Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji można podzielić na następujące etapy: 1. Określenie dziedziny.. Wyznaczenie granic oraz asymptot.. Określenie przedziałów monotoniczności (wzrastania i malenia).. Określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji. 5. Znalezienie ekstremów i punktów przegięcia. 6. Wyznaczenie wartości f(0) oraz f() = 0. 7. Narysowanie wykresu. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach..1. Asymptoty funkcji Asymptoty pionowe i ukośne Rozważmy funkcję y Jeśli wartość zmiennej niezależnej jest bardzo bliska, to mianownik jest bardzo bliski 0, tzn. y jest bardzo duża. Możemy tę sytuację zapisać jako i W tym wypadku prosta = jest asymptotą pionową funkcji f(). (Rys..1). Rys..1 Asymptoty funkcji y = ( - )/( ) Definicja.1 Prosta = a jest asymptotą pionową funkcji f(),gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków: f ( ) lub f ( ) a a Punkt = a nie należy do dziedziny funkcji 1
Definicja. Asymptotą ukośną funkcji f() nazywamy taką prostą y = a+b, do której dąży wykres funkcji f() przy + lub -. Można zapisać to w sposób następujący: ( f ( ) ( a b)) 0 Mówimy, że prosta y = a + b jest jednostronną (dwustronną) asymptotą ukośną krzywej y = f(), gdy zachodzi jedna (obie) z następujących równości: ( f ( ) a b) 0, lub ( f ( ) a b) 0. Współczynniki a i b wyznacza się odpowiednio z następujących wzorów: a b f ( ) f ( ), lub a ( f ( ) a), lub b ( f ( ) a). Funkcja y ma asymptotę ukośną y = + (Rys..1). Przykład.1: Znaleźć dziedzinę oraz asymptoty funkcji y ( 1) Rozwiązanie Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastka mianownika, = 1. D = (-, 1) (1, ). Postać dziedziny sugeruje, że = 1 może być asymptotą pionową. Funkcja y ma ( 1) asymptoty: pionową = 1 ukośną y = +. (Ryc..). Ryc.. Wykres funkcji y ( 1)
.. Wzrastanie i malenie funkcji. Ekstremum lokalne i punkt przegięcia. Rys.. Ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji. Załóżmy, że linia przedstawiona na rys.. została narysowana przez jakiś przyrząd pomiarowy mierzący zmiany jakiejś wielkości fizycznej w czasie. Wówczas oś odciętych (X) reprezentuje czas, a oś rzędnych (Y) mierzoną wartość, np. temperaturę, ciśnienie krwi czy zawartość jakiejś substancji chemicznej w roztworze. Patrząc na ten wykres widzimy, że mierzone wartości wzrastają w przedziale <a, c 1 >, maleją w przedziale <c 1, c >, wzrastają w przedziale <c, c > itd. Jeśli ograniczymy naszą uwagę do przedziału <c 1, c >, wartości te będą osiągały wartość największą (maksimum) w punkcie c a wartość najmniejszą (minimum) w punkcie c. W innych przedziałach minima i maksima będą inne. Opisane tu zachowanie się funkcji wygodnie jest opisać za pomocą jednolitych terminów matematycznych: Definicja.. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale <a, b> i niech 1, <a, b>. f jest funkcją rosnącą w <a, b> jeśli dla dowolnych 1, <a, b> f( 1 ) < f( ) 1 <, f jest funkcją malejącą w <a, b> jeśli dla dowolnych 1, <a, b> f( 1 ) > f( ) 1 <, f jest funkcją stałą w <a, b> jeśli f( 1 ) = f( ) dla dowolnych 1, <a, b>. Geometryczna interpretacja funkcji rosnącej i malejącej pokazana jest na rysunku.. Funkcja rosnąca Funkcja malejąca Rys.. Funkcje monotoniczne. Wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale określamy w sposób następujący:
Definicja.. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale <a, b> i niech c <a, b>. Wartość f(c) nazywamy maksimum funkcji f() w przedziale <a, b>, jeśli f() f(c) dla każdego <a, b>. Wartość f(c) nazywamy minimum funkcji f() w przedziale <a, b>, jeśli f() f(c) dla każdego <a, b>. Maksima i minima lokalne zilustrowane są na rys... Ekstrema lokalne można też określać inaczej (najczęściej tak się właśnie robi): Definicja.5. Niech c będzie liczbą należącą do dziedziny funkcji f. Wartość f(c) jest maksimum lokalnym funkcji f jeśli istnieje przedział otwarty (a, b) zawierający c taki, że f() f(c) dla każdego (a, b). Wartość f(c) jest minimum lokalnym funkcji f jeśli istnieje przedział otwarty (a, b) zawierający c taki, że f() f(c) dla każdego (a, b). Funkcje ciągłe posiadają następującą własność: Twierdzenie.1. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, to co najmniej raz osiąga maksimum i minimum w tym przedziale. Lokalne maksimum lub minimum nazywa się ogólnie ekstremum lokalnym.. Zastosowanie pochodnej do badania funkcji. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie. (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Jeśli funkcja f osiąga ekstremum lokalne w punkcie c (a, b), to f (c) = 0 lub f (c) nie istnieje. oraz Twierdzenie.. Jeśli f (c) istnieje i f (c) 0, to f(c) nie jest ekstremum lokalnym funkcji f. Te dwa twierdzenia pozwalają wykorzystać pochodne do znajdowania ekstremów lokalnych. Jednak równanie f (c) = 0 jest tylko warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie c. Nie jest warunkiem wystarczającym. To znaczy, że sprawdzając ten warunek wyszukujemy wszystkie punkty c (a, b), w których może istnieć ekstremum. Nie wiemy jednak, czy ono rzeczywiście tam istnieje. Aby to sprawdzić, musimy sprawdzić warunek dostateczny istnienia ekstremum. Pomocne tu będą następujące własności pochodnych:
Twierdzenie.. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f () > 0 dla każdego (a, b), to f jest rosnąca w (a, b). Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f () < 0 dla każdego (a, b), to f jest malejąca w (a, b). Warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji. Twierdzenie.5. Niech f będzie funkcją różniczkowalną na przedziale (a, b) i niech f (c) = 0 dla pewnego punktu c (a, b). Jeśli f () > 0 dla a < < c i f () < 0 dla c < < b, to f(c) jest maksimum lokalnym funkcji f w przedziale (a, b). Jeśli f () < 0 dla a < < c i f () > 0 dla c < < b, to f(c) jest minimum lokalnym funkcji f w przedziale (a, b). Jeśli f () > 0 lub f () < 0 dla wszystkich w (a, b) z wyjątkiem = c, to f(c) nie jest ekstremum lokalnym. Jest natomiast punktem przegięcia. 5
Przykład.1 cd. Znaleźć ekstrema i punkty przegięcia funkcji y z przykładu.1. ( 1) Zgodnie z twierdzeniami. i., aby znaleźć przedziały monotoniczności oraz punkty, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne, należy znaleźć pochodną tej funkcji i przyrównać ją do zera. Nasza funkcja jest ilorazem funkcji, zatem y 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 Widzimy więc, że y = 0 dla 1 = = 0, = oraz = 1. Jednak = 1 D, zatem ekstrema mogą istnieć w pozostałych dwóch punktach. Aby sprawdzić warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie.5) i jednocześnie wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji, musimy zbadać znak pochodnej. Ponieważ ( 1) > 0 dla D, wystarczy zbadać znak licznika pochodnej. W tym celu badamy tzw. siatkę znaków. - 0 1 + + 0 + + + - 1 - - 0 + + - - - - 0 + y + 0 + ------ - 0 + y rosnąca p. p. rosnąca ------- malejąca min. rosnąca Z powyższej tabelki wynika, że funkcja y ( 1) rosnąca dla (-, 1) (, ), malejąca dla (1, ). Dla = 0 y = 0 funkcja osiąga punkt przegięcia. jest: Dla =, y = 7/ funkcja osiąga minimum lokalne. 6
Ekstrema lokalne można znajdować również za pomocą pochodnych drugiego rzędu. Pochodną drugiego rzędu funkcji f() oznaczamy symbolem f (). Warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji jest: Twierdzenie.6 Niech f będzie funkcją różniczkowalną na przedziale (a, b) i niech f (c) = 0 dla pewnego punktu c (a, b). Jeśli f (c)< 0 to f(c) jest maksimum lokalnym funkcji f w przedziale (a, b). Jeśli f (c) > 0 to f(c) jest minimum lokalnym funkcji f w przedziale (a, b). Jeśli f (c) = 0, to mamy przypadek wątpliwy i należy badać zachowanie pochodnej pierwszego rzędu na lewo i na prawo od c. Przykład.1 cd Wykorzystamy wyżej wprowadzone warunki dostateczne do badania ekstremów lokalnych funkcji y. ( 1) Musimy w tym celu obliczyć pochodną drugiego rzędu tej funkcji. 