14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

Transkrypt

1 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje, wahaia zasilaia, ziekształceia przekazywaych sygałów, zużycie układu pomiarowego, wpływ otoczeia, ieprawidłowe iterpretacje wyików, błąd w odczycie. Szumem określamy sygał ie iosący użyteczej iformacji. Szumy mogą powstawać w elemecie pomiarowym, wówczas ulegają oe wzmocieiu we wzmaciaczach. Szumy mogą rówież powstawać w połączeiach pomiędzy czujikiem a wzmaciaczem lub wzmaciaczem a komputerem. Należą do ich sygały elektrycze, które powstają pomiędzy przewodami a izolacją w wyiku zjawisk elektrostatyczych i elektromagetyczych. Podstawową właściwością szumów jest wzmocieie ich razem z mierzoym sygałem. Czas reagowaia układu odgrywa istotą rolę w przypadku przebiegów sygałów, które zmieiają się w czasie p. w badaiach zmęczeiowych. Wskazaia sygału zależą od bezwładości układu. Reakcja czujika (p. siły, przemieszczeia uchwytu mocującego próbkę) w dowolej chwili jest rezultatem procesów poprzedich i aktualych. Wielkość mierzoa zależy ie tylko od rodzaju sygału, ale i od charakterystyk zmia tego sygału. W czasie przekazywaia sygału od czujika do komputera mogą astępować jego zmiay p. przez zakłóceia w sieci (spadek apięcia) bądź przez skażeie sygału a skutek rezoasu. W tych przypadkach sygał rejestroway p. przez komputer różi się od sygału mierzoego przez czujik. Zużycie elemetu pomiarowego także wpływa a wartości błędów. Przykładem jest stępieie końcówek ekstesometru mierzącego odkształceie w statyczej próbie rozciągaia i możliwe ich poślizgi czy też zmiaa oporu układu a skutek korozji. Wpływ ośrodka a układ pomiarowy związay może być z temperaturą, która zawsze wpływa a dokładość przyrządu (może wpłyąć a sztywość spręży, lepkość smaru w łożyskach, luzy w mechaizmach). Na dokładość przyrządu może mieć wpływ wilgotość, ciśieie czy też obecość kurzu w powietrzu. Błąd w odczycie i w iterpretacji daych są błędami subiektywymi. Zależą od osoby przeprowadzającej doświadczeie. Związae to może być z oczekiwaiem jakiegoś wyiku przez osobę dokoującą pomiarów. Należy też zwrócić uwagę a błąd paralaksy, który powstaje w przypadku, gdy dokoujemy odczytu pod kątem iym iż prosty do tarczy przyrządu p. przy odczycie wartości przemieszczeia przy wykorzystaiu czujika zegarowego (dotyczy to tylko takich urządzeń, gdzie sygał ie jest rejestroway w postaci cyfrowej). Zwykle rozróżiamy dwie klasy błędów: systematycze i przypadkowe. * Opracował: Robert Molasy

2 Błędy systematycze są to błędy powtarzające się w czasie kolejych doświadczeń. Zaliczamy do ich błędy wyikające z iedokładego wzorcowaia czujika lub jego zużycia. Błędu systematyczego ie możemy oszacować przez powtarzaie doświadczeia w idetyczych warukach. Zwykle dla oszacowaia tego rodzaju błędów stosuje się pomiary kalibrujące zaych przebiegów lub pomiary różymi przyrządami i przy zastosowaiu (jeśli jest to możliwe) różych metod. Błędy przypadkowe sa to błędy, których wielkości i zaku ie możemy przewidzieć. W czasie pomiarów wyiki zależą od wielu czyików, które azywamy parametrami pomiarów. W przypadku idealych pomiarów wartości parametrów są stałe i wtedy wielkość mierzoa jest określoa jedozaczie. Przy kolejym pomiarze parametry mogą ulec zmiaie a otrzymay wyik będzie się różił od poprzediego. Te iezae i iekotrolowae parametry oczywiście zmiejszają dokładość pomiarów. Jeśli założymy, że te parametry wpływają zawsze w podoby sposób, to dla wyzaczeia wartości oczekiwaej moża posłużyć się teorią prawdopodobieństwa. 4.. OCENA WYNIKÓW POMIARÓW Pomiar odbywa się przy użyciu przyrządów o określoej dokładości. Pomiary kilku wielkości iezależych używae są do wyzaczeia jedej, która as iteresuje. Przykładem może być wyzaczeie wytrzymałości a rozciągaie σ m lub wydłużeia względego A w statyczej próbie rozciągaia. W pierwszym przypadku grubość próbki okrągłej d 0 mierzymy mikrometrem z dokładością do setych milimetra d 0 = 0±0.0 (mm) a wartość siły F m z dokładością do 00 N F m = 80000±00 (N). Nomialy przekrój próbki wyosi S 0 = 78, (mm ), a omiala wartość σ m = 09 (MPa). Zakładając, że popełiamy ajwiększe możliwe błędy odczytów, otrzymujemy dwie skraje wartości wytrzymałości a rozciągaie: σ m (max) 8000 ( N ) 79800( N ) 06( MPa) = = 78, 9 ( mm ) σ m (mi) = 78, 66 = 0 ( mm ) ( MPa) różiące się od wartości omialej o σ m = 7 (MPa) oraz σ m = 4 (MPa). Pomiary były wykoae z dokładością do 0,9% dla przekroju próbki i 0,% dla wartości siły, a uzyskaliśmy wyik z miejszą dokładością, bo odpowiedio 0,69% dla σ m oraz 0,39% dla σ m. W drugim przypadku przy wyzaczaiu wydłużeia względego długość bazy pomiarowej L 0 oraz przyrost wydłużeia (przy wykorzystaiu ekstesometru) w czasie próby L mierzymy z dokładością do setych milimetra L 0 = 0±0,0 (mm) i L = 0±0,0 (mm). Nomiale wydłużeia względe wyosi 8

3 A 0 = 0%. Zakładając, że popełiamy ajwiększe możliwe błędy odczytów, otrzymujemy dwie skraje wartości wydłużeia względego: 0. 0 L = 00 0 (%) = 0, 03 (max) (%) 49, L = 00 0 (%) = 9, 97 (mi) (%) 0, 0 różiące się od wartości omialej o L 0 = 0,03 (%) oraz L 0 = 0,03 (%). Pomiary były wykoae z dokładością do 0,04% dla długości bazy i 0,% dla przyrostu wydłużeia. W tym przypadku także uzyskaliśmy wyik z miejszą dokładością, bo ok. 0,%. Takie szacowaie błędów pomiaru jest zbyt pesymistycze. Dla bardziej realistyczego oszacowaia błędów zostały opracowae specjale metody. 4.. SZACOWANIE BŁĘDÓW DLA POJEDYNCZEGO POMIARU Przy wykorzystaiu matematyczych metod opracowaia i aalizy wyików doświadczeia [] możemy przyjąć astępujące zasady postępowaia: a) błąd bezwzględy wielkości, która jest sumą algebraiczą wielu liczb przybliżoych, jest rówy sumie błędów bezwzględych jej poszczególych składików. Jeśli W = W + W W to W = W + W W (4.) Uwzględiając częściową kompesację błędów o różych zakach otrzymujemy: ( ) ( ) ( ) W W W = W... (4.) a) błąd względy przybliżoej wartości W azywamy stosuek błędu bezwzglę dego W do wartości bezwzględej liczby W: δw W = (4.3) W Błąd względy różicy liczb dodatich jest większy od błędów względych tych liczb, zwłaszcza gdy liczby te różią się bardzo mało między sobą. 9

4 Przykład 4. Jeśli W = W W, W = 0±0,, W = 40±0,4, to błędy względe tych liczb wyoszą δ W = δ W = %. Natomiast błąd względy różicy wyosi W δw = W + W W 0, + 04, 00 = 0 (%) 00( %) = 0( %) i jest dziesięć razy większy od błędów liczb W i. W przypadku, gdy wyik pomiarów jest fukcją zmieych iezależych podlegających możeiu lub dzieleiu, to błędy względe tych liczb się dodaje. Błąd względy wyrażeia W W... Wm f = (4.4) Z Z... Z ozacza się δf = δw + δw δw + δz + δz δz (4.) m Dla dużej liczby m+ czyików, uwzględiając kompesację błędów o różych zakach, możemy przyjąć: ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) δf = δw + δw + + δw + δz + δz + + δz m (4.6) Rozpatrzmy dla przykładu wyzaczeie graicy wytrzymałości a rozciągaie σ m. Zakładając, iż wielkości zostały wyzaczoe z błędem względym δs 0 = 0,9% i δf m = 0,% oraz stosując wyrażeia (4.) i (4.6) odpowiedio otrzymamy: δf = δs0 + δf m = 0 4%, δ ( δ ) ( δ ) f = S0 + F m = 0. 38% Błąd bezwzględy fukcji zmieych f(w i ), i =,,...,, różiczkowalej w pewym obszarze, wywołay przez małe błędy argumetów oceiamy jako: Przykład 4. W W W W W W W W = W W (4.7) Metodę różiczki zupełej zastosujemy do wyzaczeia współczyika itesywości aprężeń K dla próbki trójpuktowo zgiaej. Przyjmijmy astę pujące dae: P max = MN, W = 0,0 m, B = 0,0 m, S = 0,08 m, f(a/w) =,663 i załóżmy, że zostały oe zmierzoe z dokładością %. Maksymale błędy 30

5 bezwzględe wyoszą: P max = ±4 0 6 N, W = ± 0 4 m, B = ±, 0 4 m, S = ±8 0 4 m, f(a/w) = ±0,0663. Współczyik itesywości aprężeń wyosi K = P S 6 a , 08 f =, 663 =, 09 MPa m 3 / BW W 3 / 00, 00, Pochode fukcji względem poszczególych zmieych wyoszą: K P = S B W a 008, f = W 00, 00, 3 / 3 /, 663 = 0, 4 K P a = f = S BW W 00, 00, 6 3 / 3 / 663, = 636, K P S , 08 = = = 79, 3 / 3 / f a W B W 00, 00, ( / ) K P S = B B W 6 a , 08 f =, 663 = 406, 0 W 00, 00, 3/ 3/ K P S 6 a = f = ,.. 08, 663 = 8, 7 / W B W W / 00, 00, Bezwzględa wartość błędu współczyika itesywości aprężeń wyzaczoa ze wzoru (4.7) wyosi: K K K K P S P S f a W f a W K B B K W W = + + ( / ) + + = ( / ) = 0, , ,09 + 0,09 + 0,3634,6 MPa m / Błąd względy wyosi: δk K 6, = 00 = 00 =, % K, 09 3

6 Powyższa metoda wyolbrzymia zaczeie błędów poszczególych pomiarów. W literaturze [] spotyka się ie metody, które uwzględiają kompesację poszczególych błędów. Wyzaczoa wartość błędu w oparciu o zależość (4.6) dla rozpatrywaego przypadku powyżej wyosi: K K K K K P S f P S f B B K = + W W = ( ) / 0.3 Mpa m / a błąd względy wyosi: δk K 03, = 00 = 00 =, % K, SZACOWANIE BŁĘDÓW DLA LICZNYCH POMIARÓW Do szacowaia błędów wyików uzyskaych a podstawie liczych pomiarów wykorzystuje się metody statystycze. Na podstawie ograiczoej liczby daych pozwalają oe określić wartość ajbardziej prawdopodobą szukaej wielkości oraz prawdopodoby błąd poszczególego pomiaru. Pojęcie statystyczej próby losowej jest podstawowym pojęciem statystyki matematyczej. Statystyka zajmuje się metodami opisu i aalizy liczbowych prawidłowości występujących w tzw. populacjach statystyczych, tj. zbiorowo ściach elemetów zróżicowaych ze względu a badae cechy. Statystycze badaia populacji dzielą się a pełe i częściowe. W odróżieiu od pełych badaia częściowe obejmują pewą określoą część populacji zwaą próbą (próbką). Wyiki wchodzące do próby będziemy azywać elemetami próby,a liczbę tych elemetów liczebością (liczością) próby. Potrzeba stosowaia badań częściowych wyika z astępujących przyczy: a) populacja statystycza jest ieskończoa lub bardzo duża, b) badaie poszczególego elemetu jest zawsze iszczące, c) badaie poszczególego elemetu jest kosztowe, d) istieje potrzeba zbadaia populacji w bardzo krótkim czasie. W przypadku, gdy próba jest mała, tz. gdy jej liczebość wyosi kilka lub kilkaaście to wyiki próby prezetuje się zazwyczaj w postaci wektora wierszowego liczb (x, x,..., x ). Dla dużej próby ( kilkadziesiąt lub więcej) taki długi wierszowy wektor wyików próby wygodie jest pogrupować (według wielkości) w pewe klasy, tworząc tzw. szereg rozdzielczy. Szereg rozdzielczy otrzymuje się z pojedyczych wyików próby przez zaliczeie ich do przyjętych klas wielkości 3

7 (lub przedziałów) i podaie liczości odpowiadającej każdej klasie. Prezetacja wyików dużej próby za pomocą szeregu rozdzielczego ma postać tablicy o dwóch kolumach. Pierwszą kolumą w tablicy są wartości badaej cechy pogrupowae w k klas, a drugą kolumą są liczebości j zaobserwowaych w próbie wyików ależących do poszczególych klas o umerze j (j =,,..., k). Tak więc szereg rozdzielczy wyików próby ma postać: x j j [x 0j, x j ) j x x... x k... k lub x o x x o x... x ok x k... k Pierwsza postać szeregu rozdzielczego dotyczy przypadku cechy skokowej, a druga cechy ciągłej. W przypadku cechy ciągłej zaleca się tak podzielić cały zakres zmieości, by liczba k klas (przedziałów klasowych) ie była zbyt mała ai zbyt duża (zwykle k ). Przykład szeregu rozdzielczego wyików próby = 40 próbek badaych ze względu a twardość HRC: [x 0j, x j ) j Szereg rozdzielczy wyików próby azywa się często rozkładem empiryczym, gdyż moża z iego uzyskać rozkład procetowy (tzw. rozkład częstości) wyików próby rozdzieloych a k klas. Jak rówież tzw. szereg skumulowaych liczebości, który jest podstawą tzw. dystrybuaty empiryczej określaej jako: F x ( ) r = r j j= dla r =,,..., k (4.8) Dla podaego powyżej przykładu szeregu rozdzielczego próby = 40 próbek, rozkład empiryczy (częstości) i jego dystrybuata empirycza są astępujące: 33

8 j x j j / F (x j ) ,00 0,00 0,40 0,7 0, 0,00 0,0 0,700 0,87,000 Prezetacja wyików próby może poadto mieć postać graficzą. Dla cechy skokowej szereg rozdzielczy może być podstawą wykresu statystyczego zwaego wielobokiem liczebości, który jest graficzym obrazem empiryczego rozkładu cechy skokowej (rys. 4.a). Szereg graficzy wyików próby dla cechy ciągłej graficzie przedstawia się w postaci wykresu statystyczego zwaego histogramem. Jest to wykres w kształcie prostokątów dla poszczególych przedziałów klasowych w te sposób, że wysokość każdego prostokąta jest wprost proporcjoala do licze bości j elemetów daej j tej klasy. Łącząc odcikami środki górych podstaw prostokątów histogramu moża zbudować wykres zway diagramem (rys. 4.b). Rys. 4.. Graficza prezetacja wyików próby: a) wielobok liczebości, b) histogram i diagram Podstawą wioskowaia o populacji a podstawie wyików próby są wartości pewych charakterystyk próby, zwaych statystykami z próby. Jeżeli elemetową próbę (losową) ozaczymy jako wektor losowy przez X = (X, X,..., X ), a realizację próby (wektor liczbowych wyików próby) przez x = (x, x,..., x ), to statystyką Z azywamy dowolą, byle o wartościach rzeczywistych fukcję próby X, tz. Z = g(x). 34

9 Dla różych celów i rodzajów wioskowaia z próby o populacji posługujemy się w statystyce matematyczej różymi statystykami. Wygodie jest podzielić statystyki z próby a: miary skupieia (tedecja cetrala), miary rozproszeia (rozrzut, dyspersja), miary współzależości (korelacja). o Do miar skupieia wyików próby zaliczamy takie statystki jak momety z próby (przede wszystkim średia arytmetycza) i iektóre statystyki pozycyje (mediaa, kwartyle). Statystykę zwaą mometem zwykłym rzędu r z próby określamy jako A r r = X = X r i (4.9) Najczęściej używaym w praktyce statystyczej mometem z próby jest średia arytmetycza, którą określamy jako A = X = X i (4.0) Średia arytmetycza jest podstawą wioskowaia o wartości oczekiwaej (średiej) rozkładu populacji. Dla kokretych wyików próby x = (x, x,..., x ) wartość statystyki X, tj. średiej arytmetyczej z próby, oblicza się zwykle jako x = x i (4.) Dla dużych prób, których wyiki pogrupowae są w szereg rozdzielczy 0 o k klasach, których środkami są liczby x j a liczebościami j, wartość średiej arytmetyczej z próby wygodie jest obliczać jako średią ważoą środków klas: x = k 0 j j= x j (4.) Wartość średiej arytmetyczej według powyższego wzoru dla wyików = 40 elemetów pogrupowaych w szereg rozdzielczy zawartych w poiższej tabeli wyosi: 0 06 x = x j j = 6, j= 3

10 [x 0j, x j ) j x j ,, 6, 7, 8, 0 x j j , 4, Σ 40 06,0 Ważą własością wartości średiej arytmetyczej jest, że suma odchyleń od iej dla wszystkich wyików x i w próbie wyosi zero: ( i ) x x = x x= x x = 0 i i Jako miary tedecji cetralej empiryczego rozkładu uzyskaego w próbie występują też (zwłaszcza dla małych prób) tzw. statystyki pozycyje. Przed określeiem statystyk pozycyjych wyiki ależy uporządkować w iemalejący ciąg liczb x x... x Statystyką pozycyją rzędu r azywamy taką zmieą losową, której wartości zajmują r te miejsce w uporządkowaym, iemalejącym ciągu wyików elemetowej próby. Liczbę r azywamy rzędem lub ragą statystyki pozycyjej ( ) ( Z r. Na przykład Z ) jest statystyką pozycyją rzędu (lub pierwszą) o warto ściach ajmiejszych w elemetowej próbie. ( ) Szczególie ważą rolę odgrywa statystyka pozycyja dla parzystej liczby obserwacji lub ( ) Z( +)/ i Z / ( ) Z r dla ieparzystej liczby obserwacji w próbie. Jest to środkowa statystyka pozycyja zwaa mediaą z próby (kwatyl z próby rzędu /). Mediaę z próby ozaczamy przez me. Mediaa z próby ma szczególe zastosowaie dla małych prób. W dużej próbie, pogrupowaej w szereg rozdzielczy, wartość mediay z próby wyzaczamy jako gdzie: r m x 0m m h h me = x0m + m umer przedziału klasowego, w którym zajduje się me, początek przedziału klasowego, w którym zajduje się me, liczebość przedziału r m, w którym zajduje się me, rozpiętość (długość) przedziałów klasowych. 36 r m j= j (4.3)

11 Przykład 4.3 Wyiki próby = elemetowej są astępujące: 00, 00, 00, 080, 060 Po uporządkowaiu w ciąg malejący otrzymujemy: 00, 00, 060, 080, 00. ( ) ( ) Zatem wartość mediay z próby wyosi me = Z = Z = 060. Przykład 4.4 mamy ( + )/ Dla wyików próby = 40 pogrupowaych w szereg rozdzielczy j [x 0j, x j ) j i j j j= / = 0, r m = 3, x 0m = 6, m = 8, h =, = 0 Wartość mediay wyosi: me = 6 + /8 (0 0) = 6, o Najczęściej używaymi statystykami z próby jako miara rozproszeia (rozrzutu) wyików z próby są: rozstęp, wariacja z próby, odchyleie stadardowe z próby, współczyik zmieości z próby. a) rozstęp jako miara rozrzutu wyików z próby używay jest jedyie dla ma łych prób i określoy jest za pomocą pierwszej i ostatiej statystyki pozycyjej jako: ( ) ( ) R = Z Z = Xmax Xmi (4.4) b) podstawową miarą rozrzutu wyików próby jest wariacja z próby S i arytmetyczy pierwiastek kwadratowy z wariacji, tj. odchyleie stadardowe z próby S, które określamy jako: r m ( Xi X) S = S = = Xi X (4.) Dla małych prób używa się astępującego wzoru: 37

12 S ( Xi X) = S = (4.6) Dla dużych prób, których wyiki pogrupowae są w szereg rozdzielczy o k klasach, których środkami są liczby, wartość s wariacji z próby oblicza się ze wzoru: s k 0 x j 0 ( j ) = x x j (4.7) j= Od wartości tej zaleca się odejmowaie tzw. poprawki a grupowaie, tj. liczby /h w przypadku bardzo małej liczby przedziałów, blisko. c) współczyik zmieości w próbie określa się jako V S = (4.8) X Jest to względa (iemiaowaa) miara rozrzutu wyików z próby. Przykład 4. Dla wyików próby = 7 x i Σ = 730 (xi x) Σ = 6400 obliczamy: 730 R = = 90, x = = 00, s = = 94, 3 s = s = 7 30, s = = 066, 7 s = s = 6 s v = x = 30, 4 00 = 003,, 3, 66 38

13 W przypadku, gdy mamy do czyieia z wielkościami o różym rzędzie wielkości p. graica plastyczości i wydłużeie względe, jedakowy względy rozrzut wyików obu wielkości ozacza jedakową ich regularość w czasie doświadczeń. Im miejsza wartość rozstępu, odchyleia stadardowego i wspóczyika zmieości to wyzaczae wielkości cechują się większą dokładością. Przykład 4.6 Dla wyików próby = 40 pogrupowaych w szereg rozdzielczy obliczamy: [x 0j, x j ) j x j ( xj x) ( j ) ,, 6, 7, 8, 4,4, 0,0 0,8 3,6 x x 8,8 9,68 0,8,67 8,0 Σ 40 4,40 j s = =, 06 0, 083 = 0, 977 s = 0977, = 0988, 40 3 o Najczęściej używaą statystyką z próby jako miarą korelacji w dwuwymiarowym rozkładzie empiryczym jest tzw. współczyik korelacji z próby, którego wartość obliczamy jako: r = ( xi x)( yi y) ( xi x)( yi y) s x s y = ( xi x) ( yi y) (4.9) Wartość r spełia ierówość r. W przypadku dużej próby z dwuwymiarowej populacji pogrupowae w tablicę korelacyją to wartość współczyika korelacji z próby obliczamy ze wzoru: 39

14 r = k l j= 0 0 ( i )( j ) x x y y s x s y ij (4.0) gdzie: ij liczebość w kratkach tablicy korelacyjej dla i =,,..., k oraz j =,,..., l. Przykład 4.7: Dla wyików pogrupowaych w tabeli korelacyjej x j y i x x i y y ,6 3,6 0,4, 4,4 i ( xi x)( yi y) ( xi x) 3,,8 3,8 7, 0,8 8,3 0,88, 0,8 3, 6,76,96 0,6, 9,36 ( yi x) 0,4 33,64 4,44,84 0,64 Σ = 3 Σ = 9 Σ =,36 Σ = 4,49 Σ = 0,8 3 obliczamy: x = = 9 46, y = = 38, r =, 36 4, 49 0, 8 = 037, Statystyką wyrażającą w dwuwymiarowym rozkładzie empiryczym fukcję liiowej regresji Y względem X opisujemy gdzie współczyik liiowej regresji z próby wyosi b = y = bx+ a (4.) ( xi x)( yi y) ( xi x) y = r s s x (4.) atomiast a = y b x (4.3) Dla przykładu 4.7 : b =, 36 = 06, 4, 49 a = 3, 8 + 0, 6 4, 6 = 34, 6 40

15 a fukcja regresji liiowej z próby ma postać: y = 06, x + 346, Należy pamiętać, że po obliczeiu wyików z próby jakiejkolwiek statystyki, iż ta statystyka jest zmieą losową o określoym rozkładzie prawdopodobień stwa. Dlatego też wioskowaie z wartości statystyki otrzymaej z wyików jedej kokretej próby ależy opierać a rozkładzie prawdopodobieństwa tej statystyki ZNACZĄCE CYFRY W WYNIKACH POMIARÓW W czasie opracowywaia wyików ależy dbać, by zarejestrowae cyfry zawierały wszystkie otrzymae iformacje. Odrzucić atomiast ależy te wszystkie cyfry, które przy daej metodzie pomiarów ie iosą iformacji. Pomiaru ie moża uzać za zakończoy, jeśli ie przeprowadzoo ocey dokładości pomiaru. Wartość pracy eksperymetatora zaczie maleje, jeśli zaokrąglając wyiki liczbowe gubi iformacje otrzymae w wyiku pomiarów potrzebe do wyzaczeia dokładości pomiarów. Nie ma ogólej reguły, moża atomiast przyjąć, że ostatia cyfra wyiku liczbowego powia wyrażać wahaia poszczególych pomiarów. Zaokrąglając wyiki, ależy ostatią z pozostających cyfr zwiększyć o jedość, jeśli pierwsza z odrzucoych cyfr jest rówa lub większa od. Jeśli odrzucoa cyfra jest miejsza od to pozostawimy ostatią zaczącą cyfrę ie zmieioą, p. jeśli wartość 0, zaokrąglać do trzech zaczących cyfr, ależy pozostawić 0,. Wartość 0,48 zaś zaokrąglamy 0,. Gdy odrzucoa cyfra była bez cyfr dalszych, często pozostałość zaokrągla się do ajbliższej liczby parzystej, p. 0,3 do 0,4 a 0, do 0,. Możąc lub dzieląc powiiśmy zachowywać jedyie te cyfry, których dokładość odpowiada dokładości składików. Iloczy 3,4 i, ależy zapisać jako 3, = 7, gdyż możik, jest poday z dokładością %, dlatego możik 3,4 też ależy rozpatrywać z taką dokładością. Przy dodawaiu postępujemy w podoby sposób tz. 4,4 + 3,03 ależy zapisać 4,4 + 3, = 7,6 4

16 Literatura. RUMSZYSKI L. Z.: Matematycze opracowaie wyików eksperymetu. Warszawa: WNT 973. GREŃ J.: Statystyka matematycza. Warszawa: PWN DIETRICH M.: Podstawy kostrukcji maszy, tom. Warszawa: PWN 986 4