t - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody

Transkrypt

1 ZJAZD ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH ramach zajęć będą badae próbki pochodzące z poplacji w kórych badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ σ). Na zajęciach będą: - wyzaczae przedziały fości dla warości średiej i wariacji - weryfikowae hipoezy o warości średiej i wariacji dla jedej próby - weryfikowae hipoezy o rówości średich i wariacji dla dwóch prób Używae ozaczeia: - średia arymeycza elemeów próbki - odchyleie sadardowe wyikające z próbki - wariacja wyikająca z próbki f - kwayl rozkład -dea rzęd p o f sopiach swobody p p - kwayl rozkład ormalego sadaryzowaego N( ) rzęd p - kwayl rozkład chi-kwadra rzęd p o f sopiach swobody p f F( p f f ) - kwayl rzęd p rozkład F-edecora o ( f f ) sopiach swobody PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Kosrkcja przedziałów fości dla warości średiej a poziomie fości -α Rozparjemy -elemeową próbę.. Jeżeli wariacja σ poplacji z kórej pochodzi rozparywaa próbka jes zaa przedział fości jes posaci: ;. Pzedział fości w przypadk kiedy wariacja ie jes zaa: ;

2 Kosrkcja przedziałów fości dla wariacji a poziomie fości -α. Dla małej próbki ( < 5) przedział fości dla wariacji poplacji ma posać: ;. Przedział fości dla dżej próbki ( 5) ; ERYFIKACJA HIPOTEZ eryfikacja hipoez doyczących warości średiej Zakładamy że wszyskie hipoezy będą weryfikowae a poziomie isoości α.. Tesy dla warości średiej poplacji dla jedej próbki eryfikjemy hipoezę doyczącą warości średiej H: μ = μ przeciw jedej z hipoez aleraywych K : μ μ K : μ < μ K : μ > μ Rozparjemy dwa przypadki: a) odchyleie sadardowe σ cechy w poplacji jes zae. aysyka esowa wyraża się wzorem: U aomias obszary kryycze dla poszczególych hipoez aleraywych K K K są posaci:

3 b) odchyleie sadardowe σ cechy w poplacji ie jes zae. aysyka esowa wyraża się wzorem: Obszary kryycze dla poszczególych hipoez aleraywych są asępjące:. Tesy dla warości średich dla dwóch próbek Hipoeza kórą weryfikjemy doyczy rówości średich dla dwóch poplacji: H : μ = μ przeciw jedej z hipoez aleraywych: K : μ μ K : μ < μ K : μ > μ Rozparjemy dwa przypadki: a) odchyleia sadardowe σ i σ badaej cechy ob poplacji są zae. aysyka esowa wyraża się wzorem: U aomias obszary kryycze dla poszczególych hipoez aleraywych są posaci: b) σ i σ ie są zae aysyka esowa ma posać: aomias obszary kryycze są posaci:

4 4 eryfikacja hipoez doyczących wariacji. Tesy dla wariacji poplacji dla jedej próbki eryfikowaa jes hipoeza zerowa posaci: : H przeciw jedej z poiższych hipoez aleraywych: : : : K K K Rozparjemy dwa przypadki: a) mała próbka (<5) aysyka esowa wyraża się wzorem: a obszary kryycze wzorami: b) próbka dża ( 5) aysyka esowa: U a obszary kryycza są posaci:

5 . Tes dla dwóch wariacji dla dwóch próbek o liczościach i Rozparjemy hipoezę zerową posaci: H : kórą weryfikjemy przeciw hipoezie aleraywej K : aysyką esjącą ego es jes F gdzie i są wariacjami obliczoymi z próbek akimi że > Obszar kryyczy powyższego es day jes wzorem: F UAGA Poieważ między odchyleiem sadardowym a wariacją zachodzi zależość aka że odchyleie sadardowe jes pierwiaskiem kwadraowym wariacji moża korzysać ze wzorów i arzędzi doyczących jedej z ych charakerysyk dla aalizy drgiej charakerysyki pamięając o ym związk. Procedry program agraphic Do obliczeia średiej arymeyczej wariacji i odchyleia sadardowego z próbki moża wykorzysać arzędzie do wyzaczaia saysyk opisowych lb fkcje wbdowaego kalklaora: AVG(? ) oblicza średią arymeyczą VARIANCE(? ) oblicza wariację D(? ) oblicza odchyleie sadardowe Do obliczeia kwayla wybraego rozkład moża wykorzysać fkcje wbdowaego kalklaora: INVTUDENT(? ;? ) dla kwayla rozkład -dea INVCHIQUARE(? ;? ) dla kwayla rozkład chi-kwadra INVNEDECOR(? ;? ;? ) dla kwayla rozkład F-edecora Przedziały fości dla warości średiej i odchyleia sadardowego zadaej próby wyzacza się za pomocą arzędzia Describe/Nmeric Daa/Oe-Variable Aalysis... wybierając w opcjach eksowych oka aalizy Cofidece Iervals. adardowo 5

6 przedziały fości wyzaczae są a poziomie fości 95%. Poziom e moża zmieić wybierając z me podręczego oka wyikowego opcję Pae Opios. Do esowaia hipoezy dla warości średiej dla jedej próby moża wykorzysać arzędzie Describe/Hipoesis Tess... Poziom isoości i hipoezę aleraywą moża zmieić wybierając z me podręczego oka wyikowego opcją Pae Opios. Dla dwóch prób esowaie hipoez o rówości średich lb odchyleń sadardowych realizje się arzędziem Compare/Two amples/hypoesis Tess. Poziom isoości i hipoezę aleraywą moża zmieić wybierając opcję Aalysis Opios w me podręczym. ZADANIA Zadaie Za pomocą pewego isrme pomiarowego dokoao = pomiarów średicy pewego pierścieia i orzymao wyiki: Prodce ych isrmeów gwaraje że przy posłgiwai się imi rozrz pomiarów wyosi σ =. Zakładamy że badaa cecha ma rozkład ormaly. a) yzaczyć przedział fości dla warości przecięej μ średicy pierścieia przyjmjąc poziom fości - α = 95. b) Zweryfikować a poziomie isoości α = hipoezę mówiącą że warość przecięa średicy pierścieia jes 8 wobec hipoezy aleraywej że przekracza 8. Zadaie Badai poddao = 5 elemeów ego samego yp i w przedziale czas [4] [h] zliczoo liczbę odów ego eleme orzymjąc asępjące wyiki: a) Przyjmjąc poziom fości - a = 95 wyzaczyć przedziały fości dla warości średiej μ oraz wariacji σ liczby odów do chwili 4 [h]. b) Na poziomie isoości α = zweryfikować hipoezę że średia liczba odów w przedziale [4] [h] wyosi 8 [h] wobec hipoezy aleraywej że jes większa iż 8. c) Zweryfikować hipoezę H : σ = wobec hipoezy aleraywej K : σ < przyjmjąc poziom isoości es α = 5. Zadaie Dokoao = pomiarów dłgości drogi hamowaia pewego yp pojazd samochodowego przy prędkości [km/h] i orzymao asępjące wyiki: średia = 865 odchyleie = [m]. a) yzaczyć przedziały fości dla warości przecięej µ i wariacji dłgości drogi hamowaia σ przyjmjąc poziom fości -α = 9 b) Na poziomie isoości α = zweryfikować hipoezę że średia dłgość drogi hamowaia wyosi 6 m przy aleraywie że jes większa iż 6 m. 6

7 c) Zweryfikować hipoezę o wariacji H : σ = 5 przy hipoezie aleraywej K : σ > 5 przyjmjąc poziom isoości es α = 5. Zadaie 4 ysięo hipoezę że zasosowaie iego yp oża okarskiego skróci czas obróbki pewego deal. Dokoao pomiarów czas obróbki ego deal i orzymao asępjące wyiki dla owego yp oża okarskiego: [mi]. Dla sarego yp oża dokoao pomiarów ego czas i orzymao wyiki: [mi]. Zakładamy że czas obróbki ma rozkład ormaly. a) Zweryfikować hipoezę o rówości wariacji czas obróbki deal wobec hipoezy aleraywej że wariacja czas obróbki deal dla oża okarskiego sarego yp jes większa. Przyjąć poziom isoości a =5. b) Przyjmjąc poziom isoości a = 5 zweryfikować hipoezę o rówości średich czasów oczeia przy życi ob ypów oży okarskich przyjmjąc jako aleraywę hipoezę że średi czas oczeia przy życi oża owego yp jes krószy. Zadaie 5 cel sprawdzeia czy zasosowaie owej echologii wpływa a czas bezawaryjej pracy pewego eleme przeprowadzoo = 8 pomiarów i orzymao: x = s = [h] przy zasosowai sarej echologii. osjąc ową echologię orzymao dla = 9 asępjący średi czas y = i odchyleie sadardowe s = 5 [h]. Czy a podsawie ych daych moża wierdzić że zasosowaie owej echologii ma wpływ a średi czas bezawaryjej pracy wywarzaego eleme. Przyjmjemy poziom isoości α =. 7