µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

Transkrypt

1 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej próbki: jeśli wyik jest większy iŝ,8, to hipotezę zerową odrzucamy. a) ile wyoszą prawdopodobieństwo popełieia błędów pierwszego i drugiego rodzaju? b) ile wyosi moc testu? 7. Wyhodowao ową odmiaę pewej rośliy. Hipotezę, ze kiełkuje 6% sadzoek, wobec hipotezy alteratywej, Ŝe kiełkuje więcej iŝ 6%, weryfikujemy a podstawie próbki 6 sadzoek. Hipotezę zerową odrzucamy, gdy wykiełkuje 5 lub więcej sadzoek. Czy rozmiar tego testu jest miejszy iŝ,5? Jaki jest rozmiar iego testu, który odrzuca hipotezę zerową, jeśli wszystkie sadzoki wykiełkują? 7.3 W celu zweryfikowaia hipotezy, Ŝe iezae prawdopodobieństwo sukcesu w pojedyczej próbie jest miejsze od,5 wykouje się iezaleŝych prób i hipotezę odrzuca się, gdy liczba sukcesów jest większa lub rówa. Wyzacz fukcję prawdopodobieństwa błędu pierwszego rodzaju i fukcję prawdopodobieństwa błędu drugiego rodzaju. 7.4 Niech,..., będzie próbą losową z rozkładu N ( µ,3 ). Weryfikujemy hipotezę, Ŝe iezay parametr µ wyosi wobec alteratywy, Ŝe µ rówą (-), za pomocą testu z obszarem krytyczym {( x,... x ) : 5, 5}. x i i < Oblicz rozmiar testu. Jak licza musiałaby być wylosowaa próbka, aby moc testu wyosiła,85? 7.5 Niech,..., 36 będzie próbą losową z rozkładu ormalego N ( µ,). Przeprowadzamy test hipotezy zerowej H : µ przeciw alteratywie H :.. µ Test jest astępujący: jeŝeli. to ie odrzucamy H, jeŝeli >. to odrzucamy H. Wyzaczyć prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju oraz obliczyć moc testu. 7.6 Populacja geerala ma rozkład wykładiczy z parametrem β. Z tej populacji wylosowao elemetową próbkę: ;.9;.7; 3.5;.9;.; 3.7;.5; 3.4;.8. Przetestować za pomocą testu ajmociejszego przy poziomie istotości α, 5 hipotezę zerową, Ŝe β /, przeciw hipotezie alteratywej, Ŝe β / Cecha ma w populacji rozkład ormaly z iezaym µ i odchyleiem stadardowym rówym 4,5. Z tej populacji wylosowao -elemetową próbkę. Do weryfikacji hipotezy zerowej, Ŝe µ, wobec hipotezy alteratywej, Ŝe µ >, zastosowao test jedostajie ajmociejszy a poziomie istotości α,5. a) podaj fukcję mocy testu; b) ile obserwacji aleŝy wylosować, aby moc tego testu wyosiła,8 dla hipotezy alteratywej, Ŝe µ? 7.8 Dyspoujemy obserwacją i weryfikujemy hipotezę H : obserwacja pochodzi z rozkładu o gęstości f ( x) e x przy alteratywie H : obserwacja pochodzi z rozkładu o gęstości f ( x) xe x. a) Zbudować test ajmociejszy a poziomie istotości,5. b) Oblicz moc testu.

2 7.9 Niech będzie zmieą losową z rozkładu o gęstości f ( x) x dla x [,]. Na podstawie pojedyczej obserwacji weryfikujemy hipotezę H : przy alteratywie H : 6 a poziomie istotości,. a) Wyzacz obszar krytyczy testu ajmociejszego b) Oblicz moc testu. 7. Niech,..., 9 będzie próbą losową z rozkładu ormalego N(, σ ). RozwaŜamy hipotezę H : σ przy alteratywie H :. σ Skostruować test ajmociejszy a poziomie istotości α,5. a) Wyzacz obszar krytyczy testu ajmociejszego b) Obliczyć moc testu. Praca domowa 7. Populacja geerala ma rozkład określoy fukcją gęstości: f ( x) λe λx dla x >. Weryfikuje się hipotezę zerową λ wobec hipotezy alteratywej λ / 4 przy pomocy pojedyczej obserwacji. Jeśli wyik jest większy iŝ pewa stała c, to odrzucamy hipotezę zerową. Wyzacz stałą c tak, aby α,i oblicz moc testu. m 7. Populacja geerala ma rozkład ciągły określoy fukcją gęstości postaci: f ( x) m m dla x [,]. Weryfikujemy hipotezę H : m 3 wobec hipotezy alteratywej H 3 : m 4 za pomocą astępującego testu: losujemy jedą obserwację i odrzucamy H jeśli otrzyma się wyik miejszy iŝ ¾, a przyjmujemy H w przeciwym przypadku. Na który z błędów I-ego czy II-ego rodzaju jesteśmy bardziej araŝei przy stosowaiu tego testu. 7.3 Populacja geerala ma rozkład ciągły określoy fukcją gęstości postaci: f ( x) x dla x [, β ]. W celu zweryfikowaia H : β wobec hipotezy alteratywej H : / β dokouje się pojedyczej obserwacji. Jeśli wyik obserwacji jest miejszy iŝ pewa stała c, to hipoteza zerowa zostaje odrzucoa. Wyzacz stałą c tak, aby α,4 i oblicz moc testu. β m x 7.4 Niech,..., 5 będzie próbą losową z rozkładu ormalego N ( µ, ). Wiemy, Ŝe średia z próby wyosi 3,6. Zweryfikować testem ajmociejszym hipotezę H : µ 3 przy alteratywie H : 4 µ a poziomie istotości,. 7.5 Niech będzie zmieą losową z rozkładu o gęstości f ( x) dla x >. x + Weryfikujemy hipotezę H : 3 wobec alteratywy H : 5 a poziomie istotości,5. Skostruować test ajmociejszy (podać obszar krytyczy) oraz obliczyć moc testu. 7.6 Niech będzie zmieą losową z rozkładu o gęstości f ( x) x dla x [,], gdzie jest iezaym parametrem. Niech c będzie ustaloą dodatią liczbą. Test jest zbudoway w astępujący sposób: jeśli c, to aleŝy przyjąć H : 4, a gdy c, < aleŝy przyjąć :. H Oblicz: a) prawdopodobieństwo popełieia błędów pierwszego i drugiego rodzaju; b) moc testu;

