STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
|
|
- Mikołaj Paluch
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości, zapozaie ze tatytyczą aalizą wyików pomiarów, poobami zajdowaia i elimiacji wyików obarczoych błędami grubymi, oceą kładowej przypadkowej błędu, wkazaie a koieczość aalizy waruków i wyików pomiarów pod kątem obecości kładowej ytematyczej błędu PROGRAM ĆWICZENIA Pomiary wymiarów liiowych trójkątów, a, b, c, h a, h b, h c a zapozać ię z obługą uwmiarki i przeprowadzić kilka pomiarów próbych b przygotować tabele pomiarowe, Numer Nr a b c h a h b h c tudeta Trójkąta Numer tudeta odpowiada umerowi pierwzego trójkąta jaki mierzył tudet Te pierwzy trójkąt jet jego trójkątem c zmierzyć wymiary a, b, c, h a, h b, h c, wojego trójkąta a wyiki zapiać w tabeli w wierzu odpowiadającym umerowi trójkąta d wymieiać z kolegami trójkąty (ewetualie rówież uwmiarki - patrz uwagi), zmierzyć ich wymiary a wyiki wpiać w odpowiedie wierze tabeli Przekazaie wyików pomiarów a podzielić tabelę z wyikami pomiarów a wyiki pomiaru pojedyczych trójkątów,
2 Statytycza ocea wyików pomiaru b zebrać wyiki pozczególych trójkątów- przekazać wyiki pomiaru każdego trójkąta właścicielom trójkątów (pierwzy mierzoy przez tudeta trójkąt jet jego trójkątem) c Przygotować tabelę wyików pomiaru wymiarów liiowych trójkąta wojego trójkąta 3 Przygotowaie tabel z wyikami pozczególych trójkątów a Tabela wyików pomiarów wymiarów liiowych trójkąta r Nr tudeta a b c h a h b h c 8 X X- wartość średia wyików; - odchyleie tadardowe b Tabela wyików pomiaru pośrediego pola trójkąta r Nr tudeta 8 P a [mm ] P b [mm ] P c [mm ] P H [mm ] X P- powierzchia trójkąta; P a, P b, P c powierzchia obliczoa z odpowiediej podtawy i wyokości, P H - powierzchia obliczoa z wzoru Heroa Aaliza i opracowaie wyików pomiarów Każdy tudet przeprowadza idywidualą aalizę wyików pomiarów wojego trójkąta W ramach tej aalizy ależy: a) Zbadać, czy ą pomiary obciążoe błędem grubym i przeprowadzić elimiację lub korektę tych wyików W razie potrzeby wyzaczyć wartości parametrów tatytyczych w korygowaej erii pomiarów b) Przeprowadzić aalizę miar błędów przypadkowych (odchyleń tadardowych ) w wyikach pomiarów boków i wyokości Porówać między obą wartości odchyleń tadardowych w grupie pomiarów boków, w grupie pomiarów wyokości oraz określić relacje między wartościami odchyleń tadardowych pomiarów boków i wyokości c) Porówać iepewość pomiaru wyikającą z błędów przypadkowych pomiarów boków i wyokości z błędem graiczym uwmiarki Podać otatecze wyiki tych pomiarów z uwzględieiem przedziałów iepewości d) Przeprowadzić aalizę wyików obliczeń powierzchi pola badaego trójkąta P za pomocą różych wzorów Sprawdzić czy otrzymae wyiki ie ą przecze Oceić,
3 Statytycza ocea wyików pomiaru 3 czy ą wyiki obarczoe błędami ytematyczymi i jaka mogła być ich przyczya e) * Wyzaczyć miimalą liczbę pomiarów pozczególych boków i wyokości, którą ależałoby wykoać, aby błąd przypadkowy wyzaczeia średiej arytmetyczej w każdym z tych pomiarów, był przyajmiej 0 razy miejzy iż błąd graiczy uwmiarki ( a więc pomijalie mały ) f)*wyzaczyć wartości graicze bezwzględych i względych błędów przypadkowych pomiarów pola trójkąta z różych wzorów Sprawdzić czy zachodzi prawo propagacji błędów przypadkowych, Np czy : (δ p P a ) = (δ p a) + (δ p h a )? WPROWADZENIE DO TEMATU Pomiar jet czyością doświadczalą, wykoywaą w celu wyzaczeia wartości jakiejś wielkości Do wykoaia pomiaru potrzebe ą odpowiedie środki techicze - arzędzia pomiarowe, i oberwator - człowiek wykoujący pomiary i aalizujący ich wyiki Po wykoaiu pomiaru dypoujemy zbiorem wartości odczytaych z przyrządów pomiarowych Są to urowe wyiki pomiarów Mogą być oe uporządkowae i zarejetrowae w potaci pliku daych, tabeli lub wykreu Wyik pomiaru odczytay z przyrządu różi ię prawie zawze od wartości prawdziwej ( rzeczywitej ) mierzoej wielkości, to jet tej którą ma ta wielkość w chwili przeprowadzaia pomiaru Dokładość pomiaru określa bliką zgodość wyiku pomiaru z wartością prawdziwą Miarą dokładości jet błąd pomiaru, będący różicą między otrzymaym wyikiem a wartością prawdziwą Wartość prawdziwa jet pojęciem teoretyczym, idealym W praktyce możemy ię tylko przybliżyć do jej wartości za pomocą wartości poprawej, określoej tak dokładie, że moża a tej podtawie, z pewą iepewością, wyzaczyć błąd pomiaru Najczęściej jedak ie dypoujemy wartością poprawą i błędu pomiaru ie potrafimy określić jedozaczie Umiejętość przewidywaia przyczy i miejc wytępowaia błędów pozwala oceić ich charakter, ozacować ajwiękzą możliwą wartość dodatią i ujemą błędu, zaleźć wzajeme korelacje między błędami w pomiarach pośredich i złożoych itd Źródłami błędów i iepewości w pomiarach ą mi: arzędzia pomiarowe, metoda pomiaru, wpływy zewętrze, obliczeia, oberwator Nieuchroość itieia błędów w pomiarach i trudość z ich zidetyfikowaiem powoduje iepewość wyików pomiarów i rozrzut wartości, które moża w uzaadioy poób przypiać wielkości mierzoej Wyikiem pomiaru jet zatem zawze para liczb charakteryzująca przedział wartości w obrębie którego zajduje ię z makymalie dużym prawdopodobieńtwem wartość prawdziwa mierzoej wielkości Szacowaie przedziału iepewości otrzymaych wyików pomiarów jak i zukaie metod ograiczeia przyczy i miejc wytępowaia błędów jet w metrologii dużą ztuką Loowość zjawik decydujących w dużym topiu o wyikach pomiaru powoduje, że 3
4 Statytycza ocea wyików pomiaru 4 do aalizy błędów i ocey iepewości otrzymywaych wyików wykorzytuje ię modele i metody rachuku prawdopodobieńtwa i tatytyki matematyczej Przeprowadzeie erii pomiarów- czyli -krote powtórzeie pomiaru tej amej wielkości, daje zaę a wyzaczeie błędów o charakterze przypadkowym i admierym Zmiaa metody pomiaru pozwala a zauważeie błędu ytematyczego Spoób doboru metod pomiarowych i powtórzeia pomiaru mui być wybray świadomie, dając zaę a wykrycie błędów jedej z wymieioych kategorii Błędy ytematycze w pomiarach tej amej wartości pewej wielkości, w iezmieych warukach, tym amym arzędziem i metodą pomiarową, przeprowadzoych przez tego amego oberwatora pozotają tałe Wykrycie tych błędów jet możliwe przez powtórzeie pomiarów po zmiaie jedego z czyików wpływających a wyik, p iym arzędziem, w iej temperaturze, w iym miejcu, w przypadku pomiarów pośredich przez korzytaie z iej zależości fukcyjej między wyikiem a wielkościami mierzoymi bezpośredio ( w ćwiczeiu wyiki pomiaru pola trójkąta moża okręcić z różych wzorów i- z długości podtawy i wyokości lub tylko długości boków trójkąta)tp Błąd przypadkowy powoduje, że wyiki kolejych pomiarów zmieiają ię w poób loowy, mimo, że mierzoa jet ta ama wartość wielkości w warukach praktyczie iezmieych Wyikami pomiarów obarczoymi błędami przypadkowymi rządzą prawa tatytyki i ich modelem matematyczym jet rozkład ormaly ( Gaua) Błędy admiere (grube, omyłki) powodują wyraźe odtęptwo wyiku pomiaru w erii od pozotałych wyików otrzymaych w praktyczie iezmieych warukach Bardzo częto ich bezpośredim źródłem jet wykoujący pomiary człowiek Opracowaie erii wyików pomiarów x i ( dla i =, ) i wiokowaie o ich iepewości rozpoczya ię od wyzaczeia podtawowych parametrów tatytyczych daej erii -elemetowej: - wartości średiej arytmetyczej z pomiarów: X = x i i= - odchyleia tadardowego ( odchyleia średiokwadratowego ) wyików pomiarów od wartości średiej: = i = i= ( x X) i Różica miedzy wartością średią z wyików pomiarów i wartością, którą moża uzać za poprawą wyzacza błąd ytematyczy popełiay w każdym z pomiarów w erii Modelem matematyczym błędów przypadkowych jet rozkład ormaly (Gaua) opiay fukcją rozkładu gętości prawdopodobieńtwa f(x) zdarzeń loowych, którymi ą koleje wyiki pomiarów x : = ( x µ ) f( x) exp σ π σ 4
5 Statytycza ocea wyików pomiaru 5 gdzie: µ - wartość oczekiwaa E{x} σ - odchyleie tadardowe Parametr σ azyway jet wariacją Wariacja i odchyleie tadardowe ą miarą rozprozeia wartości x wokół wartości oczekiwaej µ, czyli tej ajbardziej prawdopodobej Z właściwości fukcji gętości prawdopodobieńtwa f(x) wyika określoe prawdopodobieńtwo atępujących zdarzeń loowych ( wyików pomiarów ): P {µ - 3 σ x µ + 3 σ }= 0,997 P {µ - σ x µ + σ }= 0955 P {µ - σ x µ + σ } = 0,683 W tabelach rozkładu ormalego moża zaleźć wartości wpółczyików k, określających prawdopodobieńtwo zdarzeia, że wartość x µ± kσ Wyzaczoa z erii pomiarów: wartość