STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
|
|
|
- Mariusz Szulc
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Politechnika Poznańska Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli Studia Stacjonarne II Stopnia I rok Semestr II 21/211 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Wykonał: inż. Daniel Rejek Grupa Dziekańska 4MBP Poznań, r.
2 Dla układu 13 przedstawionego na rysunku należy: 1. Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciążenia jednoparametrowego. 2. Zbudować globalne macierze: sztywności i geometryczną przez agregację macierzy elementowych. 3. Obliczyć wartość obciążenia krytycznego i narysować postać wyboczenia 4. Obliczyć przemieszczenia i siły przekrojowe uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (wykonać jedną iterację). 1. Dane: 1 25 = ܧ ଶ൨ Pręt 1 - dwuteownik I2 Część I statyka 1 ሾmସ ሿ 214 = ܫ 1 ସ ሾm ଶ ሿ 33.5 = ܣ = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Pręt 2 - dwuteownik I24 1 ሾmସ ሿ 425 = ܫ 1 ସ ሾm ଶ ሿ 46.1 = ܣ = ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ 2
3 2. Oznaczenie prętów układu i określenie liczby niewiadomych: 3. Wykres sił normalnych N (wykonany za pomocą RM-Win): -44,9 3-6,6-6,6 2,6-44,9-45, ,2,6 3
4 4. Macierze sztywności i geometryczne dla poszczególnych prętów: ܭ = ܭ - macierz sztywności elementu dla układu globalnego ܭ ܭ - macierz sztywności elementu dla układu lokalnego - macierz transformacji ܥ = ቂ ߙ ݏ ߙݏ ൩ ߚݏ ߙ ݏ = ܥ ቃ ܥ 1 - kąt między osią x układu globalnego a osią ~ x układu lokalnego ߙ ܭ = ܭ - macierz geometryczna elementu dla układu globalnego ܭ ܭ - macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego 4
5 4.1. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta I (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I2: = 4.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 45.2ሾ ሿ = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 1,716875E+5-1,716875E+5 822, , , , , , ,5 1,716875E+5-1,716875E+5-822, , , ,125 ے -1645, , ,5 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ ଶ ଶ ଶ = 36 3 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -13,56-4,52, 13,56-4,52, -4,52-24,17, 4,52 6,27,,,,,,, 13,56 4,52, -13,56 4,52 ے, -4,52 6,27, 4,52-24,17 5
6 Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 822, , , , , ,5 1645, , ,5-822, , , , , ,5 ے 1645, ,5-1645, Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -13,56-4,52 13,56-4,52-4,52-24,1667 4,52 6, ,56 4,52-13,56 4,52 ے -4,52 6, ,52-24,1667 6
7 4.2. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta II (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I2 = 3.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 44.9ሾ ሿ = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 2,289167E+5-2,289167E , , , , , , , ,667-2,289167E+5 2,289167E , , , ,67 ے 2924, , , ,333 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ ଶ ଶ ଶ = 36 3 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -17,96-4,49, 17,96-4,49, -4,49-17,96, 4,49 4,49,,,,,,, 17,96 4,49, -17,96 4,49 ے, -4,49 4,49, 4,49-17,96 7
8 Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 1949, , , , , , , , , , , , , , ,7 ے 2924, , , ,333 Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -17,96-4,49 17,96-4,49-4,49-17,96 4,49 4,49 17,96 4,49-17,96 4,49 ے -4,49 4,49 4,49-17,96 8
9 4.3. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta III (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I24: = 6.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 6.6ሾ ሿ = ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 1,57583E+5-1,57583E+5 484, ,83-484, , ,83 588, ,8 294,167-1,57583E+5 1,57583E+5-484, ,8 484, ,8 ے 1452,83 294, ,8 588,333 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ ଶ ଶ ଶ = 3 36 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -12,12-6,6, 12,12-6,6, -6,6-48,48, 6,6 12,12,,,,,,, 12,12 6,6, -12,12 6,6, -6,6 12,12, 6,6-48,48 ے 9
10 Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 15758, , , ,83-484, , ,83 588, ,8 294, , , , ,8 484, ,8 ے 1452,83 294, ,8 588,333 Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -12,12-6,6 12,12-6,6-6,6-48,48 6,6 12,12 12,12 6,6-12,12 6,6 ے -6,6 12,12 6,6-48,48 1
11 4.4. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta IV (przegub z prawej). Dwuteownik I24: = ξ4 ଶ + 6 ଶ = 7.211ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 1 ቂ 25 = ܧ మቃ =.6ሾ ሿ = ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 = ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ے 1,31567E+5-1,31567E+5 6,97719E+1 5,26585E+2-6,97719E+1-5,26585E+2 5,26585E+2 3,624671E+3 1,31567E+5-1,31567E+5-6,97719E+1-5,26585E+2 6,97719E+1 ے Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ ଶ = 6 36 ے,,, ,12 -, ,,12, ,12,, -, ,12, ے, 11
12 Macierz transformacji = ૡ. =. ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ 1 -, , , , , , , , ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 9753, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,266 ے Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ, , , , , , , ,9985, , , , , , , , , ,6656, ,46834, , , , , ے 5. Macierz sztywności i geometryczna dla całego układu w układnie globalnym: Tabela powiązań: Nr pręta: I II III IV
13 : agregacji Macierz sztywności dla całego układu po K , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 1279, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 13
14 Macierz geometryczna całego układu po agregacji - : Kg ,56-4,52 13,56-4, ,52-24, ,52 6, ,56 4,52-31, ,46834,3 17,96-4,49 -, , , ,46834,691253, ,691253, ,52 6,266667,3-42, ,49 4, ,96 4,49-17,96 4, ,12-6,6 12,12-6,6 9-4,49 4,49 4,49-6,6-66,44 6,6 12, ,12 6,6-12,12 6,6 12-6,6 12,12 6,6-48, ,37222,46834, ,46834, , , , , , ,665639,998461, ,998461, Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 14
15 Po uwzględnieniu warunków podparcia (należy wykreślić wiersze oraz kolumny nr: 1,2,3,1,11,12,13,14,15, oraz redukcji momentu w przegubie nr 16) otrzymano zredukowane macierze w postaci (pozostają niewiadome 4,5,6,7,8,9) = ܭ 93525, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83333 ے 2924, , , , ,66667 = ܭ -31,4893 -,468,3 17,96-4,49 -,468,69125,3-42,667 4,49 4,49 17,96 4,49-17,96 4,49-12,12-6,6 ے -4,49 4,49 4,49-6,6-66,44 Cześć II - Stateczność 1. Wartości własne obciążenia krytycznego oraz wektor przemieszczeń węzłów po utracie stateczności: Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego sprowadza się do rozwiązania równania równowagi układu: = ݍ ሻ ܭ ߣ + ܭሺ Sprowadzając powyższe równanie do rozwiązania problemu własnego otrzymuję się: = ݍ ൰ቇܭ ߣ ൬ 1 ܭቆ Macierz A macierz geometryczna Macierz B macierz sztywności Do rozwiązania równania problemu własnego posłużono się programem UPW: 15
16 DANE MACIERZ A ROZWIAZANIE UOGOLNIONEGO PROBLEMU WLASNEGO E+2 *-.468E-1 *.3E-1 *.1796E+2 *.E+ *-.449E+1 * -.468E-1 *.69125E-1 *.E+ *.E+ *.E+ *.E+ *.3E-1 *.E+ * E+2 *.449E+1 *.E+ *.449E+1 *.1796E+2 *.E+ *.449E+1 *-.1796E+2 *.E+ *.449E+1 *.E+ *.E+ *.E+ *.E+ *-.1212E+2 *-.66E+1 * -.449E+1 *.E+ *.449E+1 *.449E+1 *-.66E+1 *-.6644E+2 * MACIERZ B E+5 *.64555E+5 * E+4 * E+4 *.E+ * E+4 *.64555E+5 *.44977E+6 *.E+ *.E+ * E+6 *.E+ * E+4 *.E+ *.12363E+5 * E+4 *.E+ * E+4 * E+4 *.E+ * E+4 * E+6 *.E+ * E+4 *.E+ * E+6 *.E+ *.E+ *.22941E+6 *.14528E+4 * E+4 *.E+ * E+4 * E+4 *.14528E+4 * E+5 * WYNIKI WARTOSCI WLASNE NR REAL IMAG E-6.E E-4.E E-3.E E-3.E E-2.E E-2.E+ WEKTORY WLASNE WEKTOR NR 1 NR REAL IMAG E-2.E E+.E E-3.E E-2.E E-2.E E-3.E+ WEKTOR NR 2 NR REAL IMAG E+.E+ 16
17 E-1.E E+.E E+1.E E-1.E E-1.E+ WEKTOR NR 3 NR REAL IMAG E-1.E E+.E E-1.E E+.E E+.E E-1.E+ WEKTOR NR 4 NR REAL IMAG 1.1E+1.E E+.E E-1.E E+.E E+.E E-1.E+ WEKTOR NR 5 NR REAL IMAG E-1.E E-2.E E+.E E-1.E E-2.E E+.E+ WEKTOR NR 6 NR REAL IMAG E-1.E E-2.E E+.E E-2.E E-2.E E+1.E KONIEC OBLICZEN - SPRAWDZ DANE
18 Po przekształceniu ߣ ௭௭ = otrzymano: ఒ ଵ UPW λ 1,57549E ,79644E ,47 -, ,167 -, ,69 -, ,741 -, ,274 Wynika z tego iż: = ߣ Wektor własny dla ߣ równy jest: ସ ݍ ହ ݍ ݍ = ݍ ݍ = ݍ ے ଽ ݍ, ,15819, ,355751, ے 1-2. Przemieszczenia punktów i funkcje kształtu: Przemieszczenie punktu opisuję się ogólnie: ሻݐሺݍ ሺݔሻ ሻݐ =, ݔሺݑ Co jest równoznaczne z zapisem: ݍ ସ ସሺݔሻ ଵ + ݍ ଵሺݔሻ = ݑ ݍ ሺݔሻ ݍ ହ + ହሺݔሻ ݍ ଷ + ଷሺݔሻ ݍ ଶ + ଶሺݔሻ = ݒ gdzie: przemieszczenie po kierunku równoległym do elementu ݑ przemieszczenie po kierunku prostopadłym do elementu ݒ funkcje kształtu 18
19 Funkcje kształtu dla poszczególnych elementów w zależności od sposobu ich podparcia: Pręt obustronnie utwierdzony Pręt z przegubem na prawym końcu ଵሺݔሻ = 1 ݔ ଶሺݔሻ = 1 3 ൬ ݔ ଶ ൰ + 2 ൬ ݔ ଷ ൰ ଶ ଷሺݔሻ = ݔ ቈ1 2 + ൰ ݔ ൬ݔ ଵሺݔሻ = 1 ݔ ଶሺݔሻ = 1 3 ଶ 2 ൬ݔ ൰ + 1 ଷ 2 ൬ݔ ൰ ଷሺݔሻ = ݔ ቈ1 3 2 ݔ + 1 ଶ 2 ൬ݔ ൰ ସሺݔሻ = ݔ ହሺݔሻ = 3 ൬ ݔ ଶ ൰ 2 ൬ ݔ ଷ ൰ ଶ ሺݔሻ = ݔ ቈ + ൰ ݔ ൬ݔ ସሺݔሻ = ݔ ହሺݔሻ = 3 ଶ 2 ൬ݔ ൰ 1 ଷ 2 ൬ݔ ൰ ሺݔሻ = 3. Przemieszczenia poszczególnych prętów: ݍ = ݍ gdzie: ݍ wektor przemieszczeń lokalnych danego pręta - wektor przemieszczeń globalnych danego pręta ݍ - macierz transformacji 3.1. Pręt I obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ, ,15819 ے, Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ 19
20 ,15819, ے, Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,,25,75,8231,5625,25, ,1875 2,,5,5,375,5,5,5 -,5 3,,75,25 -,5469,1875,75, ,5625 4, 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,, 1,,4 -,144 2,,79 -,3737 3,,119 -, ,,158, Pręt II obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ, ,1582, ,35575,12146 ے 1,- Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ,158,1613, ,121 -,356 ے 1,- 2
21 Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,,,75,25,75,8231,42188,25, ,1463 1,5,5,5,375,375,5,5 -,375 2,25,75,25 -,5469,1463,75, , , 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,158,1613,75,88, ,5,18, ,25 -,52, , -,121 -, Pręt III obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ -,35575, ,-,, ے, Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ -,356, ے Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,5,25,75,8231,84375,25, , ,,5,5,375,75,5,5 -,75 4,5,75,25 -,5469,28125,75, , , 1,,,, 1, 1,, 21
22 Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ, -,356,121 1,5 -,267 -, , -,178 -, ,5 -,89 -, ,,, 3.4. Pręt IV przegub na prawym końcu: = ݍ Wektor przemieszczeń globalnych:, ,1582 ے Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ -,1254,126 ے Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,8,25,75,9146 1,1835,25,8594, 3,61,5,5,6875 1,3526,5,3125, 5,41,75,25,36719,8454,75,63281, 7,21 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,, 1,8 -,314,88 3,61 -,627,321 5,41 -,941,649 7,21 -,1254,126 22
23 3.5. Postać utraty stateczności: 4. Obliczenie przemieszczeń i sił przekrojowych uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (wykonanie jednej iteracji): Zadanie sprowadza się do rozwiązania problemu w postaci: = ݍ ഥܭ ഥ ଵܭ = ݍ Gdzie: wektor przemieszczeń węzłowych układu ݍ ቁቃ - nowa macierz sztywności układu ߣ ቀ ଵ ଶ ܭ + ܭቂ ഥܭ = - wektor sił 1 = = ߣ
24 Rama obciążona siłami przemnożonymi przez ଵ ߣ ଶ = ଵ = ଶ 4.1. Wykres sił normalnych N (wykonany za pomocą RM-Win) - punkt odniesienia dla kolejnych obliczeń iteracja zerowa. -3,E+3 3-4,1E+3-4,1E+3 2-3,E+3 38,643-3,E ,E+3 38,643 24
25 4.2. Macierze geometryczne i nowe sztywności dla poszczególnych prętów: Pręt I (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I2: = 4.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = ሾ ሿ = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ -91,61-33,537 91,61-33,537-33, ,861 33,537 44,715 91,61 33,537-91,61 33,537 ے -33,537 44,715 33, ,861 Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -91,695-33, ,695-33, , ,861 33, , ,695 33, ,695 33,5365 ے -33, , , ,861 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ -8,847E+1,E+ 1,34159E+3 8,847E+1,E+ 1,34159E+3,E+ 1,71688E+5,E+,E+ -1,71688E+5,E+ 2,59822E+3 1,34159E+3,E+ 2,76814E+3-1,34159E+3,E+ 8,847E+1,E+ -1,34159E+3-8,847E+1,E+ -1,34159E+3,E+ -1,71688E+5,E+,E+ 1,71688E+5,E+ ے 2,76814E+3 1,34159E+3,E+ 2,59822E+3-1,34159E+3,E+ 25
26 Pręt II (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I2: = 3.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = ሾ ሿ = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,,,,,,, -125,571-31,393, 125,571-31,393, -31, ,571, 31,393 31,393,,,,,,, 125,571 31,393, -125,571 31,393 ے, -31,393 31,393, 31, ,571 Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -125,57-31, ,571-31,393-31, ,57 31, , ,571 31, ,57 31,3928 ے -31,393 31, , ,57 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 7,4427E+2,E+ 2,62327E+3-7,4427E+2,E+ 2,62327E+3,E+ 2,28917E+5,E+,E+ -2,28917E+5,E+ 3,2266E+3 2,62327E+3,E+ 4,64376E+3-2,62327E+3,E+ -7,4427E+2,E+ -2,62327E+3 7,4427E+2,E+ -2,62327E+3,E+ -2,28917E+5,E+,E+ 2,28917E+5,E+ ے 4,64376E+3 2,62327E+3,E+ 3,2266E+3-2,62327E+3,E+ 26
27 Pręt III (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I24: = 6.ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 6.6ሾ ሿ = ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,,,,,,, -813,149-46,575, 813,149-46,575, -46, ,598, 46, ,149,,,,,,, 813,149 46,575, -813,149 46,575, -46, ,149, 46, ,598 ے Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -813,149-46, , ,575-46, ,6 46, , , , ,149 46,5747 ے -46, , , ,6 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 1,5758E+5,E+,E+ -1,5758E+5,E+,E+,E+ -3,29122E+2 1,4551E+3,E+ 3,29122E+2 1,4551E+3,E+ 1,4551E+3 2,55574E+3,E+ -1,4551E+3 3,71732E+3-1,5758E+5,E+,E+ 1,5758E+5,E+,E+,E+ 3,29122E+2-1,4551E+3,E+ -3,29122E+2-1,4551E+3 ے 2,55574E+3,E+ 1,4551E+3 3,71732E+3,E+ -1,4551E+3 27
28 Pręt IV (przegub z prawej strony). Dwuteownik I24: = 7.211ሾ ሿ = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ = ܫ ሾm ସ ሿ 1 ቂ 25 = ܧ మቃ = ሾ ሿ = ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,, 6, ,7286-6, , 7, ,7393-7,7286,, -6, ,7286 6, ے, Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ 1, , , , , , , ,4359 2, , , , ,7393-4, , , , ,2875 1, , , , , , , ے Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 9,7551E+4 6,4525E+4 2,83111E+2-9,7551E+4-6,4525E+4,E+ 6,4525E+4 4,3777E+4-4,24668E+2-6,4525E+4-4,3777E+4,E+,E+ 2,83111E+2-4,24668E+2 3,684E+3-2,83111E+2 4,24668E+2-9,7551E+4-6,4525E+4-2,83111E+2 9,7551E+4 6,4525E+4,E+ -6,4525E+4-4,3777E+4 4,24668E+2 6,4525E+4 4,3777E+4,E+ ے,E+,E+,E+,E+,E+,E+ 28
29 4.3. Macierz geometryczna całego układu w układzie globalnym: Ke , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 6452, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,55 145, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 29
30 Po uwzględnieniu warunków podparcia (należy wykreślić wiersze oraz kolumny nr: 1,2,3,1,11,12,13,14,15, oraz redukcji momentu w przegubie nr 16) otrzymano zredukowane macierze w postaci (pozostają niewiadome 4,5,6,7,8,9) Macierz sztywności: = ܭ 93525, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83333 ے 2924, , , , ,66667 Macierz geometryczną: = ܭ -2114,2-2,968 2, ,571-31,393-2,968 4, , ,43 31, , ,571 31, ,57 31, ,149-46,575 ے -31,393 31, , , ,17 Nową macierz sztywności: തതത = ܭ + ܭ = ܭ 91411,3 6452, , , , , , , , , ,59-744, , ,5-2623, ,5 145,59 ے 2623, , ,27 145, , Obliczenie wektora sił P: = ௪ ௪ - wektor zewnętrznych sił węzłowych układu - wektor sił przywęzłowych układu od obciążenia przęsłowego Obliczanie wektorów sił przywęzłowych układu od obciążenia przęsłowego: 3
31 Pręt I = = ے Pręt II = = ے Pręt III układ lokalny pręta pokrywa się z układem globalnym pręta: = ሾ / ሿ ݍ ݍ 2 ଶ ݍ = 12 = = ݍ ے ଶ ے 12 Pręt IV = = ے Wektor sił P: = ௪ = = ے ے 16 ے 31
32 4.5. Obliczenie wektora przemieszczeń węzłowych układu q: ഥ ଵܭ = ݍ = = ݍ ഥܭ - wektor przemieszczeń węzłowych układu ݍ - macierz sztywności układu ܭ - wektor sił 91411,3 6452, , , , , , , , , ,59-744, , ,5-2623, ,5 145,59 ے 2623, , ,27 145, ,498 4 ݍ 5 ݍ 4 ݍ 5 ݍ 6 ݍ = ݍ = = 6 ݍ = 7 ݍ ݍ 8 ݍ ݍ ے 9 ݍ ے ے 9 ݍ -,2874,1931 -,29188,3222,2961 ے, Wektor przemieszczeń globalnych dla poszczególnych prętów: Dla pręta I: = ݍ,2874-,1931 ے, Dla pręta II: = ݍ -,2874,1931 -,29188,3222,2961 ے,
33 Dla pręta III: = ݍ,3222,2961,7822 ے Dla pręta IV: = ݍ -,2874,1931 ے Wektor przemieszczeń lokalnych dla poszczególnych prętów: ݍ = ݍ ݍ - wektor przemieszczeń lokalnych danego pręta - wektor przemieszczeń globalnych danego pręta ݍ - macierz transformacji Dla pręta I: = ݍ,19399-, ے, Dla pręta II: = ݍ, , , , , ے,
34 Dla pręta III: = ݍ,322262,296889, ے Dla pręta IV: = ݍ,13214,3286- ے 1 * - w wektorze przemieszczeń globalnych i lokalnych w pręcie IV występuje niewiadoma powstała w wyniku redukcji statycznej dla tego pręta. Ponieważ nie wpływa ona na dalsze obliczenia można w tym miejscu wpisać dowolną liczbę aby umożliwić dalsze obliczenia w programach kalkulacyjnych. Wpisano liczbę Obliczenie wektorów sił węzłowych dla poszczególnych prętów. = ഥܭ ݍ + - wektor sił przywęzłowych ഥܭ - nowa macierz sztywności elementu ݍ - wektor przemieszczeń węzłów elementu - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego Dla pręta I: = 3315,28 394, , ,28-394,11 ے 769,41-34
35 Dla pręta II: = 2357,6 146,8 769, , ,8 ے 2187,25 Dla pręta III: 575,16 327, ,148 = 575, ,523 ے 366,443 Dla pręta IV: = -173,13 2,44 16,34 173,13-2,44 ے, 5. Zestawienie wyników: Iteracja ଵ ሾ ሿ ଶ ሾ ሿ ଷ ሾ ሿ ସ ሾ ሿ zerowa -335, , ,75 38,643 pierwsza -3315, ,6-575,2 173,13 druga -3424, , ,9 191,5 trzecia -3439, , ,5 1951,58 czwarta -3441, , ,2 1957,8 różnica w %:.7%.15%.7%.28% Wniosek: Wynik z czwartej iteracji jest bardzo zbliżony do wyników z trzeciej iteracji, dlatego wykonywanie kolejnych iteracji nie jest konieczne. 35
PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Stateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Stateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM;
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Rozwiązanie stateczności ramy MES
Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek
1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Zad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji:
Zad. Wznaczć rozkład sił wewnętrznch N, T, M, korzstając z komputerowej wersji metod przemieszczeń. schemat konstrukcji: ϕ 4, kn 4, 4, macierz transformacji (pręt nr): α = - ϕ = -, () 5 () () E=5GPa; I
PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
Mechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym
2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,
gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
![[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)](/thumbs/88/115575588.jpg "[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)")
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Obsługa programu Soldis
Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone
METODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Dr inż. Janusz Dębiński
r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
Politechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia:
Wyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Mechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy
F + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Najprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Metoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Wykład nr 2: Obliczanie ramy przesuwnej metodą przemieszczeń
Mechanika Budowli 2 sem. IV N1 Wykład nr 2: Obliczanie ramy przesuwnej metodą przemieszczeń Mechanika Budowli 2 sem. IV N1 Treści Programowe: 1. Metoda przemieszczeń układy nieprzesuwne 2. Metoda przemieszczeń
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:
Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne
Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)
METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać
Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła G. Zadanie rozwiąż metodą sił.
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła. Zadanie rozwiąż metodą sił. P= 2kN P= 2kN Stopień statycznej niewyznaczalności: n s l r l pr 2 w 6
gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH Prowadzący: mgr inż. A. Kaczor STUDIUM ZAOCZNE, II
1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Ł Ś ź ź ź ć ć ć Ń ć ź ź ć ć Ń Ń ź Ą ź ć ć Ę ć Ń ź ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć Ę ć ć ć ć ć ć Ą ć ć ć ć Ń ć ć ć ć Ę Ą ć ć ć ć ć Ń ć ć ć Ę ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ż ć Ź ć ć Ź ć ć Ż ć Ą ć Ą ć Ź Ę Ę ĘĘĘ ć ć ć ć ć ć ć ć
Analiza I i II rzędu. gdzie α cr mnożnik obciążenia krytycznego według procedury
Analiza I i II rzędu W analizie I rzędu stosuje się zasadę zesztywnienia, tzn. rozpatruje się nieodkształconą, pierwotną geometrię konstrukcji, niezależnie od stanu obciążenia. Gdy w obliczeniac statycznyc
Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE
Metoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
NOŚNOŚĆ GRANICZNA
4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie
ĆWICZENIE 6 Kratownice
ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja
Budownictwo I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) niestacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Konstrukcje metalowe 1 Nazwa modułu w języku angielskim Steel Construction
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu
Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II
Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II Dr inż. Jacek Dyczkowski Studia stacjonarne, KB, II stopień, rok I, semestr I 1 K. Kopuły Rys. K-1 [5] 2 Obciążenia i siły od ciężaru własnego kopuły, pokazanej na rys.
Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.
Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny
Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P
WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:
Stateczność ram stalowych z węzłami podatnymi
Stateczność ram stalowych z węzłami podatnymi Dr hab. inż., prof. nadzw. Przemysław Litewka, mgr inż. Michał Bąk, Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Poznańska 1. Wprowadzenie Ramowe konstrukcje
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie
Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba
Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
WPROWADZENIE DO PROGRAMU FEAS - KAM Wersja r.
Mechanika Budowli I FINITE ELEMENT ANALYSIS SYSTEM WPROWADZENIE DO PROGRAMU FEAS - KAM Wersja - 04.11.2006 r. Opracował: mgr inż. Piotr Bilko Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Informacje ogólne Program
Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Wytrzymałość materiałów Strength of materials
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego
Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
Ć w i c z e n i e K 3
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja