Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej
|
|
- Krzysztof Piekarski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD 5 Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej Część 1 Odwzorowanie drgań oscyatora iniowego na płaszczyźnie fazowej 3.1. Płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, obraz fazowy Pojęcie zmiennych fazowych zostało wprowadzone w dynamice punktu materianego w ceu umożiwienia anaizy prędkości punktu jako funkcji jego położenia ub drogi przebytej w czasie ruchu od pewnego położenia początkowego. Wiee zagadnień w mechanice dotyczy reacji prędkości i przemieszczeń, a czas ma w nich znaczenie drugorzędne. Przypomnijmy zastosowania zasady zachowania energii mechanicznej punktów materianych, brył ub mechanizmów, które prowadziły do takich właśnie wzajemnych reacji prędkości i przemieszczeń. Przykładem jest badanie maksymanej wysokości rzutu pionowego w pou grawitacyjnym ub prędkości ucieczki z tego poa (w przypadku poa ziemskiego niejednorodnego to probem drugiej prędkości kosmicznej). W teorii drgań [] badanie reacji prędkości i przemieszczenia oscyatora umożiwia poznanie niektórych właściwości drgań bez konieczności rozwiązywania równań ruchu. Otwiera też poe ciekawych interpretacji graficznych, pogłębiających zdobytą już wiedzę. Rozważmy oscyator o jednym stopniu swobody bez wymuszenia, opisany następującym równaniem różniczkowym: m P(, ), (3.1) które może modeować drgania punktu materianego, bryły ub mechanizmu, przy odpowiedniej interpretacji wiekości m, oraz P. Warunki początkowe mają postać: ), (). (3.) ( Równanie (3.1) można najpierw przekształcić do postaci: a następnie, wprowadzając prędkość F(, ), (3.3), przedstawić jako dwa równania I rzędu: d dt d dt F(, (3.4) 68
2 Dzieąc teraz stronami równania (3.4), formanie eiminujemy czas i otrzymujemy pojedyńcze równanie różniczkowe I rzędu: d F(,, (3.5) d w którym niewiadomą funkcją jest (), a warunki początkowe (3.) stają się warunkiem brzegowym: Zmienne (. (3.6) ), nazywamy zmiennymi fazowymi, płaszczyznę ich odwzorowania O - płaszczyzną fazową, równanie (3.5) - równaniem trajektorii fazowych, a jego rozwiązanie () - trajektorią fazową. Zauważmy, że rozwiązanie równania ruchu (3.3) oraz jego pochodna czasowa, czyi prędkość, są pewnymi funkcjami czasu i zaeżą od warunków początkowych: f1( t,, ) f( t,, ) (3.7) Są to parametryczne równania trajektorii fazowej na płaszczyźnie O, zaczynającej się w ( punkcie, ), która jest też rozwiązaniem równania (3.5) odpowiadającym warunkowi brzegowemu (3.6). Zbiór wszystkich możiwych trajektorii fazowych nazywamy obrazem fazowym układu. Obraz fazowy składa się z nieskończenie wieu trajektorii, które gęsto wypełniają płaszczyznę fazową. Rysujemy tyko niektóre z nich, aby pokazać ich zmienność, a czasami różny charakter w różnych częściach płaszczyzny fazowej. Przykład 3.1 Wyznaczyć obraz fazowy oscyatora iniowego nietłumionego o częstości oraz trajektorię fazową odpowiadającą warunkom początkowym ( ), (). Równanie ruchu rozpatrywanego oscyatora jest następujące: Równanie trajektorii fazowych (3.5) przyjmuje postać: Równanie to można scałkować przez rozdzieenie zmiennych:. (a) d. (b) d 1 1 d d C, (c) 69
3 gdzie C jest stałą całkowania o jednostce [m²/s²]. Obraz fazowy tego oscyatora jest więc jednoparametrową rodziną eips (parametr C): =1 (d) C (C)/ o półosiach C oraz C /. Stała C zapewniająca spełnienie założonych warunków początkowych ma wartość: a odpowiednia trajektoria ma równanie: 1 C, (e) C / i jest pokazana na Rys na te obrazu fazowego. 1 (f) Koniec Przykładu 3.1. Rys Trajektoria fazowa i obraz fazowy oscyatora z Przykładu 3.1. Z postaci równania trajektorii fazowych (3.5) wynikają ważne właściwości tych krzywych. Punkty płaszczyzny fazowej można podzieić na dwie kategorie reguarne i osobiwe. Punkt osobiwy, to taki punkt (, ), w którym styczna do trajektorii jest nieokreśona, co wynika z następujących warunków: d d F(, ) oraz. (3.8) Nieokreśoność stycznej do trajektorii oznacza, że przez punkt osobiwy przechodzi wiee trajektorii ub nie przechodzi żadna. Każdy punkt płaszczyzny fazowej, który nie jest punktem osobiwym, jest punktem reguarnym. Przez każdy punkt reguarny przechodzi dokładnie jedna trajektoria. 7
4 Punkty osobiwe eżą na osi przemieszczeń ( współrzędne są rozwiązaniami równania ogónie nieiniowego: ). Może być ich wiee, a ich F (,). (3.9) Punkty te mają ważną interpretację fizyczną, jako położenia równowagi statycznej układu. Rzeczywiście, warunek (3.8) impikuje: d F (,, (3.1) dt zatem w każdym punkcie osobiwym prędkość i przyspieszenie jest równe, czyi jest to położenie równowagi. Uwagi: 1. Oscyator iniowy ma dokładnie jedno położenie równowagi, czyi jeden punkt osobiwy.. W przypadku niewystępowania siły zaeżnej od położenia (układ nie jest oscyatorem), cała oś jest zbiorem nieskończonej, nieprzeiczanej iczby punktów osobiwych. 3. Każda trajektoria przecina oś jest punktem reguarnym. ( ) pod kątem prostym, jeśi tyko punkt przecięcia 4. Ruch punktu (, po trajektorii odbywa się tak, że na górnej półpłaszczyźnie ( ) zmienna przyrasta, a na donej ( ) maeje. Tak więc, ruch po trajektoriach eiptycznych oscyatora z Przykładu 3.1 odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara. Przykład 3. Punkt materiany o masie m może poruszać się po inii prostej poziomej z iniowymi oporami ośrodka o współczynniku c. Wyznaczyć i narysować obraz fazowy tego punktu. Równanie ruchu punktu ma postać: a odpowiadające mu równanie trajektorii nie zawiera zmiennej Cała oś rodzina prostych: m c, (a) d d (Uwaga ): c d c. (b) d jest zbiorem punktów osobiwych, a obrazem fazowym jest jednoparametrowa ( ) c D, (c) gdzie D jest stałą całkowania, stanowiącą parametr rodziny (Rys. 3.). 71
5 Rys. 3.. Obraz fazowy punktu materianego z Przykładu Punkty osobiwe układu iniowego W tej części wykładu rozpatrzymy wszystkie możiwe typy punktu osobiwego układu iniowego o jednym stopniu swobody, o równaniu ruchu: nie ograniczając się tyko do oscyatorów, da których mamy, (3.11),, ae dopuszczając dowone rzeczywiste wartości współczynników i. Nie oznacza to odejścia od fizyki oscyatorów tłumionych, ae włączenie probemów nieiniowych, w których okana inearyzacja wokół pewnego położenia równowagi może prowadzić do ujemnych wartości stałych ub. Przykład 3.3. Wyznaczyć współczynnik da wahadła matematycznego o długości ruchu zinearyzowanym wokół górnego położenia równowagi., w jego równaniu Równanie ruchu wahadła wokół położenia donego jest dobrze znane z dynamiki punktu: gdzie g sin, (a) jest kątem odchyenia wahadła od donego położenia równowagi w pou grawitacyjnym. Wahadło ma też inne położenia równowagi opisane równaniem: g F(, ) sin sin k k. (b) Zbiór położeń równowagi jest formanie nieskończony, równoiczny ze zbiorem iczb naturanych, ae powtarzają się w nim iczby 1 oraz. Wprowadzając zmienną, otrzymujemy równanie wahadła w otoczeniu górnego położenia równowagi: g g sin( ) sin. (c) 7
6 Linearyzując równanie (c) wokół g w którym. Koniec Przykładu 3.3., otrzymujemy równanie typu (3.11): g, (d) Trajektorie fazowe układu (3.11) opisane są równaniem różniczkowym: d d. (3.1) Kasyfikacja typów punktu osobiwego jego równania charakterystycznego: równania (3.11) opiera się na pierwiastkach r r. (3.13) Rozpatrzymy cztery następujące przypadki, odpowiadające poszczegónym typom punktów osobiwych. Wyróżnik równania ma postać: 4. 1.,, - drgania oscyatora nietłumionego, punkt osobiwy typu środek Pierwiastki charakterystyczne są czysto urojone, sprzężone: r1 i. (3.14), Z Wykładu wiemy, że mamy wtedy do czynienia z drganiami swobodnymi nietłumionymi o przebiegu harmonicznym. Równanie trajektorii fazowych ma postać: d d, (3.15) a jego rozwiązanie przedstawia rodzinę eips (Przykład 3.1, Rys. 3.1):.,, 4, punkt osobiwy typu ognisko Pierwiastki charakterystyczne są zespoone sprzężone: C. (3.16) 4 r 1, i. (3.17) Pierwiastki te mogą mieć ujemne ub dodatnie części rzeczywiste, zaeżnie od znaku. Naeży więc rozróżnić te dwa przypadki. Od strony fizycznej różnią się one tym, że w przypadku drgania narastają z czasem, oddaając się coraz bardziej od punktu osobiwego. Okreśamy to jako niestateczność punktu osobiwego, a tym samym położenia równowagi układu. W przypadku drgania mają charakter zanikający i trajektoria zbiża 73
7 się z czasem do punktu osobiwego. Mówimy, że punkt osobiwy i położenie równowagi są stateczne. Uwaga Istnieją różne definicje stateczności używane w teorii równań różniczkowych, a nawet w teorii drgań. Niestateczność, o której mowa powyżej, nazywa się niestatecznością w sensie Lapunowa, a kryterium tej niestateczności to dodatni znak części rzeczywistej pierwiastka charakterystycznego (ub całego pierwiastka, jeśi jest rzeczywisty). Mamy zatem dwa podtypy punktu osobiwego zwanego ogniskiem: a) ognisko stateczne, gdy, b) ognisko niestateczne, gdy. W obu przypadkach trajektorie są spiraami ogarytmicznymi, które wyznacza się trudniej niż eipsy w przypadku środka. Datego pokazujemy je tyko pogądowo, a nie opisujemy równaniami (Rys. 3.3). Rys Obrazy fazowe wokół ogniska: a) statecznego, b) niestatecznego 3.,, 4, punkt osobiwy typu węzeł Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste: 4 r 1,. (3.18) Podobnie jak w przypadku ogniska, będziemy mieć do czynienia z dwoma podtypami węzła statecznym, gdy i niestatecznym, gdy. Z podobnych powodów pokażemy w sposób pogądowy przebieg trajektorii. Przypadek znamy już z drgań swobodnych sinie tłumionych. Drgania te zanikają tak szybko, że przebiegi są nieoscyacyjne, z co najwyżej jednym miejscem zerowym. Podobnie szybkie jest narastanie drgań da. Można wykazać (zrobimy to w następnym wykładzie), że w obrazie fazowym wokół węzła pojawiają się dwie trajektorie proste, usytuowane jak pokazano na Rys. 3.4). 74
8 Rys Obrazy fazowe wokół węzła: a) statecznego, b) niestatecznego Węzeł, da którego 4, nazywa się węzłem zdegenerowanym. Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste jednakowe: r 1,, (3.19) a dwie trajektorie proste łączą się w jedną. Obrazy fazowe wokół węzła zdegenerowanego pokazano na Rys Rys Obrazy fazowe wokół węzła zdegenerowanego: a) statecznego, b) niestatecznego 4.,, 4, punkt osobiwy typu siodło. Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste, przeciwnych znaków. 4 r 1,. (3.) W przypadku siodła trajektorie są hiperboami. Równanie rodziny łatwo wyprowadzimy w przypadku. Mamy wtedy równanie różniczkowe trajektorii w postaci (3.15), które wobec przedstawia rodzinę hiperbo, pokazanych na Rys
9 Rys Obraz fazowy wokół siodła w przypadku braku tłumienia ( (Uwaga: strzałki na dwóch donych trajektoriach powinny być skierowane w ewo) Jak widać, obraz fazowy zawiera dwie trajektorie proste, będące asymptotami trajektorii ). hiperboicznych. Jako przykład układu dynamicznego, którego punktem osobiwym jest siodło, może służyć wahadło matematyczne z Przykładu 3.3, jeśi jego ruch rozważany jest w otoczeniu górnego położenia równowagi. Układ iniowy o jednym stopniu swobody nie ma innych punktów osobiwych niż wymienione wyżej: środek, ognisko, węzeł i siodło. Na płaszczyźnie współczynników można wskazać obszary ich występowania. Pokazano to na Rys. 3.7., Rys Obszary różnych punktów osobiwych w zaeżności od współczynników równania ruchu ; oznaczenia: ś środki, os ogniska stateczne, ons ogniska niestateczne, ws węzły stateczne, wns węzły niestateczne, wzs węzły zdegenerowane stateczne, wzns węzły zdegenerowane niestateczne, s - siodła Każdemu punktowi na płaszczyźnie (, ), z wyjątkiem przypadków, odpowiada punkt osobiwy odpowiedniego typu i stateczności, według powyższej kasyfikacji. W przypadku, wszystkie punkty płaszczyzny fazowej eżące na osi O są punktami osobiwymi, a jednocześnie położeniami równowagi układu. Punkty osobiwe są wszystkie stateczne, gdy, abo niestateczne, gdy. Wszystkie trajektorie fazowe są iniami prostymi. W Przykładzie 3. pokazano je da. Punktowi (, ) (,) odpowiada ruch jednostajny rozpatrywanego układu dynamicznego. Jego trajektorie fazowe są poziome. 76
10 3.3. Izokiny i trajektorie proste w obrazie fazowym Wróćmy do ogónej postaci równania ruchu oraz jego trajektorii fazowych: d F(, F(, ),. d Izokiną nazywamy miejsce geometryczne reguarnych punktów płaszczyzny fazowej układu, w których trajektoria fazowa ma ten sam tangens nachyenia stycznej. Jak zobaczymy, izokina jest krzywą przechodzącą przez punkty o tym samym kącie nachyenia do osi O. Ponieważ tangens kąta nachyenia stycznej jest dowoną iczbą rzeczywistą, więc izokin jest nieskończenie wiee i tworzą one jednoparametrową rodzinę krzywych na płaszczyźnie fazowej. Równanie tej rodziny jest następujące: gdzie Uwaga CR d d C F(, C, (3.1) jest tangensem nachyenia stycznej do trajektorii, będącym parametrem rodziny. Zgodnie z równaniem rodziny izokin (3.1), oś O kątowi stycznej /. Jeśi F (, jest funkcją iniową, to jest: to równanie izokin ma postać: jest izokiną, odpowiadającą C i F(,, 3.) C C (3.3) W układzie iniowym izokiny są zatem iniami prostymi przechodzącymi przez początek płaszczyzny fazowej. Przykład 3.4. Wyznaczyć rodzinę izokin oscyatora harmonicznego o równaniu. Na podstawie (3.) równanie rodziny izokin rozpatrywanego oscyatora ma postać: C. (a) C Jest to rodzina prostych przez początek układu współrzędnych, o tangensie kąta stycznej: tg. (b) C 77
11 Izokiny pokazano na Rys. 3.8 da = [rad/s]. Przykładowo wyróżniono izokinę da C 1. Przykład 3.5. Rys Rodzina izokin oscyatora harmonicznego z Przykładu 3.4 Wyznaczyć i narysować rodzinę izokin wahadła matematycznego o częstości [rad/s], w zakresie kąta obrotu wahadła, iczonego od donego położenia równowagi. Płaszczyzna fazowa da drgań kątowych wahadła ma współrzędne prędkością kątową wahadła. Równanie ruchu jest następujące: a równanie rodziny izokin ma postać nieiniową: Rodzina izokin jest zatem zbiorem sinusoid o długości fai (, ), gdzie jest 4sin, (a) 4sin 4 C sin. (b) C i ampitudzie zaeżnej od 1 1 stałej C. Na Rys pokazano izokiny C, 1,,,, 1,, a także izokinę C, która pokrywa się z osią odciętych płaszczyzny fazowej. 78
