Statystyka opisowa - dodatek
|
|
- Julian Krajewski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej wymaga aby dae w całości mieściły się w pamięci RAM, co często ie jest wykoale. Dla przykładu mamy czujiki rozmieszczoe wzdłuż wybrzeża mierzące temperaturę wady, poziom fal, siłę wiatru itd. Czujików takich jest oczywiście bardzo, bardzo dużo a każdy z ich wysyła swoje pomiary do główego serwera co kilka milisekud. Zauważ, że awet gdybyśmy chcieli te wszystkie pomiary zapisywać a dysku twardym (ie mówmy awet o pamięci RAM) to po awet stosukowo krótkim czasie (kilka di) zabrakłoby am miejsca. Z tego powodu chcielibyśmy liczyć p. średią arytmetyczą w sposób przyrostowy, a dae potraktować jako strumień daych (ag. data stream). Co to zaczy? To zaczy, że mamy w pamięci RAM jakiś bufor (kilka, kilkaaście zmieych), który aktualizujemy z każdą adesłaą obserwacją, jedak po tej aktualizacji pomiar jest bezpowrotie zapomiay i igdy ie możemy do iego wrócić. Po pewym czasie p. jedym roku lub jedym diu a żądaie użytkowika system jest w staie a podstawie tych buforów policzyć żądaą statystykę. Przykład. Jak w takiej sytuacji policzyć średią? Średią dla elemetów możemy wyrazić wzorem: x = x i Rozpoczyając od x 0 = 0 możemy przekształcić to we wzór rekurecyjy: x = ( ) x + x
2 Te wzór ma jedą wadę: wymaga o od as obliczeia ( ) x co przy dużym prawdopodobie ie zmieści się am w stadardowej zmieej! Przekształćmy więc dalej: x = ( ) x + x = ( ) x = ( ) x + x = x + x i x + x + x x (.) Problem. W jaki sposób moża przyrostowo obliczyć wariację?.. Liczeie średiej arytmetyczej z szeregu rozdzielczego WYKŁAD Natomiast w jaki sposób możemy obliczyć w taki sposób mediaę? Albo modę? Jedym ze sposób a poradzeie sobie z tym problemem jest zastosowaie szeregów rozdzielczych, które pozaliśmy a poprzedich zajęciach (a przecież ich przechowywaie w pamięci ie powio być kosztowe). Jedak jak obliczyć średią, wariację, domiatę... z szeregu rozdzielczego? Problem. Jak możemy zbudować szereg rozdzielczy przy daych przychodzących ze strumieia? Nie zamy p. rozstępu daych czy liczby przedziałów. Przykład. Średia z szeregu rozdzielczego. Rozważmy przykładowy szereg rozdzielczy przedziałowy: Przedział Liczość i 47,5-5,5 5,5-57,5 7 57,5-6,5 5 6,5-67,5 67,5-7,5 77 7,5-77,5 8 77,5-8,5 8,5-87,5 7 87,5-9,5 3 9,5-97,5 W jaki sposób możemy obliczyć średią z tego szeregu? Oczywiście ie możemy tego zrobić dokładie, bo ie mamy wszystkich daych. Ale możemy założyć, że dae w przedziałach mają rozkład jedostajy (jest to założeie, które ajprawdopodobiej jest błęde, ale cóż taki life...). Skoro tak to średią daych w przedziale jest środek tego przedziału. Wyzaczmy więc środki przedziałów, a zarazem średie wartości daych w poszczególych przedziałach:
3 . *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? 3 Przedział Liczość i Środek przedziału ẋ i 47,5-5,5 50 5,5-57, ,5-6, ,5-67, ,5-7, ,5-77, ,5-8,5 80 8,5-87, ,5-9, ,5-97,5 95 Zauważ, że w tej chwili mamy średią grupy liczb ẋ i oraz liczość tej grupy i. Możemy więc bardzo prosto dowiedzieć się ile wyosi suma liczb w poszczególych przedziałach ( i ẋ i ): Przedział Liczość i Środek przedziału ẋ i Suma liczb w przedziale 47,5-5, (= 50) 5,5-57, (= 7 55) 57,5-6, (= 5 60) 6,5-67, (= 65) 67,5-7, (=...) 7,5-77, ,5-8, ,5-87, ,5-9, ,5-97, Możemy więc policzyć całkowitą sumę liczb i podzielić ją przez liczbę obserwacji: x = ( ) = ,94 ( ) 6 To co zrobiliśmy to tak aprawdę policzeie średiej ważoej. Defiicja. Średia arytmetycza z szeregu. Średią arytmetyczą z szeregu rozdzielczego obliczamy jako średią ważoą z jego środków przedziałów: x K gdzie = i, K to liczba przedziałów, i to liczość i-tego przedziału, a ẋ i to jego środek. Uwaga! Jest to wartość przybliżoa, zakładająca jedorody rozkład wartości w przedziale (tj. że średia wartości w przedziale jest rówa jego środkowi). i ẋ i Wzór a średią x = i x i, a więc x = i x i
4 4.. Liczeie wariacji z szeregu rozdzielczego WYKŁAD Przykład.3 Wariacja z szeregu rozdzielczego. Rozważmy przykładowy szereg rozdzielczy poday w poprzedim przykładzie. W jaki sposób możemy obliczyć wariację z tego szeregu? Oczywiście (zów) ie możemy tego zrobić dokładie, bo ie mamy wszystkich daych. Ale zauważmy, że wariacja to jest delikatie zmodyfikowaa średia arytmetycza (dzielimy a próbce przez ) kwadratów odchyłek. A więc możemy ją obliczyć bardzo podobie jak zwykłą średią arytmetyczą! S = (x i x) Po pierwsze, aby obliczyć odchyłkę od średiej musimy wyzaczyć średią, co zrobiliśmy w poprzedim przykładzie i wyosi oa 69, 94. Zów, zakładamy, że dae w przedziałach mają rozkład jedostajy, a więc odchyłkę od średiej możemy przybliżyć przez ẋ i x. Przedział Liczość i Środek przedziału ẋ i ẋ i x (ẋ i x) 47,5-5,5 50-9,94 397,6036 (= (50 69,94) ) 5,5-57, ,94 3,036 (= (55 69,94) ) 57,5-6, ,94 98,8036 (= (60 69,94) ) 6,5-67,5 65-4,94 4,4036 (= (65 69,94) ) 67,5-7, ,06 0,0036 (...) 7,5-77, ,06 5, ,5-8,5 80 0,06 0,036 8,5-87, ,06 6, ,5-9, ,06 40,4036 9,5-97,5 95 5,06 68,0036 Mając tak przyszykowaą kolumę potrafimy policzyć z iej średią arytmetyczą: każdą wartość możymy przez liczość przedziału, sumujemy a astępie dzielimy przez liczbę obserwacji (w próbce liczba obserwacji - ). S = (397, , ) = 9349,383 58,07 ( ) 6! Zauważ, że wariacje moża wyrazić wzorem: D X = E[X ] (E[X]). Możesz to wykorzystać do obliczeia wariacji z szeregu licząc po prostu razy średią: raz a zwykłych x, a drugi raz a x.
5 . *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? 5 Defiicja. Wariacja z szeregu. Wariację z szeregu obliczamy podobie jak średią z szeregu, poprzez zasotowaie średiej ważoej do odchyłek środków przedziałów od średiej: S K i (ẋ i x) gdzie = i, K to liczba przedziałów, i to liczość i-tego przedziału, a ẋ i to jego środek. Uwaga! Jest to wartość przybliżoa, zakładająca jedorody rozkład wartości w przedziale (tj. że średi kwadrat odchyłek w przedziale jest rówy średiemu kwadratowi odchyłki jego środka) Ćwiczeie. Średia i wariacja w szeregu rozdzielczym. Otwórz arkusz kalkulacyjy dostępy pod astępującym likiem: mlago/siad/data/excel/0/cw-4.xls i rozwiąż ćwiczeie...3 Liczeie mediay z szeregu rozdzielczego WYKŁAD Przykład.4 Mediaa z szeregu rozdzielczego. Rozważmy przykładowy szereg rozdzielczy poday w poprzedim przykładzie. Ile wyiesie mediaa? Zów, ie możemy jej wyzaczyć dokładie, atomiast wiemy, że będzie oa leżała w połowie posortowaych wartości. Z poprzedich zadań wiemy, że liczość wyosi 6, więc pozycja mediay to 6 = 8. W którym przedziale leży ta wartość? Aby się tego dowiedzieć policzmy liczość skumulowaą. Przedział Liczość i Liczość skumulowaa 47,5-5,5 5,5-57,5 7 9 (=+7) 57,5-6,5 5 4 (=+7+5) 6,5-67,5 45 (=+7+5+) 67,5-7,5 77 (= ) 7,5-77, (=...) 77,5-8,5 5 8,5-87, ,5-9, ,5-97,5 6 (=suma wszystkich liczości) Patrząc a liczości skumulowae widzimy, że obserwacje x, x ależą do przedziału pierwszego (47,5-5,5), obserwacje x 3,x 4,...,x 9 ależą do drugiego przedziału itd. W jakim więc przedziale jest szukaa mediaa czyli x 8? W przedziale 67,5-7,5, który zawiera obserwacje x 45,x 46,...,x. Teraz, gdy wiemy już w którym przedziale jest mediaa zastaówmy się w którym miejscu tego przedziału leży. Wiemy, że jest oa a 8 pozycji, a więc jest to 8 45 = 36 pozycja w przedziale. Załóżmy, że dae w przedziale mają rozkład jedorody. Zauważ, że przy takim założeiu wartość x 8 leży dokładie w szerokości przedziału (pozycja w przedziale dzieloa przez liczość przedziału).
6 6 W związku z tym mediaa jest oddaloa od lewego brzegu tego przedziału o szerokości przedziału czyli ,33. Podsumowując: x med 67,5 +,33 = 69,83 Defiicja.3 Mediaa z szeregu. Mediaę z szeregu obliczamy w sposób astępujący:. Oblicz pozycję mediay tj. i =. Zajdź przedział w którym jest mediaa (możesz sobie pomóc patrząc a liczebość skumulowaą). Przedział te ma ideks m, liczość m i szerokość h. 3. Oblicz pozycję mediay w wybraym przedziale. Jeżeli suma liczości poprzedich przedziałów wyosi m i to pozycja mediay w tym przedziale to i w przedziale = m i 4. Załóż rozkład jedorody w przedziale. Mediaa będzie więc rówa lewemu krańcowi przedziału x l dodać i w przedziale razy odległość przypadająca każdej wartości w przedziale ( h m ). Podsumowując: x med = x l + h m ( ) m i..4 Liczeie domiaty z szeregu rozdzielczego WYKŁAD Przykład.5 Domiata z szeregu rozdzielczego. Rozważmy przykładowy szereg rozdzielczy poday w poprzedim przykładzie. Jak wyzaczyć domiatę? Po prostu sprawdźmy, który przedział ma ajwiększą liczość. Przedział Liczość i 47,5-5,5 5,5-57,5 7 57,5-6,5 5 6,5-67,5 67,5-7,5 77 7,5-77,5 8 77,5-8,5 8,5-87,5 7 87,5-9,5 3 9,5-97,5 W aszym przykładzie przedział te to przedział (67, 5 7, 5]. Jedak jak wyzaczyć która wartość dokładie jest domiatą/modą? W tym celu musimy spojrzeć a liczości przedziałów, które otaczają asz wybray przedział. Dlaczego? Jak wiemy od szeregu rozdzielczego do histogramu droga jest iedługa, więc zwizualizujmy sobie liczość aszego przedziału i przedziałów go otaczających. Ustalmy dwie sytuacje: liczości
7 . *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? 7 otaczających przedziałów są rówe oraz jeda z otaczających przedział liczości jest większa od drugiej (w aszym szeregu mamy właśie taki przypadek). a) b) Dlaczego rozważamy takie dwie sytuacje? Otóż (odpowiedio zormalizoway) histogram jest empiryczym przybliżeiem rozkładu prawdopodobieństwa badaej cechy statystyczej (zmieej losowej). Modą fukcji gęstości jest wartość dla której przyjmuje oa ajwiększą wartość. Jak więc mogłaby wyglądać taka fukcja gęstości przybliżoa tymi dwoma histogramami? a) b) Zauważ, że w pierwszym przypadku szczyt fukcji gęstości (czyli domiata) leży dokładie a środku przedziału, a w drugim leży o bardziej z jego lewej stroy. Miejsce to możemy wyzaczyć poprzez zastosowaie wzoru a+b a razy szerokość przedziału. Dlatego, w celu wyzaczeia domiaty do lewego brzegu przedziału dodajemy a a+b szerokości przedziału. Zauważ, że gdy a = b to trafiamy dokładie w jego środek ( a+b a = a a = 0,5 ), a jeśli a > b to trafiamy bardziej w lewą stroę i odpowiedio jeśli a < b to bardziej w prawą stroę. Jak możesz się domyśleć z rysuku, wysokości a i b to różice pomiędzy liczością przedziału zawierającego domiatę oraz liczościami przedziałów go otaczających. Podsumowując: 77 x moda 67,5 + (77 ) + (77 8) 5 = 67,5 + 0,49 5 = 69,93 Defiicja.4 Domiata z szeregu. Domiatę z szeregu rozdzielczego obliczamy astępującym wzorem: m 0 x l + 0 ( 0 ) + ( 0 + ) h Poieważ liczość przedziału po prawej stroie jest dużo iższa wydaje się, że prawa część rozważaego przedziału jest rzadsza iż lewa
8 8 gdzie 0 to częstość przedziału klasowemu z ajwiększą częstością, x l to jego lewy brzeg, h to jego szerokość, + i to liczość przedziału astępującego po im i jego poprzedzającego. Ćwiczeie. Średia, domiata, skośość i wariacja w szeregu rozdzielczym. Otwórz arkusz kalkulacyjy dostępy pod astępującym likiem: cs.put.poza.pl/mlago/siad/data/excel/0/cw-5.xls i rozwiąż ćwiczeie.. Jeszcze więcej średich... Defiicja.5 Średia geometrycza. Średią geometryczą wyrażamy wzorem: x G = x i Defiicja.6 Średia harmoicza. Średią harmoiczą wyrażamy wzorem: x H = x = i x i Przykład.6 Jaka średia wybrać?. Prowadzimy aalizę systemu, który przewiduje progozę pogody dla kierowców. Aby prawidłowo zmierzyć jakość takiego systemu zdefiiowaliśmy dwa wskaźiki procetowe: skuteczość przewidywaia deszczu d i skuteczość przewidywaia mgły m (m,h [0%,00%]). Chcielibyśmy jedak zdefiiować jede współczyik jakość systemu poprzez wyciągięcie średiej z d i m. Którą średią powiiśmy wybrać? Najpierw rozważmy kilka przypadków: asz system bezadziejie przewiduje deszcz (d = 0%), ale świetie przewiduje mgłę (m = 00%) x = d + m = 50% x G = d m = 0% x H = m + d =... asz system dość dobrze przewiduje deszcz (d = 60%) i trochę słabiej przewiduje mgłę (m = 40%) x = d + m = 50% x G = d m 49% x H = m + d = 48% asz system dość dobrze przewiduje deszcz (d = 70%) i słabo przewiduje mgłę (m = 30%) x = d + m = 50% x G = d m 45,8% x H = m + d = 4%
9 . Jeszcze więcej średich... 9 asz system dość dobrze przewiduje deszcz (d = 80%) i dość dobrze przewiduje mgłę (m = 80%) x = d + m = 80% x G = d m = 80% x H = m + d = 80% Którą średią powiiśmy wybrać? Cóż, to zależy... Czy przypadki od do 3 są dla as tak samo dobre? Jeżeli odpowiedź brzmi ie to ie możemy wybrać średiej arytmetyczej, która przypisała im taki sam wyik. Pozostaje am do rozważeia średia geometrycza i harmoicza. Problem ze średią harmoiczą jest oczywisty: jeżeli choć jede ze współczyików wyosi 0 to ie możemy jej policzyć (dzieleie przez 0), więc jeżeli chcemy być odpori a taką sytuację pozostaje am średia geometrycza. Powyższy przykład jest też dobrą ilustracją zależości zachodzącymi między różymi średimi, które zdefiiujemy poiżej. Twierdzeie. Nierówość Cauchy ego o średich. Dla liczb dodatich x i średia arytmetycza jest większa rówa średiej geometryczej, a ta z kolei jest większa rówa średiej harmoiczej a. Przy czym rówość zachodzi tylko wtedy gdy liczby x i są sobie rówe. x x G x H dla x i 0 a Dowód moża zaleźć a Wikipedii: 9B%C4%87_Cauchy'ego_o_%C5%9Bredich Ćwiczeie.3 Wybór odpowiediej średiej. Otwórz arkusz kalkulacyjy dostępy pod astępującym likiem: data/excel/0/cw-3.xls i rozwiąż ćwiczeie. Pytaia sprawdzajace zrozumieie Pytaie. * Oblicz średią, domiatę, mediaę, wariację, odchyleie stadardowe z szeregu rozdzielczego.
Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoStatystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoHistogram: Dystrybuanta:
Zadaie. Szereg rozdzielczy (przyjmujemy przedziały klasowe o długości 0): x0 xi i środek i*środek i_sk częstości częstości skumulowae 5 5 8 0 60 8 0,6 0,6 5 5 9 0 70 7 0,8 0, 5 5 5 0 600 0, 0,6 5 55 8
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoWykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu
Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoZestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.
Zadaia przykładowe z rozwiązaiami Zadaie Dokoao pomiaru masy ciała 8 szczurów laboratoryjych. Uzyskao astępujące wyiki w gramach: 70, 80, 60, 90, 0, 00, 85, 95. Wyzaczyć przeciętą masę ciała wśród zbadaych
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoCOLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871
COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk
Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoWybrane litery alfabetu greckiego
Wybrae litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilo η eta Θ θ theta κ kappa Λ λ lambda µ mi ν i ξ ksi π pi ρ, ϱ ro σ sigma τ tau Φ φ, ϕ fi χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega Ozaczeia a i
Bardziej szczegółowoTytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała
Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoŚrednie. Grażyna Rozmysłowicz, Dorian Śniegocki
Średie Grażya Rozmysłowicz, Doria Śiegocki 30 styczia 09 Spis treści Czym jest średia? Średia, jako pojęcie matematycze 3 3 Szczególe średie 5 3. Średia arytmetycza....................... 5 3. Mediaa..............................
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowo