Rozład Erlaga Zajdziem rozład czasów oczeiwaia a -e zdarzeie. Łącz czas oczeiwaia a zdarzeń da jes przez: M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa ( (- gdzie E ; λ λ exp λ Podobie zajdujem: E ( ; E( ; E ( ; i i i i Dla mam + oraz (wbieram v, a więc u-v i v oraz J : λ v λ v λ dv 3 exp( exp exp λ λ λ v λ v λ v dv λ λ vdv λ exp( λ ( ; ( ; ( ; exp( exp E λ E v λ E v λ dv λ λ v λ v dv λ exp( λ dv λ ( λ exp( λ 3 Rozład czasu oczeiwaia a zdarzeń ma posać (rozład Erlaga: E ( ( λ ; λ λ exp( λ Γ Zadaie: Udowodij powższ wzór meodą iducji maemaczej. Wład 7-7
Rozład Erlaga Przład: Przchodzim do urzędu gdzie są dwa oiea. Przed jedm czea jeda osoba, a przed drugim dwie. Jaie jes p-wo, że usawiając się w dłuższej olejce dorzem do oiea szbciej? E ( ; λ λ exp ( λ E ( ; λ λ exp( λ Łącz rozład czasów oczeiwaia da jes przez: Szuae p-wo wosi: 3 (, ; λ E( ; λ E ( ; λ λ exp λ ( + f 3 P < f, ; λ d d λ exp λ + d d < < 3 λ exp( λ exp( λ d d λ exp( λ d Zadaie: Poaż, że w ogólm przpadu dwóch oleje (m> p-wo o dae jes przez: m < m m P( m + 4 M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa Wład 7-37
Rozład Poissoa Rozważm proces podlegając rozładowi władiczemu. Ze względu a bra pamięci po ażdm sgale (p. przejazd samochodu hisoria powarza się od owa, a jabśm oczeiwali a pierwsze zdarzeie. Jai jes rozład p-wa wsąpieia sgałów w usalom czasie obserwacji? Niech zmiea losowa T + + + ozacza mome przbcia -ego sgału. Szuam p-wa P((T (T + >, gdzie zmiea losowa T + T + +. Łączą fucję gęsości p-wa iezależch zmiech losowch T i T + zajdujem pamięając, że zmiea T podlega rozładowi Erlaga: M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa λ T λ T λ T λ exp λ T λ exp λ λ exp( λ T + λ exp λ T!!! + + + Ze względu a jedosow jaobia przejścia od zmiech T, + do zmiech T, T + łącza fucja gęsości p-wa ma posać: ( λt f( T, T+ ; λ λ exp ( λ T+ T < T+ <! Szuae p-wo jes więc rówe: P T T > (( ( + ( λt ( λ f ( T, ; exp exp T+ λ dt+ dt λ dt λ T + dt + λ! - -! Wład 7-47
Rozład Poissoa Ozaczając przez λ orzmujem rozład Poissoa liczb sgałów,, w oreślom przedziale czasu: P ( exp(! Warość oczeiwaa i wariacja: E V [ ] P [ ] P Błąd liczb zliczeń jes rów pierwiasowi z ej liczb: [ ] [ ] D D E[ ] Przład: Wii doczące obserwacji liczb samochodów w seudowch przedziałach czasu. Paramer rozładu Poissoa: [ ] [ ] λ. 93 / s s. 93 M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa częsość,3,5,,5,,5 Mah 3 4 5 6 7 8 9 liczba samochodów Wład 7-57
Rozład Poissoa Związe rozładu dwumiaowego z rozładem Poissoa. Jaie jes p-wo wsąpieia doładie zdarzeń w przedziale czasu [, ]?! B (, p p p... + p p!(!! Jeśli p-wo sucesu w pojedczej próbie dae jes przez p λ / o dosajem: (,... λ λ B p +! Dooując przejścia graiczego dosajem: ( λ B, p P λ e! Zasosowaie do rzadich zdarzeń (p. liczba aasrof, błedów druarsich, rzadich rozpadów jądrowch, ip. + λ λ! λ M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa λ Wład 7-67
Rozład Poissoa Esperme Poissoa polega a zliczaiu zdarzeń (sucesów w oreśloej jedosce czasu lub przesrzei geerowach przez proces Poissoa o asępującch cechach: isieje espermealie oreśloa sała λ, będąca średią częsością pojawiaia się sucesów w usaloej jedosce czasu lub przesrzei, liczb sucesów wsępujące w dowolch usaloch i ie przerwającch się podjedosach są wzajemie iezależe, jeśli usaloą jedosę podzielim a bardzo małe podjedosi h, o p-wo doładie jedego sucesu w ażdej z podjedose jes małe i aie samo, i w graic dąż do λh, p-wo więcej iż jedego sucesu w bardzo małej podjedosce dąż do zera. Przład: Produce abli chce użwać rozładu Poissoa do oce liczb defeów. Badając wiele 4-merowch odciów swierdza, że średio zawierają oe 4 defe. Cz spełioe są warui procesu Poissoa? Przład: Pod oiec ażdego godia zlicza się w liice w dużm mieście liczb owch przpadów zaaźej chorob. W ciągu osaich rzech godi zaoowao odpowiedio, i 3 przpadów. Cz spełioe są warui procesu Poissoa? M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa Wład 7-77
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, ór jes zaburza przez losowch efeów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch pomiar: P( ε P( ε W wiu pomiaru orzmujem jedą z wielości: x + ε+ ( ( ε + ( + ε,,,..., órch rozład p-wa da jes przez: Warość oczeiwaa i wariacja zmieej x : (, p. B 5 x ( E + + ε + + ε+ + ε x [ ] [ ] V ε V + 4ε V 4ε ε M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa Wład 7-87
Rozład ormal - wprowadzeie Zachowaie graicze rozładu dwumiaowego dla dużch : ( p B (, p exp πpq pq co w aszm przpadu prowadzi do: x ε x exp + exp π ε π ε ε 4 Przechodząc z ε do zera, aomias z i do iesończoości, ale a ab wariacja dążła do sałej ε σ dosajem gęsość p-wa zmieej x: B (, p. ( p B (, p exp πpq pq M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa ( x 5, ε N ( x;, σ exp Mah ε π σ σ Wład 7-97
Własości rozładu ormalego Warość oczeiwaa i wariacja: x x E[ x] x exp dx [ x] ( x exp dx σ π σ V σ π σ σ Wszsie ieparzse mome cerale ziają ze względu a smerię, aomias parzse dae są przez: (! ( x σ! Dla mam (x- 4 3σ 4, co ozacza, że współczii asmerii i spłaszczeia 4 γ V [ x] 3 przjmują warości zerowe. 3 γ 3 D [ x] Mah M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa Wład 7-7
Dsrbuaa rozładu ormalego x u Φ ( x exp du π x + exp dla x > π x exp dla x < π X....3.4.5.6.7.8.9....5.5398.5793.679.6554.695.757.758.788.859.843.,54.5438.583.67.659.695.9.76.79.886.8438..58.5478.586.655.668.6985.734.764.7939.8,846.3.5.557.59.693.6664.79.7357.7673.7967.838,8485.4.56.5557.5948.633.67.754.7389.773.7995.864,858.5,599.5596.5987.6368.6736.788.74.7734.83.889.853.6,539.5636.66.646.677.73.7454.7764.85.835.8554.7,579.5675.664.6443.688.757.7486.7794.878.834.8577.8.539.574.63.648.6844.79.757.783.86.8365.8599.9.5359.573.64.657.6879.74.7549.785.833.8389.86 Mah Mah M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa Wład 7-7
Rozład ormal - przład Przład: Biolog chce oceić wpłw su zimowego a masę ciała a wiewióre. W m celu waż dorosłch osobiów płci męsiej w pod oiec laa i wczesą wiosą.. Oazuje się, że pomiar woae w lecie mają rozład ormal o średiej 4 g i odchleiu sadardowm σ g. Jaie jes p-wo wo, że losowo wbraa wiewióra waż w lecie pomiędz 35 g i 45 g? 35 g 4 g x 45 g 4 g P( 35 g < x < 45 g P < z < g g σ P (. 5 < z <. 5 Φ (. 5 Φ (. 5 Φ (. 5. 695. 383 Przład: Wii esu IQ przeprowadzoego w pewej populacji mają rozład ormal o średiej i odchleiu sadardowm σ6. Ile wosi wi esu poiżej órego wpada 85% populacji? x x85 P( x < x85 P z < P( z < z85 Φ ( z85. 85 σ 6 x85 Z ablic odczujem: z85. 4. 4 x85 6. 64 7 6 Przład: Suma iezależch ch zmiech z rozładu z rozładu Gaussa o paramerach i σ: ( z ( ( z exp exp d exp ;, σ πσ N σ σ π ( σ ( σ M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa ( z Wład 7-7
Dwuwmiarow rozład ormal Gęsość p-wa dwuwmiarowego rozładu ormalego: Mah N ( x, ; x,, σ x, σ x x x x + ρ exp σ σ σ ( ρ x x πσ x σ ρ Elips owariacji: x x x x ρ + σ ρ σ x σ x σ C Mah σ warość władia wieloroość dspersji udział p-wa.5 (C 39.3%. (C 86.5% 4.5 (C3 3 98.9% Ką achleia dłuższej osi elips: ρσ x σ a α σx + σ Prose regresji II-go rodzaju: σ + ρ ( x x σx σ + ( x x ρ σx M. Przbcień Przbcień Rachue prawdopodobień prawdopodobieńswa i sasa Wł Wład 77-3