Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi gwałtowna zmiana O charakterze układu decyduje wiekośćobciążenia. Obciążenie krytyczne obciążenie przejścia ze stanu stabinego do stanu niestabinego.
Metody obiczeniowe w biomechanice STANY RÓWNOWAGI Stan trwały Po ustaniu zaburzenia powrót do pozycji wyjściowej Stan obojętny Każda pozycja jest pozycją równowagi Stan chwiejny Wytrącenie z równowagi prowadzi do katastrofy
KRYTERIUM ENERGETYCZNE BADANIA STATECZNOŚCI Ocena zmiany całkowitej energii potencjanej wywołanej przez bardzo małe zaburzenie. Równowaga trwała wytrącenie z równowagi wymaga dostarczenia energii > Równowaga chwiejna wytrącenie z równowagi powoduje oddawanie energii < Równowaga obojętna bez zmian energii RÓWNOWAGA KRYTYCZNA
Przyrost energii potencjanej wywołany małą zmianą(wariacją) δ δ! warunek konieczny równowagi + δ +! δ +... Kryterium Lagrange a-diricheta badanie pierwszego członu nieiniowego δ > równowaga trwała δ równowaga obojętna (krytyczna) δ < równowaga chwiejna 4
KRYTERIUM STATECZNOŚCI W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Całkowita energia potencjana funkcją przemieszczeń węzłowych Wektor zaburzenia (,..., n ) { } d,d,..., T d d n Przyrost energii wywołany zaburzeniem n d i + i i n i n j i j d i d j 5
6 Przyrost energii wywołany zaburzeniem zapis macierzowy + n n d... d d d,..., d, d + n n n n n n d... d d............,...,d,d d (I) (II)
Zerowanie się członu (I) jest warunkiem koniecznym równowagi, jeśi człon (II) jest zerowy jest to równowaga krytyczna. Warunek ten sprowadza się do układu równań: i j { d} { } Przyjmuje się zazwyczaj obciążenie jednoparametryczne okreśony układ sił zewnętrznych i nieznany mnożnik λ. Ponieważ warunek musi być spełniony da dowonego wektora zaburzeń{d} mamy ostatecznie: det i ( λ ) j 7
Z warunku tego wyznaczane są wartości mnożnika odpowiadające obciążeniom krytycznym λ i zazwyczaj praktyczne znaczenia ma jego najniższa wartość. Koejnym krokiem jest wyznaczenie odpowiadającego obciążeniu krytycznemu wektora {d i }, który opisuje postać wyboczenia kształt deformacji przy utracie stateczności. Taka anaiza nie daje informacji o rzeczywistych przemieszczeniach konstrukcji. Jeśi warunek równowagi krytycznej jest spełniony da wektora {d i }, to jest spełniony również da tego wektora przemnożonego przez dowoną stałą m*{d i }. 8
ANALIZA STATECZNOŚCI PRĘTÓW ŚCISKANYCH p[n/m] P[N] x N(x) * w(x) * Zmiana energii Δwywołana jest zaburzeniem ugięciem w * (x): U W Z Przyrost energii odkształcenia sprężystego: U EJ ( w ) dx * 9
Praca obciążeń zewnętrznych na przemieszczeniach wywołanych zaburzeniem: W Z λ N * ( x ) du λ N ( x ) ( * ) dx gdzie: λn * (x) siła normana działająca w przekroju x * w dx α dx du du dx sin w ( cos α ) dx * dx α
Ostatecznie przyrost całkowitej energii potencjanej wywołany zaburzeniem: λ EJ * * ( w ) dx N ( x )( w ) dx * W metodzie eementów skończonych przyrost ten jest to funkcja przemieszczeń węzłowych: ({ } )
Da każdego eementu skończonego jego inia ugięcia zaeży od przemieszczeń węzłowych i funkcji kształtu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } e * e * e 4 4 * N w N w N, N, N, N w
Zmiana energii potencjanej eementu skończonego Stąd e EJ λ { N } N d { } e N *( ){ N } N d { } e e e e ([ K ] e λ [ K ] ){ } e e e σ e Gdzie [K] e to macierz sztywności eementu, a e [ K ] N ( ){ N } N σ e * d to macierz sztywności geometrycznej (naprężeń początkowych) e
Da stałej siły normanej w eemencie: N * () [ K ] σ e e 6 e 6 e e 4 e e e 6 e 6 e e e e 4 e 4
Da siły normanej zmiennej iniowo: N czyi stałego wydatku obciążeń: * ( ) ( ) p e e [ K ] σ e e 6 6 6 6 e e e 6 6 6 e 6 e e 6 e e 5
W modeu MES składającym się z LE eementów LE i i [ ( K ] λ [ K ]){ } σ Warunek zerowej zmiany energii prowadzi do zagadnienia na wartości własne: ([ K ] λ [ K σ ]){ } { } det( [ K ] λ [ K ]) σ 6
Anaiza stateczności sprowadza się do takiej postaci da każdego typu eementów skończonych. Różną postać mają jedynie macierze sztywności [K] i macierz sztywności geometrycznej [K σ ], która jest obiczana wcześniej da iniowego zadania statyki z zadanym obciążeniem. 7
8 Przykład rozwiązania Da modeu z jednym eementem skończonym pconst EJconst λ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 EJ 4
9 Po uwzgędnieniu warunków brzegowych: λ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 EJ 4
Daje to w rezutacie układ dwóch równań: EJ 6 λ 6 6 6 Aby miał rozwiązanie nietrywiane (był spełniony da dowonego {} {}): EJ 6 λ 6 6 det 6 4
Rozwiązaniem są następujące mnożniki λ λ λ,94ej I odpowiadające im wartości obciążenia (wydatku) krytycznego: 76,6EJ p p kr kr,94ej 76,6EJ
Oraz wektory postaci wyboczenia:,,,,9,,, 8,6 Które odpowiadają iniom ugięcia opisanym równaniami: w w ( ),6,6 + ( ) 6,6 + 5,6 +
Postaci wyboczenia,8,6 w,4,,8 w,6,4,,,,,4,5,6,7,8,9 / / w/
Obciążenie, da którego istnieją dwie różne możiwe postaci równowagi nazywa się punktem bifurkacji. Wyznaczone na podstawie opisanych anaiz obciążenia zazwyczaj traktuje sięjako niszczące. Tak jest w rzeczywistości np. w przypadku ściskanych prętów. 4
Punkt bifurkacji jest jednakże cechą równań w modeu matematycznym opisującym utratę stateczności i często niedokładnie oddaje fizykęzjawiska. Jest tak w przypadku płyty, kiedy po utracie stateczności ustrój może jeszcze przenosić obciążenia pozostając w równowadze i w stanie sprężystym, a przejście z jednej postaci równowagi w drugą jest łagodne. 5
Z koei w przypadku cienkościennych powłok obciążenie krytyczne (odpowiadające punktowi bifurkacji) może być zawyżone kikukrotnie. Przejście z jednej postaci równowagi w drugą może mieć charakter gwałtownego przeskoku. 6
W ceu dokładnego zbadania zachowanie się ustroju przy obciążeniu zbiżonym ub większym od obciążenia krytycznego z uwzgędnieniem rzeczywistych kształtów geometrycznych naeży przeprowadzićanaizy nieiniowe. 7