12 Rys Izokiny wahadła z Przykładu 3.5. Koniec Przykładu 3.5. Interesujący jest probem istnienia trajektorii fazowych układu dynamicznego, będących iniami prostymi. Bez dowodu stwierdziiśmy ich istnienie w przypadku obrazów fazowych układu iniowego wokół punktów osobiwych węzła i siodła. Zauważmy przede wszystkim, że trajektoria prosta - jeśi istnieje - musi pokrywać się z izokiną prostą, odpowiadającą jej kątowi nachyenia. Układ dynamiczny musi być zatem iniowy. Tangens kąta nachyenia trajektorii fazowej musi być równy tangensowi nachyenia izokiny. Jeśi równanie ruchu jest, to równanie rodziny izokin ma postać:. (3.4) C Równość kątów nachyenia izokiny i trajektorii prowadzi do równania: C C C C. (3.5) Zauważmy, że równanie (3.5) jest identyczne jak równanie charakterystyczne (3.13). Trajektorie proste istnieją wówczas, gdy istnieją rozwiązania rzeczywiste równania (3.5), a więc wtedy, gdy pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste. Ma to miejsce tyko w następujących przypadkach punktów osobiwych. węzeł stateczny i niestateczny - dwie trajektorie proste o równaniach: 4, ( ), (3.6) 79
13 węzeł zdegenerowany stateczny i niestateczny jedna trajektoria prosta o równaniu: siodło - dwie trajektorie proste o równaniach: 4, (, (3.7) ), (3.8) Trajektorie proste odpowiadające przypadkom (3.6) (3.8) pokazano na Rys Pytania sprawdzające do Wykładu 5 1. Co to jest płaszczyzna fazowa?. Na czym poega badanie drgań na płaszczyźnie fazowej? 3. Równanie trajektorii fazowych układu drgającego. 4. Co to jest obraz fazowy? 5. Reguarne i osobiwe punkty płaszczyzny fazowej układu drgającego. 6. Jakie punkty osobiwe może mieć układ iniowy o jednym stopniu swobody? 7. Jak rozumiemy stateczność punktu osobiwego? 8. Jaki punkt osobiwy ma układ opisany równaniem: 1? 9. Co to jest izokina? 1. Jaki jest warunek istnienia trajektorii prostych? 8
m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE
1 W S E i Z W WARSZAWE WYDZAŁ LABORAORUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 1 emat: WYZNACZNE PRZYSPESZENA ZEMSKEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Warszawa 9 WYZNACZANE PRZYSPESZENA ZEMSKEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowox = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoM10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowo~ 6 BADANIE DRGAŃ NA PŁASZCZYŹNIE FAZOWEJ (9.3) (9.4) 9.1. Wprowadzenie teoretyczne (9.5) (9.1) (9.2)
Ćwiczenie 9 \ -S cp \(t, lo'.w), cpit, lo'.w), 89 (9.3) ~ 6 BADANIE DRGAŃ NA PŁASZCZYŹNIE FAZOWEJ. Ćwiczenie składa się z dwóch części. Pierwsza polega na badaniu właściwości punktów osobliwych liniowego
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R M-2
INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 2 Drgania z wymuszeniem harmonicznym
WYKŁAD 3 Rozdział : Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody Część Drgania z wymuszeniem harmonicznym.5. Istota i przykłady drgań wymuszonych Drgania wymuszone to drgania, których energia wynika
Bardziej szczegółowoOpis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności
Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoRuch jednowymiarowy. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 017 Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką. Definicja
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.
Podstawy modeowania i syntezy mechanizmów. CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH. Charakterystyki kinematyczne to zapis parametrów ruchu
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO
Ćwiczenie 0 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO 0.1. Wiadomości oóne Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne, zawieszone na poziomej osi nie przechodzącej przez jeo środek
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
Ćwiczenie M6 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego M6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego poprzez analizę ruchu wahadła prostego. M6..
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowo