Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Transkrypt

1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm Zadanie Udowodnić, że równanie charakterystyczne det(xi B) 0 macierzy B z poprzedniego zadania ma pierwiastki b,, b mm Zadanie 3 Oblicz iloczyn macierzy x z 0 y 0 0 u w 0 v 0 0 Zadanie 4 Wykaż, że zbiór R 3 jest grupą z działaniem: (x, y, z) (u, v, w) (x + u, y + v, z + w + xv) Wyznacz centrum tej grupy Wykaż, że grupa ta jest nieprzemienna Zadanie 5 Wykazać, że wyznacznik macierzy k A 0 0 k n (n ) n n 0 jest równy (n!) Zadanie 6 Wykazać, że równanie p 0 p ma jedynie dwa rozwiązania:, 3

2 Zadanie 7 Określić liczbę rozwiązań układu równań liniowych px + y + z x + y z p x y + pz w zależności od wartości parametru p 3 4 Zadanie 8 Wykazać, że i są wartościami własnymi macierzy A 3 Sprawdzić, że wektory f, f są wektorami własnymi macierzy A Zadanie 9 Określmy macierz F f, f Sprawdzić, że F 0 oraz F AF 0 Zadanie 0 Wyznaczyć macierz A 03 Zadanie Dano dwie liczby rzeczywiste a i b oraz ciąg (α n : n,, ) Określmy macierze M n M (n+) (n+), n,,, w następujący sposób: M n a 0 0 α 0 a 0 α 0 0 a α n α α α n b Niech d n det M n Wykazać, że jeśli dodatkowo przyjąć d 0 b, to dla n zachodzi następujący związek rekurencyjny d n ad n α na n Zadanie Wykazać, że d n a n b (α + + α n)a n, dla n Zadanie 3 Wykazać, że wartościami własnymi macierzy M n są a z krotnością nie mniejszą niż n oraz a + b ± (a b) + 4u n, gdzie u n α + + α n

3 Zadanie 4 Wykazać, że jeśli a jest pierwiastkiem krotności n, to zbiór V a rozwiązań równania M n x ax wyraża się następująco: V a {x (x,, x n+ ): α x + + α n x n 0, x n+ 0} Zadanie 5 Wykazać wzór Vandermonde a a 0 a a a n a 0 a a a n n a n 0 a n a n a n k, l 0 n k > l (a k a l ) Wskazówka: Pomnóż przedostatni (n-ty) wiersz przez a n i odejmij od ostatniego (Dlaczego wolno tak zrobić?), następnie pomnóż trzeci od końca przez a n i odejmij od przedostatniego i tak dalej, aż w końcu pierwszy wiersz pomnożony przez a n odejmij od drugiego Uprość wyrażenie i zastosuj indukcję Jeśli nie potrafisz, to wykaż prawdziwość wzoru dla n Zadanie 6 Dla a R, niech T a : P (R) P (R), gdzie P (R) jest przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej dwa o współczynnikach rzeczywistych, będzie określone wzorem T a (w)(x) w(x a) Wyznacz macierz A odwzorowania liniowego T a w bazach (f, f), gdzie f (, x, x ) Oblicz jej wyznacznik Zadanie 7 Wykazać, że jeśli macierz A M n n (C) jest antysymetryczna oraz n jest liczbą nieparzystą to det(a) 0 Wskazać przykład, że tak nie musi być w przypadku, gdy n jest parzysta Zadanie 8 Wykazać, że u 0, u i 3, u 3 i 3 są pierwiastkami równania u u 0 u Zadanie 9 Sprawdzić, że wektory f f 3 +i 3 +i 3, f są wektorami własnymi macierzy A 3 i 3 i ,

4 Zadanie 0 Niech A, B oraz γ, δ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech γ δ Wykazać, że δ γ δ δ γ γ Rozwiązać ponadto równanie wektorowe A x + y B γ o niewiadomych x, y 0 Zadanie Udowodnić, że macierz rzeczywista M ma dwie α β różne rzeczywiste wartości własne λ i λ wtedy i tylko wtedy, gdy β > 4α Wykazać, że w takiej sytuacji wektory (, λ ) oraz (, λ ) są wektorami własnymi macierzy M odpowiadającymi wartościom własnym λ i λ δ Zadanie Określmy ciąg (a n ) n0 indukcyjnie: a 0 A, a B, a n+ αa n + βa n, n Sprawdzić, że M an a n an a n+, oraz M n a0 a an a n+, dla n, gdzie M jest macierzą określoną w poprzednim zadaniu Wyznaczyć wzór na a n przy założeniu, że A oraz B λ, gdzie λ jest wartością własną macierzy M Zadanie 3 Niech V lin{e x, x e x,, x n e x } Uzasadnić, że wymiar przestrzeni V jest równy n + Wykazać, że odwzorowanie D określone na V wzorem D(f) f jest endomorfizmem przestrzeni liniowej V Zadanie 4 Wykazać, że wyznacznik det D odwzorowania D jest równy (Wskazówka: Wyznacz macierz odwzorowania D względem bazy e x, x e x,, x n e x ) Zadanie 5 Dano macierz A 4

5 Sprawdzić, że macierz do niej odwrotna ma postać 0 A 0 0 Znaleźć wyznaczniki tak A jak i A Zadanie 6 Sprawdzić, że u (,, ) jest wektorem własnym macierzy A z poprzedniego zadania Zadanie 7 Ciąg wektorów p 0, p,, p n, jest zadany indukcyjnie: p 0 u, Ap k+ p k, k 0,,, gdzie A jest jak w zadaniu 5 Znajdź wzór na wyraz ogólny p n tego ciągu Zadanie 8 Załóżmy, że liczby a, b, c, d spełniają związki a sin x + b cos x 0, c sin x + d cos x 0, dla pewnej liczby x Wykazać, że ad bc 0 Zadanie 9 Niech v(x) oraz w(x) będą wielomianami Udowodnić, że jeśli przynajmniej jeden z tych wielomianów jest niezerowy, to funkcja v(x) sin x+ w(x) cos x jest niezerowa 5