ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

Transkrypt

1 Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin

2 Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja MES 2 Zagadnienia nieliniowe Nieliniowość geometryczna Nieliniowość fizyczna 3 Analiza przyrostowo-iteracyjna Źródła: R. de Borst and L.J. Sluys. Computational methods in nonlinear solid mechanics. Lecture Notes, Delft University of Technology, Delft, DIANA Finite Element Analysis - User s manual, release 7.2. TNO Building and Construction Research, Delft, 1999.

3 Równania równowagi ciała odkształcalnego (kontinuum) Równania równowagi oraz statyczne warunki brzegowe: L T σ + ˆb = 0 w V, σν = ˆt na S gdzie: L macierz operatorów różniczkowych σ tensor/wektor uogólnionych naprężeń ˆb wektor sił masowych ˆt S ν Słaba forma równań równowagi δu T (L T σ + ˆb) dv = 0 δu V Zasada prac wirtualnych δw int = δw : (Lδu) T σ dv = δu Tˆb dv + V gdzie: u wektor uogólnionych przemieszczeń V S V δu Tˆt ds

4 Dyskretyzacja MES Przemieszczeniowa wersja MES: u h = n w i=1 N i (ξ, η, ζ)q i = Nq e gdzie: N - funkcje kształtu. Transformacja węzłowych stopni swobody: q e = TI e Q Słaba forma równań równowagi dla układu zdyskretyzowanego: n e e=1 TI V e T B T σ dv = F, B = LN e Stosujemy podejście izoparametryczne i całkowanie numeryczne.

5 Kiedy ES są izoparametryczne? Aproksymacja geometrii: P Ω e : x P (ξ, η) = N(ξ, η) x e, gdzie: x i y i [ ] x j xp x P =, x y e = y j P x k y k x l y l ES jest izoparametryczny jeśli do aproksymacji geometrii i pola przemieszczeń wykorzystujemy te same węzły i te same funkcje kształtu. x(ξ, η) = N(ξ, η) x e u(ξ, η) = N(ξ, η) q e

6 Liniowa sprężystość Prawo Hooke a Notacja tensorowa: σ = D : ɛ, Notacja macierzowa: σ = Dɛ, σ = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx Liniowe związki kinematyczne σ ij = D ijkl ɛ kl, ɛ = ɛ x ɛ y ɛ z γ xy γ yz γ zx Notacja tensorowa: ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ], ɛ ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) Notacja macierzowa: ɛ = Lu Zatem tensor naprężenia: σ = Dɛ = DLu = DLNu = DBTI e Q Równania równowagi dla układu zdyskretyzowanego n e e=1 TI V e T B T DB dv TI e Q = F, e σ 1 E K Q = F ɛ

7 Całkowanie numeryczne ES Kwadratura Gaussa (2D) 1 1 k e = B T DB h da = B(ξ, η) T D B(ξ, η) h det J dξdη A e 1 1 n m w i w j B T (i,j) D B (i,j) h det J (i,j) i=1 j=1 Całkowanie Q4 Q8 pełne (FI) zredukowane (RI)

8 Problem nieliniowy F przykładane w przyrostach t t + t σ t+ t = σ t + σ Poszukiwanie równowagi w chwili t + t: n e TI e T B T σ t+ t dv = F t+ t V e gdzie: e=1 n e e=1 TI e T B T σ dv = F t+ t V e F t int = n e e=1 Te I T B T σ t dv V e Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: σ = σ( ɛ( u)) Dotąd nie założono nic odnośnie kinematyki, ani właściwości materiału! F t int

9 Źródła nieliniowości Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego): duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali), duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne), kontakt (oddziaływanie stykających się ciał), obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała). Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi: plastyczność (odkształcenia trwałe), uszkodzenie (degradacja własności sprężystych), zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys).... Nie obowiązuje zasada superpozycji.

10 Nieliniowość geometryczna Nieliniowość geometryczna x 2, X 2 φ(x, t) S 0 u V X V 0 x S Konfiguracja początkowa i aktualna x 1, X 1 Funkcja ruchu: x = φ(x, t) Wektor przemieszczenia: u(x, t) = x X Gradient deformacji (podstawowa miara deformacji): F = φ X = X x Tensor odkształcenia Greena (jedna z możliwych miar odkształcenia): E = 1 2 (FT F I) = 1 2 [ X u + ( X u) T + ( X u) T X u]

11 Nieliniowość geometryczna Nieliniowość geometryczna Nieliniowe związki kinematyczne, np. ε x = ε L x + ε N x = u x ( w ) 2 x σ = σ( ɛ( u)) Równania równowagi opisują równowagę ciała zdeformowanego. Zasadę prac wirtualnych można zapisać w konfiguracji początkowej lub aktualnej. Różnym miarom odkształcenia odpowiadają różne miary naprężenia. Małe odkształcenia: E ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ] < 2%. Małe przemieszczenia (uogólnione): V V 0 (jeden opis, zasada zesztywnienia).

12 Nieliniowość geometryczna Nieliniowość geometryczna Równowaga układu zdyskretyzowanego: K Q = F t+ t gdzie styczna macierz sztywności: F t int K 0 - macierz sztywności liniowej K = K 0 + K u + K σ K u - macierz sztywności przemieszczeniowej (macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń) K σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)

13 Nieliniowość fizyczna Nieliniowość fizyczna K Q = F t+ t Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: σ = ( ) σ t ( ɛ t ɛ u) u D = σ ɛ, L = ɛ u Dyskretyzacja: u = N q e q e = TI e Q F t int σ = σ( ɛ( u)) Liniowe związki geometryczne macierz dyskretnych związków kinematycznych B niezależna od przemieszczeń

14 Nieliniowość fizyczna Nieliniowość fizyczna Styczna macierz sztywności K Q = F t+ t F t int n e K = TI e T B T D B dv A e V e e=1 Ograniczamy się do nieliniowości fizycznych! Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona

15 Nieliniowość fizyczna Uplastycznienie materiału siła A B C P σ y - A σ y B σ y - - C przemieszczenie σ y σ y σ y zakres sprężysty pelne uplastycznienie zakres sprężysty pelne uplastycznienie

16 Analiza przyrostowa f Rozwiązanie numeryczne Przyrost obciążenia f Rzeczywista ścieżka równowagi u Jak poprawić rozwiązanie w kolejnych przyrostach?

17 Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): f f f t+ t f t R j = f t+ t R 1 f int,1 f t+ t int,j 0 K Q = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: Q 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0) σ 1 f int,1 f t+ t Poprawki: dq j = K 1 σ j f int,j j 1 (ft+ t Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t int,j f δ f t+ t int,j 1 ) u t u 1 du 2 u t+ t u

18 Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): f f f t+ t f t R j = f t+ t R 1 f int,1 f t+ t int,j 0 K Q = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: Q 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0) σ 1 f int,1 f t+ t Poprawki: dq j = K 1 σ j f int,j j 1 (ft+ t Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t int,j f δ f t+ t int,j 1 ) u t u 1 du 2 u t+ t u

19 Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): f f f t+ t f t R j = f t+ t R 1 f int,1 f t+ t int,j 0 K Q = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: Q 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0) σ 1 f int,1 f t+ t Poprawki: dq j =K 1 j 1 (ft+ t f t+ t int,j 1 ) σ j f int,j Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t int,j f δ u t u 1 du 2 u t+ t u

20 Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R j = f t+ t R 1 f int,1 u f t+ t int,j 0 K Q = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: Q 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0) σ 1 f int,1 f t+ t Poprawki: dq j = K 1 σ j f int,j j 1 (ft+ t Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t int,j f δ f t+ t int,j 1 ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

21 Algorytm Newtona-Raphsona Możliwe schematy iteracji f f u u Algorytm standardowy Algorytm zmodyfikowany K j K j = K 0 zmieniane w każdej iteracji generowane na początku przyrostu

22 Sposoby przykładania przyrostów Sterowanie siłą lub przemieszczeniem Sterowanie parametrem łuku