Mechanika Analityczna i Drgania

Transkrypt

1 Mechanika naityczna i rgania Zasada prac przygotowanych dr inż. Sebastian akuła Wydział nżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki mai: spakua@agh.edu.p dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 1

2 1. Wyznacz siłę Q wywieraną na drewniany bok przez siłę za pomocą mechanizmu imadła przedstawionego na rysunku. y x Rozwiązanie: R y R x d ' δ y ' δ x Q x = 2sin y = cos δ x = 2cos δ δ y = sin δ Zasada prac przygotowanych: δw = δ y Q δx = 0 ( Q ) sin 2 cos δ = 0 1 Q = tg 2 Jeśi założymy tarcie boku o podłoże, wówczas: R y R x d ' δ y ' N δ x Q T = µ N Siłę nacisku można poiczyć z równania momentu wzgędem przegubu ub z symetrii układu: 1 N = T = µ 2 2 Zasada prac przygotowanych: δw = δ y Q+ T δx = 0 ( ) ( Q ) sin 2 cos µ cos δ = 0 1 Q = ( tg µ ) 2 2. Wyznacz siły reakcji podpór beki obciążonej jak na rysunku stosując zasadę prac przygotowanych. a Q e d c b dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 2

3 . Układ przed przyłożeniem siły do przegubu w punkcie zajmuje położenie równowagi jak na rysunku, a sprężyna o sztywności k nie jest odkształcona. W wyniku przyłożenia siły, ramiona ugną się i układ znajdzie nowe położenie równowagi. Wyznacz nowe położenie równowagi podając kąt β, jaki tworzą ramiona układu z podłożem. ane: k,,, y k x. Obicz reakcje w przegubach i. 5. ana jest prasa kinowa jak na rysunku. Wyznaczyć siłę S w ściskanej sprężynie w przypadku, gdy siła =1kN przyłożona jest do końca rękojeści o długości a=0,6m prostopade do osi śruby i rękojeści. Skok śruby wynosi h=12 mm. Kąt przy wierzchołku kina wynosi ϕ=0. Rozpatrzeć dwa warianty: a) bez tarcia, b) z uwzgędnieniem tarcia pomiędzy kinem, a podłożem (masę kina, sprężyny i łącznika pominąć). rzyjąć do obiczeń µ=0.. k ϕ a dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona

4 6. odnośnik hydrauiczny służy do podnoszenia jedno tonowych skrzyń. Składa się z patformy oraz dwóch identycznych systemów dźwigowych, na który oddziałują dwa hydrauiczne siłowniki. (Tyko jeden siłownik jest widoczny). złony i mają długość 2a, a człon jest przymocowany w środku. Okreś siłę wywieraną przez poszczegóne siłowniki gdy podnoszą skrzynię o ciężarze 1 tony. ϕ=60, a= 0,70 m oraz L=,2 m. Q 2a ϕ H L /2 L /2 dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona

5 Wyznaczanie wartości sił wewnętrznych w prętach kratownicy za pomocą zasady prac przygotowanych (wirtuanych) rzykład. Wyznacz siłę reakcji wskazanego pręta w kratownicy stosując zasadę prac przygotowanych (Z). ane: = 20 kn, = 10kN Wstęp: łówną zaetą stosowania Z jest brak konieczności wyznaczania wartości sił reakcji więzów kratownicy. Nie ma potrzeby wyznaczania reakcji w przegubie i podporze. Naeży zwrócić uwagę, że przedstawiona kratownica jest statycznie wewnętrznie wyznaczana. Oznacza to, że kratownica posiada 0 stopni swobody i nie złoży się pod wpływem oddziaływania sił zewnętrznych. Statyczną wyznaczaność kratownicy można obiczyć posługując się wzorem: s = 2w gdzie: s iczba stopni swobody; w iczba węzłów; iczba prętów. Trójka we wzorze oznacza iczbę niewiadomych związanych z reakcjami więzów. Zwyke w płaskich układach kratownicowych iczba ta wynosi. Obiczmy stopnie swobody kratownicy: s = = 0 Tak jak oczekiwaiśmy iczba stopni swobody wynosi 0. dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 5

6 Rozwiązanie: W pierwszym etapie pozbywamy się pręta, którego wartość reakcji chcemy poiczyć i zastępujemy go parą sił tak jak na rysunku. W rezutacie, kratownica staje się mechanizmem o ruchiwości 1 (1 stopień swobody) i dziei się w tym wypadku na dwie bryły sztywne nazywane często tarczami ( i ). Tarczy są połączone prętami i. S S Skoro mechanizm ma jeden stopień swobody, tak więc jego ruch będzie zaeżał tyko od jednej współrzędnej. Wymuśmy zatem ruch tego mechanizmu, nadając prędkość kątową tarczy. ω Tarcza porusza się ruchem obrotowym wzgędem przegubu. rędkość każdego z punktów tarczy, będzie wynika z prędkości obrotowej tarczy. 5ω 5 ω W większości przypadków bardziej będą potrzebne składowe prędkości punktów bryły niż bezwzgędne wartości prędkości. atego epiej przedstawić prędkość punktu za pomocą dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 6

7 składowych. oza tym zwyke łatwiej jest wyznaczyć składowe prędkości niż wartość bezwzgędną. W tym wypadku ramię ma długość 5m, bowiem z geometrii otrzymaiśmy trójkąt pitagorejski. Składowe prędkości punktu obiczamy w następujący sposób: ω ω ω Mamy obiczone prędkości wszystkich punktów tarczy, zajmijmy się koejnymi eementami kratownicy. Zwróćmy uwagę, że tarcza porusza się ruchem płaskim! Nie możemy w nim wyróżnić środka obrotu. Wartości prędkości punktów obiczymy posługując się metodą chwiowego środka prędkości. ω W pierwszej koejności naeży zając się więzami kratownicy. odpora przesuwna unieruchamia nam ruch punktu w kierunku pionowym. Zatem jedyny możiwy ruch może odbywać się w kierunku poziomym. Nie wiemy na razie jaką ma wartość ani zwrot. echa charakterystyczną prętów (również brył sztywnych) jest to, że nie mogą się wydłużać ani skracać (zaniedbując małe odkształcenia sprężyste). W związku z tym składowe prędkości obydwu końców pręta wzdłuż osi tego pręta musza być sobie równe (metoda rzutowania wektorów prędkości bryły sztywnej). Z tego wynika, że pozioma składowa prędkości punktu będzie taka sama jak punktu. To samo dotyczy składowej poziomej prędkości i (której nie ma). Z dotychczasowej anaizy wynika, że znamy kierunki prędkości dwóch punktu tarczy, ae nie znamy ich wartości. To jednak wystarczy. Możemy dzięki temu wyznaczyć chwiowy środek prędkości tarczy. oprowadźmy w tym ceu proste prostopadłe do wektorów prędkości których kierunek znamy. dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 7

8 ω ω O Tak więc punkt jest chwiowym środkiem prędkości da tarczy. Zwrot prędkości kątowej okreśamy za pomocą znanej nam składowej poziomej prędkości punktu. Za jej pomocą poiczymy również wartość prędkości kątowej ω. ω ω = ω = ω Znając prędkość kątową tarczy dwa obiczymy wszystkie składowe prędkości punktów tarczy. 9ω ω ω 9ω ω ω = ω O Teraz do tego schematu dołóżmy siły zewnętrzne i siły reakcji interesującego nas pręta. Siły od razu rozłóżmy na składowe. dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 8

9 9ω Scos() cos(0) sin(0) ω Ssin() Ssin() Scos() ω O 5 sin ( ) = = 0,8 5 cos ( ) = = 0, 6 5 Teraz wystarczy zapisać równanie pracy przygotowanej, która w przypadku układu statycznego powinna być równa 0. W tym wypadku mamy do czynienia z mocami chwiowymi ecz przy więzach geometrycznych (czyi takich jakie tutaj występują) prędkości chwiowe są proporcjonane do przemieszczeń przygotowanych. Można w takim wypadku operować na ioczynie wektorów prędkości i sił. δw = 0 Ssin Scos Ssin 9ω + cos 0 sin 0 ω = 0 ( ) ( ) Możemy to równanie obustronnie podzieić przez ω i uporządkować. ( 6sin + cos + 9sin) = 6 + cos( 0) sin ( 0) S Ostatecznie: S S ( ) ( ) 6 + cos 0 sin 0 = 6sin + cos + 9sin = 2 = 9,697kN,8 + 2, + 7, 2 Wartość siły reakcji można sprawdzić innymi metodami: równoważenia węzłów; remony; Rittera. Jednak każda z tych metod wymaga obiczenia wcześniej sił reakcji. dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 9

10 Zadanie 7. Wyznacz wartość siły reakcji pręta H kratownicy przedstawionej na rysunku wykorzystując zasadę prac przygotowanych. 2 5 o J H 5 o K dr inż. Sebastian akuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki H Strona 10