MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2)

3 POTENCJAŁ POLA SIŁ ( ) ( ) Funkcję U x, y, z = Φ x, y, z nazywamy potencjałem pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności: (3) lub w postaci wektorowej

4 POTENCJAŁ POLA SIŁ Potencjałem pola sił nazywamy skalarną funkcję położenia ( x, y z) U,, której pochodne cząstkowe względem odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym. Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-). Miejsce geometryczne punktów, dla których ( x, y, z) const U = nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

5 SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Cechy siły potencjalnego pola sił : a) Moduł siły jest równy b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.

6 WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego względem x, otrzymamy: (4) Z (4) wynika, że: (5) Podobnie, różniczkując względem przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności: (6)

7 WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było polem potencjalnym. W postaci wektorowej: (7) Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja wektora siły pola musi być równa zeru.

8 PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna (8) W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym. Praca całkowita (9) stąd (10) W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.

9 CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ a) potencjał jest skalarną funkcją położenia b) potencjał istnieje w polu, dla którego c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem ujemnym d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od kształtu toru i równa się różnicy potencjałów e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącej na powierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru.

10 CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny, i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału. j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętej jest równa zeru

11 PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Rys. 4 Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi Praca elementarna Potencjał pola sił ciężkości ma postać: (11) Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa

12 PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi : (12) Pracę U = mgh nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi.

13 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Z zasady pracy i energii kinetycznej oraz pracy i energii potencjalnej δa = de δa = du wynikaże: czyli (13) Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej. Całkując to równanie otrzymujemy (14) W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru (15)

14 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Przykład 1 A h B υ Z zasady zachowania energii mechanicznej E A = E B, (E = E p + E k )

15 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Przykład 2 Rys. 5 Po gładkim torze porusza się punkt materialny o masie m. Z zasady zachowania energii (15) wynika równość: (16) a stąd (17)

16 ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Największa wysokość z max, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy = 0, podstawiając do równania (17) v (18) Wynika stąd,że: a) na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy założeniu toru gładkiego), b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi z max (18), c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie garby toru, nie większe od wysokości z max.

17 PRZYKŁAD 3 Narciarz o masie m wystartował z punktu A (rys. poniżej) z prędkością początkową v 0. Wyznaczyć jego prędkość w chwili, gdy znalazł się na dole zbocza (w punkcie C). Współczynnik tarcia kinetycznego nart o śnieg w każdym punkcie wynosiłµ. Dane: s, h iα.

18 Rozwiązanie Ruch A B Z zasady pracy i energii mechanicznej: gdzie: A A B = praca siły tarcia Zatem : 1

19 Ruch B C Z zasady pracy i energii mechanicznej: gdzie: A B C = praca siły tarcia Zatem : 2

20 1 2 Odp.:

21 PRZYKŁAD 4 Z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo w górę ciało z prędkością v 0 = 10 m/s. Na wysokości h = 3 m energia potencjalna tego ciała wynosiła U = 15 J. Ile wynosiła na tej wysokości jego energia kinetyczna (do obliczeń przyjąć: g = 10 m/s 2 )? Pominąć opory ośrodka. Z zasady zachowania energii: Odp.:

22 PRZYKŁAD 5 Kamień o masie 2 kg został wyrzucony pionowo do góry z prędkością początkową v 0 = 10 m/s. Czy podczas lotu kamienia była zachowana energia mechaniczna, jeżeli wiadomo,że kamień osiągnął maksymalną wysokość równą 4 m? Przyjąć g = 9,81 m/s 2. Z zasady zachowania energii powinno wynikać: Odp.: zasada zachowania energii nie była spełniona, ponieważ działały opory ośrodka.

23 PRZYKŁAD 6 Obciążnik o masie m 1 porusza ciało o masie m 2. Współczynnik tarcia między masą m 2 a podłożem wynosi µ. Obliczyć, z jaką prędkością obciążnik uderzy o podłogę, jeśli początkowo wisi na wysokości h i jego prędkość początkowa jest równa v 1. Pominąć tarcie linki o krążek i opory ośrodka.

24 Rozwiązanie

25 Z zasady pracy i energii: gdzie: A 1 2 = praca siły tarcia T 2 Podstawiając: otrzymujemy:

26 PRZYKŁAD 7 Skrzynię o masie m ciągniemy po chropowatym podłożu siłą o wartości F, nachyloną do poziomu pod kątem 30. Obliczyć pracę wykonaną przy przemieszczeniu na odległość s przez siłę wypadkową działającą na skrzynię. Narysować wszystkie siły. Współczynnik tarcia skrzyni o podłoże wynosi µ. Znaleźć też prędkość końcową skrzyni po czasie t, jeżeli skrzynia ruszyła bez prędkości początkowej. Dane: m, F,α=30, s,µ, t Szukane: W, v 1

27 Wypadkowa: Rozwiązanie równanie równowagi, gdyż ruch odbywa się tylko wzdłuż osi x.

28 Praca siły wypadkowej: Prędkość końcową znajdziemy z zasady pędu:

29 PRZYKŁAD 8 Na końcu sznurka o długości l umieszczono kulkę o masie m. Sznurek odchylono o kąt α. Oblicz pęd kulki w najniższym położeniu. Dane: m, l,α Szukane: p

30 Rozwiązanie Ponieważ nie ma tutaj sił zewnętrznych, stosujemy zasadę zachowania energii: Energię potencjalną liczymy względem położenia [2]: Ponadto:

31 Zatem:

32 RÓWNOWAGA Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze (19) Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej. Rozróżniamy: równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi, równowagę chwiejną, która zachodzi w,położeniu, w którym nawet dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi, równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.

33 RÓWNOWAGA W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum (rys.6). Rys. 6 W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, w którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tzw. kryterium stateczności Mindinga i Dirichleta.

34 POSTACIE ENERGII ENERGIA zdolność układu do wykonania pracy potencjalna położenia, sprężystości potencjalna ciśnienia (płynu) kinetyczna elektryczna chemiczna cieplna jądrowa termojądrowa elektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetyczna