma wskaźikami) Rozpatrujemy 6 wariatów iwestycji o podaych w Tabeli 8.. wartościach wskaźików. Uporządkować wariaty iwestycji zgodie z diagramem Hassego przyjmując róże defiicje relacji R. Tabela 8.. Dae do Przykładu 8..6 Wariat Oczekiwaa stopa zwrotu (w %) Odchyleie stadardowe stopy zwrotu (w %) NPV (w tys. zł) 7 3 B C 6 3 D 6 5 E F

18 Najpierw zajmiemy się defiicją relacji R opisaą za pomocą wzorów (8..48), (8..49). Zauważmy, że w defiicji relacji R zakładamy, że wszystkie kryteria są maksymalizowae. Z iterpretacji wskaźików oceiających iwestycje w Tabeli 8.. wyika, że dwa z ich muszą być maksymalizowae (oczekiwaa stopa zwrotu (K ) i NPV (K 3 )), a odchyleie stopy zwrotu - miimalizowae. by móc skorzystać z defiicji relacji R wystarczy wartościom związaym z odchyleiem stadardowym zmieić zak a przeciwy, gdyż im większa wartość tak zmodyfikowaego kryterium (K ) - tym lepiej. Wartości zmodyfikowaych kryteriów przedstawioo w Tabeli Tabela 8..3 Wartości zmodyfikowaych kryteriów (a bazie Tabeli 8..) Wariat Kryterium K K K B C 6-3 D 6-5 E F Zgodie z tym, do relacji R typu (8..48) (8..49) ależą astępujące pary elemetów zbioru W={, B, C, D, E, F} wariatów iwestycyjych: (D, B), (D, C), (D, E), (C, ), (F, B). Dla przykładu, para (D, B) ależy do relacji R (wariat B jest lepszy w sesie tej relacji iż wariat D), gdyż zachodzi (patrz Tabela 8..3): K B) > K ( ) oraz K B) K ( ) i K B) K ( ) 3( 3 D ( D ( D czyli spełioe są waruki (8..48) (8..49). Podobie moża uzasadić przyależość pozostałych par do tej relacji. Diagram Hassego związay z rozpatrywaym problemem ma postać jak a Rysuku 8... C E B D F Rysuek 8.. Diagram Hassego z relacją R opisaą przez (8..48)-(8..49) Zgodie z iterpretacją diagramu Hassego oraz relacji R ajlepszymi są wariaty, B i E poieważ ie ma od ich lepszych. W tym ujęciu wariat D jest ajgorszy, poieważ są od iego lepsze aż cztery wariaty (, B, C, E). W ogólym przypadku, ajlepszymi są te Zauważmy, że wariat jest lepszy od wariatu C, a te jest lepszy od wariatu D, wobec tego jest lepszy od D (własość przechodiości relacji R; jest to przecież relacja częściowego porządku). Nie ma zatem potrzeby rysowaia łuku od D do w grafie z Rysuku 8.., choć formalie powiie zostać arysoway (biorąc pod uwagę defiicję relacji R). Jedakże w grafie Hassego celowo pomija się te związki wyikające z przechodiości relacji R, aby iepotrzebie ie komplikować grafu. 8

19 elemety zbioru W (wierzchołki grafu), które ie mają astępików. Zauważmy, że diagram Hassego ma tzw. postać warstwową: w ajiższej warstwie zajdują się elemety ajgorsze, a w ajwyższej - elemety ajlepsze. Jak wcześiej zazaczoo, sposobów defiiowaia termiu lepszy typu (8..50) i (8..5) ie moża użyć do aszego przykładu, gdyż mamy róże jedostki wskaźików oceiających wariaty iwestycyje (tz. % i zł ). Dlatego też dokoamy ormalizacji kryteriów, a astępie skorzystamy ze sposobów ) i ) porządkowaia elemetów w zbiorze W. W Tabeli 8..4 przedstawioo zormalizowae wartości kryteriów wyliczoe zgodie z (8..5) (8..54). Diagram Hassego odpowiadający zormalizowaym kryteriom przy sposobie ) porządkowaia kryteriów przedstawioo a Rysuku 8... Jeżeli uporządkujemy kryteria według sposobu ), to otrzymamy astępujące uporządkowaie (od ajlepszego do ajgorszego wariatu):, C, E, D, B, F. Tabela 8..4 Zormalizowae wartości kryteriów (a bazie Tabeli 8..) Wariat x mi K = 5 max K = 7 Kryterium mi K = max K = 5 mi K 3 = max K 3 = K ( x) K ( x) K 3( x) 5 Suma kryteriów 0,66,66 B 0,5 0,33 0 0,83 C 0,5 0,66,6 D 0,5 0,5 E 0,66 0,33,99 F 0 0,33 0 0,33 D E C B F Rysuek 8.. Diagram Hassego dla zormalizowaych kryteriów z relacją R typu ) g Przypomiamy, że astępikami (bezpośredimi) jakiegoś wierzchołka w grafie są te wierzchołki, do których istieje bezpośredie przejście (zgodie z kierukiem łuku) z rozpatrywaego wierzchołka (tz. dla pary (x,y) R wierzchołek y jest astępikiem wierzchołka x). 9

20 W optymalizacji wielokryterialej często używa się pojęcia domiowaie a określeie relacji typu lepszy-gorszy. Relację tą azywa się relacją domiowaia, a o elemecie x, który jest lepszy od elemetu y mówi się, że x domiuje y. Jeżeli jakiś elemet domiuje w zbiorze wszystkie pozostałe elemety w sesie przyjętej relacji domiowaia, to azywa się go domiującym (ajlepszym z ajlepszych). Jeśli z kolei elemet ie jest domioway przez żade iy w zbiorze, to azywa się go iezdomiowaym (albo iaczej tzw. optymalym w sesie Pareto). Weźmy dla przykładu sytuację z Rysuku 8... Wariat domiuje wszystkie wariaty z wyjątkiem D. Gdyby domiował rówież D byłby domiującym w sesie przyjętej relacji R. Poieważ ie jest domioway przez żade iy wariat, a jedocześie sam ie domiuje wszystkich pozostałych, więc jest wariatem iezdomiowaym. Wariatem iezdomiowaym jest rówież wariat D. Pozostałe wariaty są zdomiowaymi, więc ie opłaca się ich stosować (w sesie przyjętej relacji R). Poiżej omówimy krótko pozostałe metody porządkowaia elemetów zbiorów skończoych. Metody progowe wyboru elemetu spośród zbioru elemetów oceiaych a podstawie wielu kryteriów polegają a wyborze takiego elemetu, który charakteryzuje się tym, że wartości wszystkich kryteriów z im związaych są ie miejsze (ie większe) iż pewe dopuszczale wartości progowe. Podstawową wadą tej grupy metod jest koieczość ustalaia dopuszczalych progów wartości poszczególych kryteriów, co jest czyością mało obiektywą. Hierarchizacja kryteriów polega a uporządkowaiu kryteriów według ich ważości (zgodie z preferecjami decydeta), a astępie wyborze decyzji (elemetu zbioru) poprzez astępujące postępowaie sekwecyje: ajpierw wybieramy elemety ajlepsze ze względu a ajważiejsze kryterium, astępie jeśli wybraych elemetów jest więcej iż jede wybieramy spośród wcześiej wyselekcjoowaych elemety ajlepsze ze względu a drugie, co do ważości, kryterium, itd Zadaia optymalizacji wielokryterialej Sposób formułowaia zadań optymalizacji wielokryterialej może być róży. Przyjmiemy jede z ajprostszych sposobów zbliżoy do formułowaia zadaia PL, z tym, że zamiast jedej fukcji kryterium, tak jak to było w (8..), przyjmiemy wektor N-wymiarowy fukcji kryteriów K = ( K, K,..., K N ). Każda z tych fukcji może podlegać miimalizacji bądź maksymalizacji atomiast ograiczeia (w liiowym zadaiu wielokryterialym) mogą być defiiowae podobie jak w (8..) (8..5). Pomijając całą otoczkę związaą z teorią dotyczącą metod wielokryterialej ocey i optymalizacji przedstawimy powszechie stosowaą metodę rozwiązywaia tego typu zadań, a miaowicie metodę opartą o tzw. fukcję metakryterium (wspomialiśmy o iej w poprzedim rozdziale). Metoda ta polega a zastąpieiu wielu kryteriów jedym tzw. metakryterium, a astępie rozwiązywaiu jedego z wcześiej rozpatrywaych typów zadań optymalizacji jedokryterialej, będącym w pewym sesie ekwiwaletem zadaia wielokryterialego. Przedstawimy dwie propozycje fukcji metakryterium: średią ważoą kryteriów zormalizowaych oraz miimalizację odchyleń fukcji kryteriów. Metakryterium będące średią ważoą kryteriów zormalizowaych ma astępującą postać: (8..55) wi K i ( x) max N i= 0

21 przy ograiczeiach jak w (8..) (8..5), gdzie K i (x) ozacza zormalizowaą postać i-tej fukcji kryterium ustalaą według wzoru (8..5), a w i jest wagą przypisaą i-temu N kryterium, w i =, w i [0, ], i =, N. i= Metakryterium będące miimalizacją odchyleń fukcji kryteriów polega a tym, że do ograiczeń pierwotych w zadaiu wyjściowym dodajemy N ograiczeń postaci: (8..56) K i ( x) u, i =, N oraz określamy ową fukcję celu: (8..57) u mi a astępie rozwiązujemy to zadaie jedokryteriale. Jak łatwo się zorietować, to owe zadaie ma o jedą zmieą decyzyją więcej (u) iż zadaie pierwote oraz dodatkowe N ograiczeń postaci (8..56). Sposób formułowaia obu typów zadań pokazao w Przykładzie Przykład 8..7 (wykorzystaie metakryterium w zadaiach wielokryterialych) Wróćmy do Przykładu 8..5 z rozdziału Zadaie optymalizacji wielokryterialej, które moża zdefiiować przy doborze optymalego portfela akcji dwóch spółek ma postać astępującą: (8..58) K( x ) = x 0,009 + xb 0,0095 max (8..59) K ( x ) x 0, x 0,036 + x 0,0547 x 0,036 0,5 mi = B B przy ograiczeiach: (8..60) x + x B = (8..6) x, B 0 gdzie (, x B ) W celu zastosowaia fukcji metakryterium musimy ajpierw zormalizować obie fukcje kryterium zgodie z (8..5). Musimy w tym celu wyzaczyć miimale i maksymale wartości obu fukcji kryteriów. Dokoamy tego rozwiązując astępujące zadaia: aby wyzaczyć K (zgodie z (8..53)): mi x 0,009 + xb 0,0095 mi przy ograiczeiach (8..60), (8..6); aby wyzaczyć K (zgodie z (8..54)): max x 0,009 + xb 0,0095 max przy ograiczeiach (8..60), (8..6); aby wyzaczyć K (zgodie z (8..53)): mi x 0, xb 0,036 + x 0,0547 x przy ograiczeiach (8..60), (8..6); B 0,036 mi

22 aby wyzaczyć max K (zgodie z (8..54)): x 0, xb 0,036 + x 0,0547 x przy ograiczeiach (8..60), (8..6); B 0,036 max mi max Rozwiązując te zadaia otrzymujemy astępujące wartości: K , K , = = mi max K = , K = Fukcja metakryterium będącą średią ważoą fukcji kryteriów (przy założeiu jedakowych wag rówych w =w =0.5) będzie miała postać: (8..6) ( x 0,009 + x 0,0095) B ( x 0, xb 0,036 + x 0,0547 xb 0,036) max co po uproszczeiu daje fukcję: (8..63) ( x 0, x 0,036 + x 0,0547 x 0,036) ( x 0,009 + x 0,0095) + 0,448 max B B przy ograiczeiach (8..60), (8..6). Rozwiązując to zadaie otrzymujemy astępujące rozwiązaie: x * = , x * B = oraz wartość fukcji metakryterium rówą Zadaie z fukcją metakryterium będącą miimalizacją odchyleń fukcji kryteriów będzie miało astępującą postać: (8..64) u mi B + przy ograiczeiach: (8..65) ( x 0,009 + x 0,0095) B u x 0, x 0,036 + x ,0547 x 0,036 ( B B ) (8..66) u (8..67) x + x B = (8..68) x, 0 x B Rozwiązując z kolei to zadaie otrzymujemy astępujące rozwiązaie: x * = , x * B = 0.35 oraz wartość fukcji metakryterium rówą Decyzje iwestycyje jako zadaia teorii gier Podejmowaie decyzji iwestycyjych często jest dokoywae w sytuacjach, w których ie wiadomo, jaki będzie sta otoczeia lub też, jaką decyzję podejmą ii g

23 decydeci, mający wpływ a wyiki decyzji przez as podejmowaych. Przykładem może być kokurecja kilku przedsiębiorstw a ryku, który jest podzieloy między ie - decyzje podjęte przez każdego z kokuretów mają wpływ a wyiki pozostałych udziałowców ryku. Moża powiedzieć, że w świecie fiasów bez przerwy stykamy się z kofliktem iteresów, podobie jak w grach. Grać możemy a giełdzie. Grą jest rówież podejmowaie decyzji przez rolika obsiewającego ziemię określoym rodzajem zboża. Wszystkie te sytuacje oszą azwę kofliktowych (sytuacje decyzyje, w których występują decydeci o, ajczęściej, rozbieżych celach). Stąd auka, która zajmuje się aalizą wszelkiego rodzaju sytuacji kofliktowych (ie tylko ekoomiczych) osi azwę teorii gier. O uczestikach gry mówi się, że są jej graczami. Grać moża z jedym graczem (gry dwuosobowe), bądź z wieloma graczami (gry wieloosobowe). Gracze mogą się ze sobą porozumiewać, tworząc koalicje (gry kooperacyje), bądź mogą się ie porozumiewać (gry iekooperacyje). Grać moża z przeciwikiem iteligetym (gry właściwe), bądź z przeciwikiem, któremu ie zależy a wygraej (gry z aturą). W aszych rozważaiach zajmiemy się szczegółowo jedym z rodzajów gier, a miaowicie grami dwuosobowymi o sumie zero 3. Załóżmy, że w grze bierze udział dwóch graczy ostrożych i iteligetych: gracz i gracz B. Każdy z ich może samodzielie podejmować decyzje (azywae strategiami gracza). Przyjmijmy, że gracz ma ich, a gracz B - m. Dla każdej pary (i, j) decyzji graczy i B zaa jest pewa liczba a ij ozaczająca wygraą gracza w przypadku, gdy gracz te podejmie decyzję o umerze i przy podjęciu przez gracza B decyzji o umerze j. Macierz M =[a ij ] m azywać będziemy macierzą wypłat gracza. Dla gracza B, w przypadku gier z zerową sumą wypłat, macierz wypłat jest rówa M B = M. Oczywistym jest, że gracz będzie się starał zmaksymalizować swoją wygraą, a gracz B - zmiimalizować swoją przegraą (ujema wygraa gracza ozacza wygraą gracza B). Iteresy obu graczy są więc sprzecze. Obaj gracze będą dążyć do osiągięcia tzw. puktu rówowagi w grze. Jest to taka sytuacja (para strategii (i *, j * ) obu graczy), która zapewi graczowi możliwie ajwiększą wygraą, graczowi B - możliwie ajmiejszą stratę oraz zmiaa tej pary strategii przez obu graczy ie jest dla żadego z ich opłacala. Elemet a * i * j osi azwę wartości V gry. Pukt rówowagi azywa się często puktem siodłowym macierzy wypłat. Jest to elemet macierzy zajdujący się a przecięciu wiersza o takim umerze i * oraz kolumy, o takim umerze j *, że elemet a * jest ajmiejszy w swoim i * j wierszu i jedocześie ajwiększy w swojej kolumie. Formalie pukt rówowagi jest wyzaczay astępująco: wyzaczyć taką parę strategii (i *, j * ), dla której zachodzi: (8..69) max mi a = mi max a = a = V i {,.., } j {,..., m} ij j {,.., m} i {,..., } Jeżeli w grze istieje taka para strategii, dla której spełioe jest (8..69), to parę tą azywamy rozwiązaiem gry w zbiorze tzw. strategii czystych. Strategię czystą moża utożsamiać z taką decyzją gracza, która jest podejmowaa tylko raz. Często zdarza się, że ie istieje taka para strategii (i *, j * ), dla której spełioe jest (8..69). Wówczas wyzacza się tzw. sytuację rówowagi w zbiorze tzw. strategii mieszaych. Strategia mieszaa jest to kombiacja liiowa strategii czystych. Iaczej moża powiedzieć, że strategię mieszaą każdego gracza tworzy rozkład prawdopodobieństwa a zbiorze jego strategii czystych. Strategie mieszae stosowae są a ogół w dwóch rodzajach sytuacji: w ij * * i j 3 Gry o sumie zero są to takie gry, w których wygraa jedego gracza jest rówa przegraej drugiego z ich. 3