1 Przypomnijmy, że y, oraz, że funkcja ma punkty stacjonarne dla 1 1 = 0 i =. y " y " 6 1 1 6 1 6 6 9 1 1 6 6 1 1 1 6 Zatem y(0) = 0, przypadek wątpliwy, 6 18 y "() 0, zatem dla = funkcja osiąga minimum lokalne. 1 16 Przykład. Znaleźć ekstrema lokalne oraz wartość największą i najmniejszą funkcji przedziale <-, 5>. f ( ) 1 w Rozwiązanie Znajdujemy najpierw ekstrema lokalne. Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. f () = 1, 1 = ( ) = ( )(+ ) ( )(+ ) = 0 Punktami, w których może istnieć ekstremum są 1 =, = -. Oba punkty należą do przedziału <-, 5>. Sprawdzamy warunek dostateczny. f () = 6. f () = 1 > 0, zatem minimum lokalne, którego wartość wynosi f() = -16. 7
f (-) = -1 < 0, zatem dla = - funkcja osiąga maksimum lokalne, którego wartość wynosi f(-) = 16. Sprawdzamy teraz wartości funkcji na końcach przedziału <-, 5>. f(-) = -7 + 6 = 9 f(5) = 15 60 = 65. Porównując te wartości z wartościami ekstremów lokalnych znajdujemy maksimum funkcji w punkcie (5, 65) i minimum w punkcie (, -16).. Wypukłość wklęsłość funkcji Własności funkcji, które dotychczas omawialiśmy (dziedzina, przeciwdziedzina, ekstrema, punkty przegięcia, przedziały wzrastania i malenia funkcji, asymptoty) pozwalają, między innymi, określać kształt wykresu funkcji, a więc przewidywać przebieg funkcji. Inną tego typu własnością jest wypukłość i wklęsłość funkcji. Pojęcie wypukłości i wklęsłości funkcji wiąże się z matematycznym pojęciem kombinacji wypukłej. Definicja.6. Wypukłą kombinacją liczb 1 i nazywamy każdą liczbę a taką, że: a = a 1 + (1-a), gdzie 0 a 1. Można sprawdzić, że liczba taka spełnia warunek: 1 a, tzn. a leży na odcinku, którego końcami są 1 i. Definicja.7. Mówimy, że funkcja f() określona w przedziale < 1, > jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby a, takiej że 0 a 1 f(a 1 + (1-a) ) af( 1 ) + (1-a)f( ) tzn. w przedziale < 1, > wartości funkcji leżą poniżej cięciwy łączącej punkty M 1 ( 1, f( 1 )) i M (, f( )). (Rys..6) Definicja.8 Mówimy, że funkcja f() określona w przedziale < 1, > jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby a, takiej że 0 a 1 f(a 1 + (1-a) ) af( 1 ) + (1-a)f( ) tzn. w przedziale < 1, > wartości funkcji leżą powyżej cięciwy łączącej punkty M 1 ( 1, f( 1 )) i M (, f( )). (Rys..6). Funkcja wypukła Funkcja wklęsła Rys..6 Wypukłość funkcji. 8
Prawdziwe są następujące twierdzenia. Twierdzenie.7 Jeżeli w przedziale <a, b> funkcja f() ma pochodną drugiego rzędu oraz dla każdej liczby <a, b> f () > 0, to w przedziale <a, b> funkcja f() jest wypukła. Twierdzenie.8 Jeżeli w przedziale <a, b> funkcja f() ma pochodną drugiego rzędu oraz dla każdej liczby <a, b> f () < 0, to w przedziale <a, b> funkcja f() jest wklęsła. Wykorzystując pojęcie wypukłości funkcji można określić punkt przegięcia funkcji jako punkt, w którym funkcja zmienia się z wklęsłej na wypukłą lub na odwrót, z wypukłej na wklęsłą. Przykład. Wykazać, że funkcja f() = nie ma ekstremum lokalnego. Rozwiązanie Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. f () = = 0 = 0. Jedynym punktem, w którym może istnieć ekstremum lokalne jest = 0. Sprawdzamy warunek dostateczny. f () = 6, f (0) = 0, zatem, zgodnie z twierdzeniem.6 mamy przypadek wątpliwy. Należy więc skorzystać z twierdzenia.5. Dla < 0 f () = > 0, zatem w przedziale (-, 0) funkcja jest rosnąca. Dla > 0 f () = > 0, zatem w przedziale (0, ) funkcja jest także rosnąca, co zgodnie z twierdzeniem.5 oznacza, że w punkcie = 0 funkcja ma punkt przegięcia. Zatem funkcja f() = nie ma ekstremum lokalnego. Rys..7 Punkt przegięcia. 9
Przykład. Zbadać przebieg zmienności funkcji y = /( ) (Rys..8) Rys..8 Wykres funkcji z przykładu.. 10