a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

Transkrypt

1 ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg a o wyrazie ogólym a) Sprawdź a podstawie defiicji, czy ciąg a 5 = 1,,, a jest ciągiem arytmetyczym. b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby: a4, x, a11 są kolejymi wyrazami tego samego ciągu geometryczego. Zad.. ( pkt) Liczby 10, 105, 108, 111,... są kolejymi, początkowymi wyrazami pewego ciągu arytmetyczego a. Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz a 81. Zad.4. (5 pkt) Liczby: 11, x 1, 11 są, w podaej kolejości wyrazami malejącego ciągu geometryczego. Oblicz x. Zad.5. ( 4 pkt) Day jest rosący ciąg geometryczy, w którym a 1 1, a 7. a) Wyzacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, a podstawie którego moża obliczyć wyraz a, dla każdej liczby aturalej 1. c) Oblicz wyraz a 6. Zad.6. (5 pkt) Nieskończoy ciąg liczbowy a jest określoy wzorem a 41, 1,,,.... Wyrazy,, k ak 1 ak a daego ciągu a, wzięte w takim porządku, powiększoo: wyraz k a o 1, wyraz a k 1 o oraz wyraz a k o. W te sposób otrzymao trzy pierwsze wyrazy pewego ciągu geometryczego. Wyzacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometryczego. Zad.7. ( 7 pkt) Trzeci wyraz ciągu arytmetyczego a rówa się 15, a piętasty wyraz tego ciągu jest rówy (-9). a) Wyzacz pierwszy wyraz tego ciągu, jego różicę oraz wzór ogóly opisujący ty wyraz ciągu a. b) Zapisz wzór sumy początkowych, kolejych wyrazów ciągu ajwiększą wartość tej sumy. a w postaci iloczyowej. Oblicz Zad.8. ( 5 pkt) Liczby x,x, 5 są w podaej kolejości, pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetyczego a. Oblicz S100 a1 a... a100. 1

2 Zad.9. ( 5 pkt) Wszystkie liczby aturale dwucyfrowe, podziele przez 6 są kolejymi wyrazami pewego ciągu rosącego. a) Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu arytmetyczego. b) Oblicz, ile wyrazów ma te ciąg. c) Oblicz sumę piętastu początkowych kolejych wyrazów tego ciągu. Zad. 10. ( 4 pkt) Kliet zaciągął w baku pożyczkę w wysokości 700 zł. Spłatę rozłożył a 10 rat, z których każda astępa jest miejsza od poprzediej o 60 zł. Oblicz wysokość pierwszej i piątej raty. Zad. 11. ( 4 pkt) W kokursie plastyczym przyzao agrody a łączą kwotę zł. Najwyższa agroda wyosiła 6400 zł, a ajiższa 400 zł. Wiadomo poadto, że iloraz wartości dwóch kolejych agród był taki sam. Ile agród przyzao? Zad.1. ( 5 pkt) Rozwiąż rówaie x = 10. Zad.1. ( 5 pkt) a) Oblicz sumę wszystkich liczb aturalych trzycyfrowych. b) Oblicz sumę wszystkich liczb aturalych dwucyfrowych, które przy dzieleiu przez 4 dają resztę 1. Zad. 14. ( 7 pkt) Liczbę aturalą t azywamy - tą liczbą trójkątą, jeżeli jest oa sumą kolejych, początkowych t = 1+ =, liczb aturalych. Liczbami trójkątymi są zatem: t 1 = 1, t = = 6, t 4 = = 10, t t. a) wyzacz liczbę 17 b) ułóż odpowiedie rówaie i zbadaj, czy liczba 766 jest liczbą trójkątą. c) wyzacz ajwiększą czterocyfrową liczbę trójkątą.. Stosując tę defiicję: Zad. 15. ( 4 pkt) Widowia wokół boiska do koszykówki podzieloa jest a cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym astępym rzędzie o miejsca więcej iż w rzędzie poprzedim. W każdym sektorze są rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc a widowi. Zad. 16. ( 4 pkt) Aia przeczytała książkę sciece-fictio w ciągu 1 di, przy czym każdego dia czytała o taką samą liczbę stro więcej, iż w diu poprzedim. Ile stro miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim diu Aia przeczytała 8 stro a w ostatim 68? Zad.17. ( 5 pkt ) Na trzech półkach ustawioo 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt a półkach górej, środkowej i dolej tworzą rosący ciąg geometryczy. Na środkowej półce stoją 4 płyty. Oblicz, ile płyt stoi a półce góre, a ile płyt stoi a półce dolej. Zad.18. ( 5 pkt) Pa X umówił się z paem Y, że będzie mu wypłacał codzieie przez trzy tygodie pieiądze, przy czym pierwszego dia 10 zł, drugiego 0 zł, trzeciego 0 zł, czwartego 40 zł itd. W zamia pa Y

3 wypłaci mu pierwszego dia 1 grosz, drugiego grosze, trzeciego 4 grosze, czwartego 8 groszy itd. Który z paów zyska a tej umowie i ile? Zad.19. ( 4 pkt) Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągiętą w baku ależy spłacić w 1 ratach, z których każda astępa jest miejsza o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatiej raty. Zad.0. ( 4 pkt) Iwestor chce uzyskać w baku kredyt, który zamierza spłacić po czterech latach. Taki kredyt w baku A jest oprocetoway 1% w skali roku, a odsetki są dopisywae do długu co pół roku. Bak B oferuje oprocetowaie rocze 11% z roczą kapitalizacją odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizję w wysokości 4% kwoty udzieloego kredytu. Oceń, która oferta jest korzystiejsza dla kredytobiorcy. Zad. 1. ( 5 pkt ) 1 Nieskończoy ciąg liczbowy a jest określoy wzorem, a, 1,,,.... a) Oblicz, ile wyrazów ciągu a jest miejszych od 1,975. b) Dla pewej liczby x trzywyrazowy ciąg a a, x, 7 jest arytmetyczy. Oblicz x. Zad.. ( 5 pkt ) Day jest ciąg arytmetyczy a, gdzie 1. Wiadomo, że dla każdego 1 suma początkowych wyrazów S a 1 a) Wyzacz wzór a - ty wyraz ciągu b) Oblicz a 007. c) Wyzacz liczbę, dla której a = 0. a a... a wyraża się wzorem: S 1. a. Zad.. ( 4 pkt ) Day jest rosący ciąg geometryczy a dla 1, w którym a 1 = x, y, jeżeli wiadomo, że x + y = 5. a, 14 a y. Oblicz x oraz Zad. 4. ( pkt ) Liczby x, y,19 w podaej kolejości tworzą ciąg arytmetyczy, przy czym x+y=8. Oblicz x i y. Zad.5. ( pkt ) W skończoym ciągu geometryczym wyraz pierwszy jest rówy, a wyraz ostati 768. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów wyosi 15, oblicz iloraz tego ciągu. Zad.6. ( 4 pkt ) Ciąg jest arytmetyczy, atomiast ciąg jest geometryczy. Oblicz x oraz y i podaj te ciąg geometryczy. Zad.7. ( 4 pkt ) Ciąg jest arytmetyczy, atomiast ciąg jest geometryczy. Oblicz x, y oraz z. Zad. 8. ( pkt ) Liczby 64,x,4 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

4 Zad. 9. ( pkt ) Pierwszy wyraz ciągu arytmetyczego jest rówy, czwarty wyraz tego ciągu jest rówy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Zad. 0. (1 pkt ) Zad. 1. (1pkt ) Zad.. (1pkt ) Zad.. (1pkt ) Zad. 4. (1pkt ) Zad. 5. (1pkt ) Zad. 6. (1pkt ) 4

5 Zad. 7. (1pkt ) Zad. 8. (1pkt ) Zad. 9. (1pkt ) Zad. 40. (1pkt ) Zad. 41. (1pkt ) Zad. 4. (1pkt ) Zad. 4. (1pkt ) Zad. 44. (1pkt ) 5

6 Zad. 45. (1pkt ) Zad. 46. (1pkt ) Zad. 47. (1pkt ) Kwotę 1000 zł ulokowao w baku a roczą lokatę oprocetowaą w wysokości 4% w stosuku roczym. Po zakończeiu lokaty od aliczoych odsetek odprowadzay jest podatek w wysokości 19%. Maksymala kwota, jaką po upływie roku będzie moża wypłacić z baku, jest rówa A. B. C. D. Zad. 48. ( pkt) Zad. 49. ( pkt) Zad. 50. ( pkt) Zad. 51.( pkt) Zad. 5. ( pkt) Zad. 5. ( pkt) 6

7 Zad.54. ( pkt) Zad. 55.( 5 pkt) Zad. 56. ( 4 pkt) Zad. 57. ( 5 pkt) W ieskończoym ciągu arytmetyczym, określoym dla, suma jedeastu początkowych wyrazów tego ciągu jest rówa 187. Średia arytmetycza pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest rówa 1. Wyrazy,, ciągu, w podaej kolejości, tworzą owy ciąg trzywyrazowy ciąg geometryczy. Oblicz k. Zad. 58. ( 4 pkt) Day jest ieskończoy rosący ciąg arytmetyczy, dla taki, że. Wyrazy, oraz tego ciągu są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewego ciągu geometryczego. Wyzacz wzór a -ty wyraz ciągu, 7

8 ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( 5pkt) Suma początkowych wyrazów ciągu Wyzacz a. Wykaż, że ciąg a jest ciągiem arytmetyczym. a, jest obliczaa według wzoru S, N. Zad.. ( 5 pkt) Dla jakich wartości parametru m, pierwiastki wielomiau Wxx 4x m ciąg arytmetyczy? tworzą rosący Zad.. ( 5 pkt) Wyraz pierwszy i iloraz ciągu geometryczego a są odpowiedio rówe 1 i k 4. Zbadaj, dla jakich wartości parametru k ciąg arytmetyczym. b o wyrazie ogólym b log a 1 log a jest ciągiem Zad.4. ( 6 pkt) Liczby a b, 4a b, a 6b 7a, są trzema kolejymi wyrazami pewego ciągu arytmetyczego. Wyzacz wszystkie wartości a, dla których ciąg te jest rosący. Zad.5. ( 6 pkt) Uczeń przygotowujący się do matury z matematyki rozwiązał w ciągu tygodia tylko trzy zadaia. Zaplaował jedak, że w każdym astępym tygodiu rozwiąże o dwa zadaia więcej iż w poprzedim. Po ilu tygodiach suma rozwiązaych zadań przekroczy tysiąc? Zad.6. ( 6 pkt) Iloczy piątego i jedeastego wyrazu ciągu geometryczego a jest rówy 4. Oblicz iloczy piętastu początkowych kolejych wyrazów tego ciągu.. Zad. 7. ( pkt ) Udowodij, że jeżeli ciąg a, b, c jest jedocześie arytmetyczy i geometryczy, to a = b =c. Zad. 8. (5 pkt ) Ciąg geometryczy a jest określoy wzorem a 1 dla 1. a) Oblicz iloraz tego ciągu. b) Oblicz log a1 log a log a... log a100 czyli sumę logarytmów o podstawie, stu początkowych, kolejych wyrazów tego ciągu. Zad. 9. ( pkt ) Day jest ciąg współrzędych 1 dla 1. Ciąg y ma tę własość, że dla każdego 1 x, 1,1, 0, leżą a jedej prostej. Wyzacz wzór ogóly ciągu x,0 y pukty o y. Zad. 10. ( 5 pkt ) Długości boków trójkąta prostokątego są trzema kolejymi wyrazami rosącego geometryczego. Oblicz iloraz tego ciągu. ciągu 8

9 Zad. 11. ( 6 pkt ) Dae są ieskończoe ciągi: arytmetyczy i geometryczy. Wszystkie wyrazy tych ciągów są liczbami aturalymi dodatimi. Iloraz ciągu geometryczego jest pierwszym wyrazem ciągu arytmetyczego, a różica ciągu arytmetyczego jest pierwszym wyrazem ciągu geometryczego. Trzecie wyrazy tych ciągów są jedakowe. Wyzacz wzory ogóle tych ciągów. Zad. 1. ( 5 pkt ) Day jest rosący ciąg geometryczy a, w którym a 1 = 6, a = 4. a. a) Wyzacz wzór a -ty wyraz ciągu a5 b) Oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby a 1,, x tworzą ciąg arytmetyczy. 4 Zad. 1. ( 6 pkt ) Ciąg jest ieskończoym ciągiem geometryczym o wyrazach dodatich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadij, że gdzie ozacza sumę początkowych wyrazów tego ciągu. Zad. 14. ( 4 pkt ) Siusy kątów ostrych trójkąta prostokątego oraz liczba 1 tworzą ciąg geometryczy. Oblicz sius ajmiejszego kąta tego trójkąta. Zad. 15. ( 5 pkt ) Liczby x. są kolejymi wyrazami malejącego ciągu arytmetyczego. Oblicz Zad. 16. ( 5 pkt ) O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczy i a +c = 10, zaś ciąg ( a+1, b+4,c+19 ) jest geometryczy. Wyzacz te liczby. Zad. 17. ( 5 pkt ) Liczby aturale parzyste od do 100 zapisujemy kolejo jeda za drugą, tworząc liczbę aturalą a. Czy liczba a jest kwadratem pewej liczby aturalej? Wskazówka: zbadaj podzielość sumy cyfr. Zad.18. ( 4 pkt ) O ciągu dla wiadomo, że: a) ciąg określoy wzorem dla jest geometryczy o ilorazie, b) Oblicz. Zad. 19. ( pkt ) Udowodij, że w ciągu geometryczym o wyrazach dodatich iloczy k początkowych wyrazów ciągu wyraża się wzorem. Zad. 0. ( 5 pkt ) Ciąg liczbowy a jest określoy dla każdej liczby aturalej 1 gdzie p R. a jest arytmetyczy. a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg wzorem p a, b) Dla p = oblicz sumę a0 a1 a... a40. b określoy wzorem b a p jest stały. c) Wyzacz wszystkie wartości p, dla których ciąg 9

10 Zad. 1. ( 5 pkt ) Pole kwadratu K jest rówe 8. Środki boków tego kwadratu połączoo, tworząc czworokąt. Następie połączoo środki boków czworokąta, tworząc czworokąt. W podoby sposób utworzoo czworokąty,. Suma pól czworokątów, jest rówa. Zajdź liczbę. Zad.. ( 6 pkt ) Trzy liczby tworzą ciąg geometryczy. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg te zmiei się w arytmetyczy. Jeżeli zaś do ostatiej liczby owego ciągu arytmetyczego dodamy 64, to tak otrzymay ciąg będzie zów geometryczy. Zajdź te liczby. Uwzględij wszystkie możliwości. Zad.. ( 5 pkt ) W ciągu arytmetyczym, dla, dae są = - oraz różica r =. Oblicz ajwiększe takie, że. Zad. 4. ( 5 pkt ) Ciąg liczbowy jest arytmetyczy i, atomiast ciąg jest geometryczy. Oblicz a, b, c. Zad. 5. ( 5 pkt ) Wyzacz wszystkie wartości x, dla których ciąg jest malejącym ciągiem arytmetyczym. Zad. 6. ( 4 pkt ) Liczby są kolejymi początkowymi wyrazami ieskończoego ciągu geometryczego. Ile co ajwyżej, kolejych początkowych wyrazów tego ciągu ależy zsumować, aby otrzymać liczbę miejszą od? Zad. 7. ( 4 pkt) Liczby,,,, są dodatie i w podaej kolejości tworzą ciąg geometryczy. Uzasadij, że prawdziwa jest rówość. Zad. 8. ( 6 pkt) Trzy liczby są kolejymi wyrazami ciągu geometryczego, którego iloraz jest róży od 1. Jeżeli weźmiemy kolejo drugą z ich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy koleje wyrazy ciągu arytmetyczego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetyczego zmiejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmia, a trzeci zwiększymy o, to otrzymamy trzy koleje wyrazy ciągu geometryczego. Oblicz te liczby. 10

11 Zad. 9. ( 6 pkt) Ciąg geometryczy ma 100 wyrazów i są oe liczbami dodatimi. Suma wszystkich wyrazów o umerach ieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o umerach parzystych oraz = 100. Oblicz. Zad. 0. ( 1 pkt) Graica Zad. 1. ( 1 pkt) jest rówa B. C. 0 D. Ciągi określoe są astępująco oraz dla. Graica jest rówa A. B. C. 0 D. Zad.. ( pkt) Oblicz graicę. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przeciku rozwiięcia dziesiętego obliczoej graicy. Zad.. ( pkt) Oblicz. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przeciku rozwiięcia dziesiętego otrzymaego wyiku. Zad. 4. ( pkt) Oblicz. Zakoduj odpowiedź. Zad. 5. ( pkt) Ciągi określoe są astępująco oraz, dla. Oblicz graicę. Zakoduj odpowiedź. Zad. 6. ( pkt) Ciągi określoe są astępująco oraz, dla. Oblicz graicę. Zakoduj odpowiedź. 11

12 Zad. 7. ( pkt) Oblicz graicę. Zad. 8. ( pkt) Uzasadij, że. Zad. 9. ( pkt) Ciągi określoe są astępująco oraz dla. Oblicz graicę. Zad. 40. ( pkt) Ciągi określoe są astępująco oraz dla. Oblicz graicę Zad. 41. ( pkt) Ciąg określoy jest wzorem dla i p 0. Oblicz, dla jakiej wartości p graica ciągu jest rówa 0. Zakoduj odpowiedź. Zad. 4. ( pkt) Ciąg określoy jest wzorem dla i p 0. Oblicz, dla jakiej wartości p graica ciągu jest rówa. Zakoduj odpowiedź. Zad. 4. Spośród ciągów, których - ty wyraz określoy jest wzorem ma graicę rówą liczbie 4. wybierz te, który Zad. 44. ( pkt) Niech ozacza pole koła o promieiu, dla. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu Zad.45. ( pkt) Day jest ieskończoy ciąg geometryczy o wyrazach dodatich taki, że,. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zad.46. ( pkt) Day jest ieskończoy ciąg geometryczy taki, że pierwszy wyraz jest rówy, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest rówa. Oblicz iloraz tego ciągu. Zad.47. ( pkt) Day jest ieskończoy ciąg geometryczy określoy dla, o ilorazie. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest rówa -6. Oblicz. Zakoduj odpowiedź. 1

13 Zad.48. ( pkt) Day jest ieskończoy ciąg geometryczy określoy wzorem dla. Uzasadij, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest rówa Zad.49. Rozwiąż rówaie z iewiadomą t Zad.50. ( pkt) Day jest ciąg określoy wzorem rekurecyjym. Wyzacz czwarty wyraz tego ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przeciku rozwiięcia dziesiętego otrzymaego wyiku. Zad.51. ( pkt) W ieskończoym ciągu geometryczym pierwszy wyraz jest rówy, a czwarty wyraz jest rówy. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj cyfrę jedości i dwie pierwsze cyfry po przeciku rozwiięcia dziesiętego otrzymaej liczby. Zad.5. ( 5 pkt) Suma ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 8. Suma ieskończoego ciągu utworzoego z sześciaów wyrazów daego ciągu jest rówa. Wyzacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Zad.5. ( 6 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczy. Jeśli do pierwszej z ich dodamy 5, do drugiej, a do trzeciej 4, to otrzymamy rosący ciąg geometryczy, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego. Zajdź te liczby. Zad.54. ( 6 pkt) Trzy liczby, których suma jest rówa 105, są kolejymi wyrazami rosącego ciągu geometryczego. Pierwsza z tych liczb jest jedocześie pierwszym, druga szóstym, a trzecia dwudziestym szóstym wyrazem pewego ciągu arytmetyczego. Oblicz te liczby. 1

14 14