3 c) wartość c, przy której suma prawdopodobieństw błędów pierwszego i drugiego rodzaju jest ajmiejsza. 7.7 Niech,, 3, 4 będzie próbą losową z rozkładu N ( µ, σ ). Testujemy hipotezę 4 H : σ przeciwko H : σ >. Odrzucamy H jeśli wartość statystyki ( ) i i przekroczy c. Dla jakiej wartości c prawdopodobieństwo błędu I rodzaju wyosi,. Podać moc testu dla hipotezy alteratywej σ,7. 7.8* Niech,..., będzie próbą z rozkładu N ( µ,) z iezaym parametrem µ. RozwaŜamy jedostajie ajmociejszy test hipotezy H : µ przeciw alteratywie H : µ > a poziomie istotości,5. Zaleźć taką wartość µ, Ŝe fukcja mocy testu przyjmuje wartość, * Przeprowadzamy iezaleŝych doświadczeń z iezaym, jedakowym prawdopodobieństwem sukcesu. Niech ozacza liczbę sukcesów. Podać test 3 ajmociejszy dla weryfikacji hipotezy H : wobec alteratywy H : 4 a poziomie istotości,5. 7.* Niech,,..., będzie próbą losową z rozkładu jedostajego a przedziale (, ). Do weryfikacji hipotezy H : przy alteratywie H : > zapropoowao test: gdy : < c ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy H, gdy : c hipotezę H odrzucamy. a) Wyzaczyć stałą c, aby otrzymać test a poziomie istotości,. b) Wyzaczyć fukcję mocy testu dla hipotezy alteratywej. c) Wyzaczyć liczebość próby, aby prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju dla alteratywy, było miejsze iŝ,9. Teoria dotycząca testowaia hipotez Niech będzie daa przestrzeń statystycza, czyli przestrzeń próbkowa wyposaŝoa w rodzię rozkładów prawdopodobieństwa { P, Θ }. Poadto Θ Θ Θ, Θ Θ. Mówiąc o zagadieiu testowaia będziemy rozwaŝali hipotezę zerową H : Θ i hipotezę alteratywą H : Θ. Testem hipotezy H przeciw alteratywie H azywamy statystykę δ : Ω {,}, gdzie ozacza decyzję o odrzuceiu H, atomiast ozacza, Ŝe ie odrzucamy H. Iymi słowy, testem statystyczym azywamy metodę postępowaia, która moŝliwym realizacjom próby losowej,..., określoej a przestrzei statystyczej przypisuje decyzję odrzuceia (albo przyjęcia) weryfikowaej hipotezy. W celu zbudowaia testu do weryfikacji postawioej hipotezy H aleŝy skostruować dwa dopełiające się zbiory W i W ( W W, W W R ) oraz pewą statystykę T (,..., ), zwaą statystyką testową, przy czym: jeŝeli T (,..., ) W, to H odrzucamy jeŝeli T (,..., ) W, to H przyjmujemy. Zbiór W azywamy zbiorem krytyczym, a zbiór W zbiorem przyjęć. PrzewaŜie test ma postać δ (,..., ) I( T (,..., ) > c), gdzie c jest liczbą zwaą poziomem krytyczym. W wyiku testowaia hipotezy H moŝemy popełić jede z dwu astępujących błędów: ) odrzucimy weryfikowaą hipotezę H, gdy jest oa prawdziwa tzw. błąd pierwszego rodzaju; 3

4 ) przyjmiemy weryfikowaą hipotezę H, gdy jest oa fałszywa tzw. błąd drugiego rodzaju. Sta rzeczy Decyzja δ δ H prawdziwa H prawdziwa O.K. Błąd II rodzaju P( δ H ) Błąd I rodzaju P( δ H ) O.K. Niech β ( ) P ( δ (,..., ) ) ozacza prawdopodobieństwo odrzuceia H. Fukcję β ( ) azywamy fukcją mocy testu δ (,..., ). Iterpretacja tej fukcji jest odmiea dla Θ i Θ : dla Θ β ( ) P ( δ (,..., ) ) P ( δ (,..., ) H) - prawdopodobieństwo popełieie błędu I rodzaju; dla Θ β ( ) P ( δ (,..., ) ) P ( δ (,..., ) H) P ( δ (,..., ) H ) - mius prawdopodobieństwo popełieie błędu II rodzaju; Zgodie z ozaczeiami przyjętymi powyŝej wyraŝeie P( δ H) P( δ H) azywamy fukcją mocy testu dla hipotezy alteratywej (lub w skócie mocą testu). Mówimy, Ŝe δ jest testem a poziomie istotości α, jeśli sup P( δ H ) α. Idea testowaia hipotez jest astępującą: H uwaŝamy za prawdziwe, dopóki ie pojawią się przesłaki (w tym wypadku dae statystycze), które będą z ią sprzecze. Nie jesteśmy skłoi do rezygiacji z H dopóki ie pojawią się ku temu powaŝe powody. Więc będziemy się przede wszystkim starali kotrolować prawdopodobieństwo popełia błędu I rodzaju. Chcielibyśmy umieć kostruować testy, dla których prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju ie przekracza zadaej z góry, małej liczby. Następie z klasy testów spełiających powyŝszy waruek chcielibyśmy wybrać te, dla którego prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju jest ajiŝsze. Opis formalego sposobu postępowaia zajduje się poiŝej. Niech i będą ustaloymi puktami przestrzei parametrów Θ. RozwaŜmy dwie hipotezy proste: H : i H :. Niech P i P ozaczają rozkłady prawdopodobieństwa a przestrzei próbkowej, odpowiadające wartościom parametrów i. ZałóŜmy, Ŝe te rozkłady mają gęstości f i f. Statystyk jest zaiteresoway w jedoczesej miimalizacji prawdopodobieństw obu błędów. Zadaie tego typu a ogół ie ma jedak rozwiązaia, gdyŝ zmiejszeie prawdopodobieństwa błędu jedego rodzaju powoduje wzrost prawdopodobieństwa błędu drugiego rodzaju. Dlatego wybieramy tzw. poziom istotości α i rozwiązujemy zadaie, które ma postać: P( δ H) mi! P( δ H) max! (*) P( δ H) α P( δ H) α Test, który przy ustaloym prawdopodobieństwie błędu I rodzaju miimalizuje prawdopodobieństwo błędu II rodzaju (maksymalizuje moc testu), azywamy testem ajmociejszym. Θ Lemat Neymaa Pearsoa H : ; H : ; T ustaloa statystyka. ZałóŜmy, Ŝe rozkład T jest ciągły oraz: f - gęstość rozkładu T, gdy, f - gęstość rozkładu T, gdy. Waruek (*) jest rówowaŝy: 4

5 f( t) dt max! W f( t) dt α W Wówczas, w celu skostruowaia testu ajmociejszego obszar krytyczy W aleŝy dobrać f ( t) w astępujący sposób: W { t Ω : > c}, gdzie c jest dobrae w taki sposób, Ŝe f ( ) t dt α. W f ( t) Lemat te uogólia się a przypadek a przypadek dyskretych fukcji prawdopodobieństwa (tz. gdy statystyka testowa T ma rozkład skokowy). Wówczas całki aleŝy zastąpić sumami. Test o którym jest mowa w lemacie Neymaa-Pearsoa azywamy testem ilorazu wiarogodości. Defiicja (Test jedostajie ajmociejszy) * Test δ jest testem jedostajie ajmociejszym a poziomie istotości α, jeśli * ) δ jest testem a poziomie istotości α ; ) dla kaŝdego testu δ a poziomie istotości α, mamy: Θ. * ( δ ) P ( δ ) P dla kaŝdego Przykład Niech,,..., będzie próbą losową z rozkładu N ( µ, σ ), zakładamy, Ŝe σ jest zae. Skostruujemy test ajmociejszy dla hipotezy H : µ µ wobec H : µ µ, gdzie < πσ σ i i µ µ µ. f ( x,..., x ) ( ) exp( ( x ) ) f x x x πσ σ i i µ (,..., ) ( ) exp( ( ) ) Iloraz wiarogodości (iloraz łączych gęstości): f( x,..., x) exp( ( ) ( i i ) )) c σ µ + µ i σ > i f ( x,..., x ) i i i i i ( i µ ) ( i µ ) σ l c c i i + > ( µ µ ) + ( µ µ ) > c i ( µ µ ) > ( c ( µ µ )) / c > c /( µ µ ) c 3 i i > c3 / c4 Czyli będziemy odrzucań H, jeśli średia z próby przewyŝszy stałą c. 4 Pozostaje problem dobraia stłej c. 4 ZałóŜmy, Ŝe chcemy skostruować test ajmociejszy a poziomie istotości α, czyli: P( δ H) α. Przy załóŝeiu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa (średia z próby) ma rozkład N(, σ ), µ czyli: µ c4 µ c4 µ α P( δ H) P( > c4 µ µ ) P( > µ µ ) F( ) σ / σ / σ / N (,) gdzie F jest dystrubuatą rozkładu ormalego stadardowego. Wyika stąd, Ŝe: 5

6 ( c µ ) ( c µ F F ) c µ F ( ) c µ jest kwatylem α α α σ / σ / σ / σ / rzędu α dla rozkładu ormalego stadardowego. Podsumowaie: testem ajmociejszym a poziomie istotości α jest astępujący test: µ odrzucamy H jeśli > c, gdzie c jest kwatylem rzędu α dla rozkładu σ / ormalego stadardowego. 6