średia X i odchyleie tadardowe ą odpowiedio etymatorami (oceami ) parametrów µ(wartości oczekiwaej) i σ (odchyleia tadardowego) tego rozkładu Ozacza to, że po wykoaiu bardzo wielu wyików pomiarów, w przedziale wartości X± 3 powio zaleźć ię 99,7 % wyików pomiarów Wioek te moża wykorzytać do elimiowaia z erii wyików, pomiarów obciążoych błędem admierym Korekta wyików poprzez elimiację wyików podejrzaych wymaga przeliczeia parametrów X i dla krócoej erii Określająca przedział iepewości wartości 3 może być iterpretowaa jako wartość graicza błędu przypadkowego Prawdopodobieńtwo p, z jakim określa ię wartość błędu przypadkowego, może być miejze iż p=0,997 W wielu przypadkach wytarczająca jet wartość p=0,95 dająca błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru p x i = ± Wartość średia wyzaczoa z erii pomiarów jet tym bliżza wartości oczekiwaej im więkza jet liczba pomiarów w erii Odchyleie tadardowe wartości średiej z wyików o odchyleiu tadardowym zależy od liczby i jet rówe: x = Tak więc błąd przypadkowy przypiay wyzaczoej z pomiarów wartości średiej jet miejzy iż błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru w erii i wyoi : p X= k gdzie k jet odpowiedim wpółczyikiem dla rozkładu ormalego ( ajczęściej przyjmuje ię k= lub k=3) Parametry rozkładu ormalego touje ię do ocey wyików pomiarów powtórzoych co ajmiej 30 razy W eriach pomiarów miej liczych korzyta ię z właściwości rozkładu t-studeta Wpółczyiki t tego rozkładu ą tabelaryzowae jako 5
6 Statytycza ocea wyików pomiaru 6 fukcja liczby pomiarów i przyjętego prawdopodobieńtwa p i podobie jak wpółczyiki k pełią fukcję wpółczyików rozzerzeia przy wyzaczaiu przedziału iepewości powodowaego błędem przypadkowym W tabeli poiżej podao przykładowe wartości t dla typowych wartości p i liczby pomiarów p=0,95 p=0,997 5,78 6,6 0,6 4,08, ,5 3,58 4,3 3,53 5, 3,49 6, 3,46 7,0 3,43 8,09 3,40 9,08 3,38 0,08 3,35 30,04 3, W takim przypadku, błędy przypadkowe wyzacza ię z zależości aalogiczych jak dla rozkładu ormalego zatępując wpółczyik k odpowiedią wartością wpółczyika t ZADANIA W celu prawdzeia błędu wkazań woltomierza cyfrowego wykoao im trzydzieści pomiarów SEM ogiwa wzorcowego i otrzymao wyiki: a) zbadać, czy ą wyiki pomiarów obciążoe błędami grubymi i ewetualie dokoać ich elimiacji b) wyzaczyć średią U dla podaych wyików pomiarów, c) wyzaczyć z tej próby odchyleie tadardowe: pojedyczego pomiaru-, oraz średiej u, d) ozacować błąd ytematyczy woltomierza jeśli wartość poprawa wzorca SEM wyoi U p = (0860 ± ) V Za pomocą uwmiarki elektroiczej o błędzie graiczym 003 mm i rozdzielczości 00 mm zmierzoo wymiary liiowe trójkąta i otrzymao wyiki, boki: a = 9000 mm, b = 6380 mm, c = 800 mm, wyokości: h a = 5567 mm, h b = 7850 mm, h c = 680 mm Który ze wzorów P a, P b, P c czy P H pozwala a wyzaczeie powierzchi P trójkąta z ajmiejzym błędem graiczym (przy założeiu że błąd graiczy pomiaru boków i wyokości ie jet więkzy iż błąd uwmiarki) 3 Obliczoo średią arytmetyczą R z pomiarów rezytacji, R,R,,R Okazało ię 6
7 Statytycza ocea wyików pomiaru 7 atępie, że k-ty wyik, R k, k, jet obarczoy błędem grubym Wyprowadzić wzór obliczający ową korygowaą wartość średią R (bez poowego umowaia wyików) dla przypadków gdy: a) uuięto k-ty wyik z erii b) korygowao błędy, k-ty wyik R k, zatępując go wyikiem R k po twierdzeiu, że omyłkowo wpiao ią cyfrę a pierwzym miejcu zaczącym 4 * Trójkąt ABC ma zaokrągloe wierzchołki o promieiu krzywizy rówym r każdy, przy czym promień r jet bardzo mały w porówaiu z bokami, r << a,b,c Obliczyć kładową ytematyczą błędu pomiaru trójkąta przy użyciu różych wzorów P a, P b, P c oraz P H powodowaą zaokrągleiami w zależości od wartości r Założyć, że trójkąt jet w przybliżeiu rówoboczy: a b c 7
Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoWykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne
Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoPOMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne
D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do laboratorium 1
Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoThis copy is for personal use only - distribution prohibited.
ZESZYTY NAUKOWE WSOWL - - - - - Nr 1 (159) 11 Włodzimierz KUPICZ Staiław NIZIŃSKI ETODA DIAGNOZOWANIA SILNIKÓW SPALINOWYCH W WARUNKACH TRAKCYJNYCH W pracy przedtawioo ową metodę diagozowaia ilika paliowego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METROLOGII
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Cetrum Iżyierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczeie 5 Aaliza statystycza wyików pomiarów pozycji GNSS Szczeci, 010 Zespół wykoawczy: Dr iż. Paweł Zalewski Mgr
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoMIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz
Bardziej szczegółowoSYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN
ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowo2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoWykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne
Wykład 5 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi erycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna. Dr hab. inż. Piotr Konieczka.
00--5 STATYSTYKA Semiarium Chemia Aalitycza Dr hab. iż. Piotr Koieczka e-mail: piotr.koieczka@pg.gda.pl Dokładość (accuracy) topień zgodości uzykaego wyiku pojedyczego pomiaru z wartością oczekiwaą (rzeczywitą).
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk
Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia
Bardziej szczegółowoWpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo14. RACHUNEK BŁĘDÓW *
4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoMETODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU
METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoAnaliza gazów spalinowych
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Aaliza gazów iowych Laboratorium mierictwa (M 7) Opracował: dr iż. Grzegorz Wiciak Sprawdził:
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii. Natura pomiaru. masa 20 ± 1 g
Podstawy chemii ) Sposoby badań obiektów (6 h) pomiar i jego atura klasycza aaliza jakościowa i ilościowa obliczeia rówowagi i ph metody aalizy promieiowaie elektromagetycze kwatowa atura atomu oddziaływaie
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoMichał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna III rok. Dr inż. Piotr Konieczka
STATYSTYKA Semiarium Chemia Aalitycza III rok Dr iż. Piotr Koieczka Zaczijmy od defiicji Dokladość (accuracy) zgodość pomiędzy uzykaym wyikiem pomiaru z wartością rzeczywitą (oczekiwaą). Prawdziwość (truee)
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoOptymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu
dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoTechniczne Aspekty Zapewnienia Jakości
Istytut Techologii Maszy i Automatyzacji Politechii Wrocławsiej Pracowia Metrologii i Badań Jaości Wrocław, dia Ro i ierue studiów. Grupa (dzień tygodia i godzia rozpoczęcia zajęć) Techicze Aspety Zapewieia
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoNiepewność pomiaru. Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością. jest bledem bezwzględnym pomiaru
iepewność pomiaru dokładność pomiaru Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością X p X X X X X jest bledem bezwzględnym pomiaru [ X, X X ] p Przedział p p nazywany jest przedziałem
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizyczej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczy, błąd przypadkowy,
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h i k a P o z ańska ul. Jaa Pawła II 4 60-96 POZNAŃ (budyek Cetrum Mechatroiki, Biomechaiki i Naoiżerii) www.zmisp.mt.put.poza.pl tel. +48 6 66 3
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna. Dr inż. Piotr Konieczka.
STATYSTYKA Semiarium Chemia Aalitycza Dr iż. Piotr Koieczka e-mail: kaczor@chem.pg.gda.pl Zaczijmy od defiicji Dokładość (accuracy) topień zgodości uzykaego wyiku pojedyczego pomiaru z wartością oczekiwaą
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowo