W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

Transkrypt

1 Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x) dx, gdzie w(x) jest pewną ustaoną, nieujemną w przedziae [a, b] funkcją ciągła, zwaną wagą ioczynu skaarnego. W najprostszym przypadku w(x) = i wtedy mamy: f, g = b a f(x)g(x) dx. Każda przestrzeń iniowa z okreśonym w niej ioczynem skaarnym jest jednocześnie przestrzenią unormowaną. W rozważanej powyżej przestrzeni funkcji ciągłych na przedziae [a, b], norma jest okreśona następująco: f = f, f = b a f (x)w(x) dx. Dwa eementy przestrzeni iniowej nazywamy ortogonanymi jeśi zeruje się ich ioczyn skaarny. Ciąg nieskończony funkcji: tworzy układ ortogonany, jeśi ϕ, ϕ,..., ϕ n,... ϕ i, ϕ j = 0, jeśi i j.

2 Jeśi ponadto, da każdego i spełniony jest warunek: ϕ i =, to układ taki nazywamy ortonormanym. Układy funkcji ortogonanych i ortonormanych ogrywają istotną roę w teorii aproksymacji. Układ trygonometryczny Jednym z najprostszych do okreśenia układów ortogonanych jest następujący układ funkcji trygonometrycznych: cos x, sin x, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx,... Ciąg ten tworzy układ ortogonany w dowonym przedziae o długości π, na przykład [, π], da ioczynu skaarnego z wagą w(x) =. Aby powyższy fakt wykazać, naeży sprawdzić, że da iczb naturanych m, n takich, że m n spełnione są trzy równości: sin mx cos nx dx = 0, sin mx sin nx dx = 0, cos mx cos nx dx = 0. Wykażemy przykładowo pierwszą z nich. W tym ceu podstawimy w znanym wzorze trygonometrycznym: sin α + sin β = sin α + β cos α β,

3 uzyskując równość: α + β sin mx cos nx = = mx, α β = nx, sin(m + n)x + cos(m n)x Zamieniiśmy zatem ioczyn funkcji trygonometrycznych na ich sumę co łatwo umożiwi nam całkowanie. Mamy więc: sin mx cos nx dx = ( ) sin(m + n)x + cos(m n)x dx = (m + n) [cos(m + n)x]π + (m n) [sin(m n)x]π = 0. Ostatnia równość wynika z faktu, że π jest okresem funkcji sinus i cosinus. Dwie pozostałe równości dowodzi się anaogicznie przy pomocy wzorów trygonometrycznych: Układ funkcji: cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β sin α β cos x, sin x, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx,... jest więc układem ortogonanym, ae nie ortonormanym. Weźmy bowiem,.. 3

4 przykładowo: cos x = cos x, cos x = = x + sin x 4 π = π cos x dx = Co ciekawe, da dowonej iczby naturanej n, mamy: + cos x dx gdyż cos nx = cos nx, cos nx = = x + sin nx 4n cos nx = sin nx = π, π = π, cos nx dx = + cos nx sin nx = sin nx, sin nx = sin cos nx nx dx = dx = x π sin nx = π. 4n Powyższe, jednakowe wartości norm wszystkich funkcji naszego układu, dają nam możiwość znormaizowania go, poprzez podzieenie każdej funkcji przez. Uzyskamy wtedy układ ortonormany: cos x, sin x, cos x, sin x,..., cos nx, dx sin nx,... 4

5 Inna modyfikacja funkcji trygonometrycznych: cos πx, sin πx, cos πx, sin πx,..., cos nπx, sin nπx,... powoduje, że dostajemy układ funkcji ortogonanych na dowonym przedziae postaci [, ]. Wieomiany Legendre a Do niektórych rozważań w teorii aproksymacji funkcje trygonometryczne nie będą zbyt wygodnym narzędziem. Datego też często używa sie układów wieomianów ortogonanych. Omówimy kika przykładów takich układów. Ciąg wieomianów Legendre a zdefiniowany jest następującym wzorem różniczkowym: P n (x) = [ (x ) n] (n), n = 0,,,... n n! Można wykazać, że wieomiany Legendre a spełniają poniższe równanie różniczkowe rzędu drugiego: (x )P n (x) + xp n(x) n(n + )P n (x) = 0, a także następującą zaeżność rekurencyjną: P n+ (x) = n + n + x P n(n) n n + P n (x). Z powyższego wzoru rekurencyjnego najwygodniej znajdziemy koejne wieomiany Legendre a, pod warunkiem, że dwa początkowe P 0 (x) i P (x) 5

6 obiczymy ze wzoru definicyjnego. Mamy więc: P 0 (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x), P 4 (x) = 8 (35x4 30x + 3), P 5 (x) = 8 (63x5 70x 3 + 5x). Wieomiany Legendre a są ortogonane w przedziae [, ]. da ioczynu skaarnego z wagą w(x) =. Mamy bowiem następującą równość: P n (x), P m (x) = Wieomiany Czebyszewa I rodzaju P n (x)p m (x) dx = 0, m m n+, m = n. Wieomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są zdefiniowane następującym wzorem: x () T n (x) = ( ) n ( x ) n (n )!! (n), n = 0,,,... Wyjaśnienia wymaga symbo podwójnej sini (!!), okreśony da naturanych wartości k: k!! = k, k = n k, k = n, 6

7 oraz dodatkowo: ( )!! = 0!! =. Mamy na przykład: 5!! = 3 5,!! = Patrząc na wzór () wcae nie widać od razu, że przedstawia on wieomian. Można to dopiero stwierdzić wykonując koejne obiczenia da poszczegónych wartości n. Mamy bowiem: T 0 (x) = ( ) 0 x ( )!! ( x ) (0) = x T (x) = ( ) ( x ) = x ()!! Niestety da koejnych wartości n obiczenia te sa zdecydowanie bardziej skompikowane, głównie z powodu trudności z pochodną wyższego rzędu. Na szczęście są inne sposoby na wyznaczenie wieomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju. Można pokazać indukcyjnie, że definicja () jest równoważna następującemu równaniu różniczkowemu rzędu drugiego: () ( x )T n (x) xt n(x) + n T n (x) = 0 oraz prawdziwy jest wzór rekurencyjny: (3) T n+ (x) = xt n (x) T n (x). Znając już dwa początkowe wieomiany T 0 (x) =, T (x) = x łatwo możemy, korzystając z powyższego wzoru rekurencyjnego, uzyskać 7

8 postacie kiku następnych wieomianów Czebyszewa: T (x) = x, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x +, T 5 (x) = 6x 5 0x 3 + 5x. Obserwując powyższe wieomiany oraz wzór (3) możemy wyciągnąć następujące wnioski: każdy wieomian T n ma stopień n współczynnik przy x n wieomianu T n wynosi n każdy wieomian T n ma wyrazy o potęgach tyko parzystych abo tyko nieparzystych gdy n jest parzyste to wieomian T n jest funkcją parzystą, a gdy n jest nieparzyste to wieomian T n jest funkcją nieparzystą zera (miejsca zerowe) wieomianów T n są położone symetrycznie wzgędem punktu 0. Dużo trudniejsze jest wykazanie, że wieomiany Czebyszewa I rodzaju tworzą układ ortogonany w przedziae (, ) przy ioczynie skaarnym z wagą: w(x) =. x Mamy bowiem: T n (x), T m (x) = T n (x)t m (x) dx = x 8 0, m n π, m = n = 0 π, m = n 0.

9 Wieomiany Laguerre a Ciąg wieomianów Laguerre a definiujemy następująco: L n (x) = n! ex( e x x n) (n), n = 0,,,... Spełniają one również wzór rekurencyjny: L n+ = n + x L n (x) n n + n + L n (x). Wieomiany Laguerre a tworzą układ ortonormany w przedziae [0, + ) da ioczynu skaarnego z wagą w(x) = e x. Ioczyn skaarny dwóch dowonych wieomianów układu wynosi: L n (x), L m (x) = Wieomiany Hermite a + 0 L n (x)l m (x)e x dx = Wieomiany Hermite a definiujemy następująco: 0, m n, m = n. H n (x) = ( ) n e x( e x) (n), n = 0,,,... Prawdziwy jest da nich wzór rekurencyjny: H n+ = xh n (x) nh n (x). Ciąg wieomianów Hermite a jest ortogonany w przedziae (, + ) da ioczynu skaarnego z wagą w(x) = e x, mamy bowiem: H n (x), H m (x) = + H n (x)h m (x)e x dx = 0, m n n n!, m = n. 9