Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Transkrypt

1 7-- Przewarzaie sgałów biomedczch Człowie- ajlepsza iwescja Proje współfiasowa przez Uię uropejsą w ramach uropejsiego Fuduszu Społeczego Wład IX Aaliza sgałów procesów losowch

2 7-- Proces losowe sochascze { } rodzia fucji zmieej losowej i czasu proces sochascz -a realizacja procesu - fucja czasu dla pewej warości zmieej losowej wiu zdarzeia losowego X i warości procesu dla usaloego czasu są warościami zmieej losowej Zmiea losowa fucja oreśloa a zbiorze zdarzeń i przjmująca warości rzeczwise z oreślom prawdopodobieńswem Opis procesu sochasczego Właściwości sascze procesu w pewm przedziale czasu są oreśloe, jeśli dla dowolego zbioru warości czasu z ego przedziału za jes rozład łącz prawdopodobieńswa zmiech losowch X, X,... X. ai rozład łącz prawdopodobieńswa azwam gęsością procesu p, ;, ;... i, i...;,. ozład e oreśla prawdopodobieńswo, z jaim zmiea losowa X przjmuje w przjmuje warości z przedziału i, i we wszsich chwilach czasowch. Wzaczeie ego rozładu wmaga dspoowaia zbiorem realizacji procesu i może bć rude do przeprowadzeia w waruach pomiarów fizczch.

3 7-- Opis sgałów losowch Sgał losow - warość średia i średiowadraowa mome - rozład prawdopodobieńswa - fucja auoorelacji - widmowa gęsość moc Para sgałów losowch: - łącz rozład prawdopodobieńswa - fucja orelacji wzajemej - widmowa gęsość moc wzajemej - fucja oherecji Worzsaie paramerów opisującch sgał losowe ozład prawdopodobieńswa: - ocea przedziału warości przjmowach przez proces - wiosowaie o ew. ormalości rozładu Fucja orelacji: - wrwaie sładowch oresowch w sgale - esmacja czasu opóźieia - loalizacja źródeł załóceń i orów rasmisji sgału - wdobwaie sgałów z szumu 3

4 7-- Worzsaie paramerów opisującch sgał losowe Gęsość moc: - ocea właściwości sgału - ocea właściwości oru sgałowego ssemu a podsawie zajomości sgału wejściowego i wjściowego - oreślaie właściwości sgału wjściowego a podsawie zajomości sgału wejściowego i właściwości ssemu - oreślaie właściwości sgału wejściowego a podsawie zajomości sgału wjściowego i właściwości ssemu - opmalizacja filracji Opis procesu sochasczego Wzaczaie gęsości prawdopodobieńswa: - dla zbioru realizacji w pucie i P i P, i lim ]

5 7-- Opis procesu sochasczego Wzaczai gęsości prawdopodobieńswa: - dla jedej realizacji w szczególch przpadach - gęsość może bć obliczaa jao hisogram ampliud P ] lim suma odciów czasowch, dla órch zachodzi << - całowi czas pomiaru Przład fucji gęsości prawdopodobieńswa wzaczoe jao hisogram ampliud - szeroopasmow szum losow sius - sius szum szeroopasmow/ - wasopasmow szum losow sius - 4 szeroopasmow szum losow - 4 sius szeroopasmow szum losow/ -4-4 wasopasmow szum losow - 4

6 7-- Wielości charaerzujące proces Proces mome zwłe rzędu mome cerale rzędu ciągł m ] p d µ m ] m ] p d dsre m ] p µ m ] m ] p operaor wzaczaia warości oczeiwaej, m warość średia; Ab wzaczć mome, musim dspoować ieograiczoą liczbą realizacji procesu, warości procesu, p jedowmiarowa fucja gęsości prawdopodobieńswa, może bć fucją czasu. Wielości charaerzujące proces Warości paramerów dla zbioru realizacji dla chwili dla procesów ciągłch i dsrech woszą: warość średia pierwsz mome zwł warość średiowadraowa suecza -gi mome zwł wariacja drugi mome ceral mome mogą fucjami czasu!!! m ] p d m ] p m µ s m ] m p d ] p m ] p m p s m ] 6

7 7-- Wielości charaerzujące proces fucja auoorelacji :, ] p,,, d d gdzie p dwuwmiarowa fucja gęsości prawdopodobieńswa; sosuje zapis uwpulając opoźieie:, ] fucja auoowariacji C, m m ] m m p,,, d d jeśli m, fucje auoorelacji i auoowariacji są idecze Bez spełieia przez proces dodaowch waruów do wzaczeia paramerów iezbęda jes zajomość łączch rozładów prawdopodobieńswa - gęsości procesu p, ;, ;... i, i...;,. Sgał losowe iesacjoare sacjoare ergodcze róże las iesacjoarości słabo - w szerszm sesie; ściśle - w węższm sesie Klas iesacjoarości: iesacjoara: - gęsość prawdopodobieńswa - warość średia - fucja auoorelacji - widmowa gęsość moc 7

8 7-- iesacjoar sgał biomedcz Sgał dopplerowsi prędości przepłwu rwi - ieco poad cl prac serca i fragme o. ms iesacjoar sgał biomedcz sperogram 3 cle iesacjoare paramer: - warość suecza - fucja auoorelacji - widmowa gęsość moc jed paramer sacjoar? - warość oczeiwaa rówa ; aalizę widmową aiego sgału sperogram przeprowadza sie dla róich oie dach, odpowiadającch iluasu ms sgału, przjmując że wed ie asępują isoe zmia prędości i położeia elemeów rozpraszającch, a więc i zmia właściwości sgału są zaiedbwale?

9 7-- iesacjoar sgał biomedcz sgał mow wraz reść: iesacjoare paramer: - warość suecza - fucja auoorelacji - widmowa gęsość moc Proces sacjoar Jeśli dla dowolego rozład łącz prawdopodobieńswa zmiech losowch X, X,... X jes ai sam ja rozład łącz zmiech X, X,... X, proces jes sacjoar słabo, w szerszm sesie. Ozacza o, że m i ie są fucjami ; jes jedie fucją , ] p,,, d d 3 4 Jeśli wszsie mome procesu ie zależą od czasu proces ściśle sacjoar w węższm sesie. 9

10 7-- Proces ergodcz Sposób wzaczeia momeów i fucji orelacji słabo sacjoarego procesu dla pojedczej realizacji fucji czasu: m lim d, lim d s lim m ] d warość oczeiwaa m jes warościąśredią przebiegu w czasie; jeśli m wariacja jes warością sueczą średiowadraową przebiegu Jeśli uzsae w e sposób wii są idecze z uzsami dla zbioru realizacji procesu proces jes ergodcz Proces ergodcz Jeśli uzsae dla pojedczej realizacji wii są idecze z uzsami dla zbioru realizacji procesu proces jes ergodcz. Proces ergodcze - są imi słabo sacjoare proces ormale ormal rozład prawdopodobieńswa, m i ie zależą od spełiające warue: lim C d Więszość obserwowach sacjoarch procesów fizczch o proces ergodcze

11 7-- Wzaczaie paramerów procesu ergodczego Paramer procesu losowego ergodczego obliczae dla pojedczej realizacji: Warość oczeiwaa średia m lim d Wariacja: s lim m] d Fucja auoowariacji C m m] lim m m d Fucja auoorelacji lim d Fucja orelacji wzajemej Jes o warość oczeiwaa iloczu sgałów, óra saowi miarę podobieńswa ch sgałów dla argumeu opóźieie, o óre przesuięe są aalizowae sgał. ] lim d

12 7-- Fucja orelacji wzajemej Jes o warość oczeiwaa iloczu sgałów dla argumeu opóźieie. lim d Poieważ fucja orelacji wzajemej jes w mśl defiicji warością średią iloczu warości sgałów i, usuowach w puach i, uśredieie powio zosać przeprowadzoe dla iesończoej liczb ch iloczów wzaczoch dla daego i różch, sąd iesończo przedział całowaia. W pomiarach fizczch praczch warue e ie jes realizowal, obowiązuje jeda z rówoważch zależości: d o d o Fucja orelacji wzajemej Jes o warość oczeiwaa iloczu sgałów, óra saowi miarę podobieńswa ch sgałów dla argumeu opóźieie, o óre przesuięe są aalizowae sgał d Sgał idecze - wsoa warość fucji orelacji wzajemej dla. Sgał róże mimo ideczego szału ja obo! - isa warość fucji orelacji wzajemej dla, wsoa dla pewej warości ;

13 7-- Fucja orelacji wzajemej Sgał rzeczwise sgał zespoloe * d d Właściwości:. -. aaliza wróżia wrażeia ab ] a ab b, b 3. ½ ] aaliza wrażeia ] oraz właściwość 4. > sgał i są iesorelowae Fucja auoorelacji orelacji własej Sgał rzeczwis sgał zespolo * d d - w przpadu sgałów rzeczwisch fucja rzeczwisa, parzsa wariacja wadra warości warość sueczej Właściwości:. dla. - dla sgałów rzeczwisch 3

14 7-- Fucja auoorelacji orelacji własej Sgał rzeczwis lim d d jes fucją parzsą i przjmuje masmalą warość dla!!!! Paramer sgałów deermiisczch Paramer warość średia, średiowadraowa, fucja orelacji moża wzaczać aże dla sgałów deermiisczch, sosując e same formuł co w przpadu sgałów losowch, dososowae do właściwości eergeczch sgału, p. dla fucji orelacji wzajemej: Sgał o sończoej eergii ciągłe lub dsree d Sgał oresowe ciągłe lub dsree ores lub Sgał o sończoej mocśrediej o d o lim d 4

15 7-- Fucje auoorelacji sgału deermiisczego Sgał siusoidal. - o si ωsi ω d cos ω o jes fucją parzsą i przjmuje masmalą warość dla!!!! Fucja auoorelacji ombiacji liiowej sgałów a b Sgał o sończoej eergii d a b a b ] a b ab ab ] a b ab ; є, є, pole pod wadraem całego sgału pole pod wadraem części sgału pole rówe zero jes fucją parzsą i przjmuje masmalą warość dla!!!!

16 7-- Przład fucji auoorelacji procesów losowch sgał siusoidal siω. cosω szum losow szeroopasmow biał wadra warości warość sueczej 3 sgał siusoidal plus szum biał jes fucją parzsą i przjmuje masmalą warość dla!!!! zerowe opóźieie Widmowa gęsość moc Widmowa gęsość moc w. Wieera-Chicza wi przeszałceia Fouriera fucji auoorelacji G f ep jπf d pierwoie podsawowa meoda wzaczaia WG związe odwro G f ep jπf df 6

17 7-- Widmowa gęsość moc procesów losowch G f ep jπf d G f ep jπf df Przład sgał siusoidal szum biał uśredieie WG! 3 sgał siusoidal plus szum losow Przład fucji auoorelacji i WG procesów G f ep jπf df G f ep jπf d si szum biał si szum biał 7

18 7-- Fucja auoorelacji procesu losowego Szum biał sgał losow o sałej wariacji oraz zerowej warości średiej i sałej widmowej gęsości moc w fucji pulsacji w smulacji sgał pseudolosow. a moc wierdzeia Wieera-Chicza oczeujem rezulau w posaci del Diraca usuowaej w począu uładu rasformaa Fouriera fucji sałej i własość podobieńswa! oraz zer dla ich pulsacji. Obo przedsawioo rezula esmacji!! fucji auoorelacji smulowaego szumu białego dla 3 realizacji ego szumu. Oprócz warości usuowaej w począu uładu jes wadraem warości sueczej ze wzrosem pojawiają się arasające fluuacje wiu. Jes o efe ograiczeń meod esmacji isiejącch w prace - malejącej liczb uśrediach iloczów dla więszch opóźień. Współczi orelacji, - proces ergodcze Współczi orelacji wzajemej - uormowaa fucja owariacji wzajemej lim m ] m ] d C ρ C C s s Współczi orelacji isoie różi się od fucji orelacji warość ego współczia iesie ilościową iformację o podobieńswie dwóch sgałów losowch. Podczas gd warość masimum fucji orelacji jes fucją ampliud obu sgałów, warośćρ ie jes zależa od ampliud. Warośćρ rówa jedości ozacza ideczość obu sgałów, warość blisa jedości zacze podobieńswo ch sgałów. Współczi orelacji spełia warue ρ <. 8

19 7-- Współczi auoorelacji Proces ergodcz Uormowaa fucja auoowariacji współczi auoorelacji: ρ lim m m d ] ] C C C s Współczi e spełia warue: ρ Zasosowaie fucji i współczia orelacji smacja czasu opóźieia I Sgał ergodcz i jego opóźioa i przesalowaa wersja a<: a- Fucja orelacji wzajemej dla sgałów i ] a ] a ] a Fucja więc fucją auoorelacji sgału, przesuięą o i pomożoą przez współczi a. Warość masmala ej fucji leż dla. Zalezieie położeia masimum pozwala wzaczć opóźieie sgałów i. Współczi orelacji wzajemej procesów i ma posać: C C aσ ρ σ σ σ σ σ aσ σ s 9

20 7-- Zasosowaie fucji i współczia orelacji smacja czasu opóźieia II -. sigal auoorelacja sgalu a- C C a aσ ρ σ σ σ σ σ aσ a -. - replia fucja orelacji wzajemej wspólczi orelacji wzajemej Fucja orelacji w obecości szumu sgał: jego opóźioa wersja, przesalowaa, z dodaiem iesorelowaego szumu : a - Fucja orelacji wzajemej dla sgałów i sgał ergodcze: ] a ] a ] ] a a ] a Poieważ szum i sgał są iesorelowae, orelacja wzajema ] jes rówa zeru! Fucja jes fucją auoorelacji sgału, przesuięą o opóźieie, o óre przesuięa jes replia, i pomożoą przez współczi a. Warość masmala ej fucji leż dla. Oreśleie położeia masimum pozwala wzaczć opóźieie przesuięcie sgału i jego replii w sgale.

21 7-- Współczi orelacji sgał gausspac sgał - szum biał iesorelowa, odchleie sadardowe ,, Współczi orelacji. -. sgał gausspac sgał. współczi auoorelacji przjmuje warość dla C σ ρ σ σ σ σ współczi orelacji wzajemej i przjmuje warość dla C σ ρ σ σ σ σ σ σ σ

22 7-- Współczi orelacji. -. sgał gausspac sgał / współczi orelacji wzajemej i przjmuje warość dla C σ ρ σ σ σ σ σ σ / σ σ / Współczi orelacji w obecości szumu sgał gausspac sgał - szum biał iesorelowa, odchleie sadardowe.7,, sgał oraz sgał oraz współczi auoorelacji przjmuje warość dla C σ ρ σ σ σ σ. -

23 Współczi orelacji w obecości szumu,, współczi orelacji wzajemej i współczi auoorelacji C σ σ ρ ρ sgał oraz Współczi orelacji w obecości szumu - gausspac,, współczi orelacji wzajemej i aaliza :???? ] ] ] ] ] ] C σ σ ρ

24 7-- sgał gausspac sgał - szum biał iesorelowa, Współczi orelacji w obecości szumu cz rzeczwiście i są iesorelowae? ] ]???? ] smacja paramerów procesów losowch 4

25 7-- Podsawowe pojęcia eorii esmacji Pomiar cz esmacja paramerów? smaor Właściwości esmaorów jaość esmaorów G rzeczwisa warość parameru esmowaego Ĝ esmaor zmiea losowa!! rozład, wariacja, obciążeie Ĝ ] warośćśredia oczeiwaa esmaora Wi pomiaruĝ będzie róż od rzeczwisej warości G ; wsąpić mogą dwojaiego rodzaju błęd: obciążeie - G - Ĝ ] - błąd ssemacz wariacja - Ĝ - Ĝ ] - błąd przpadow Błąd średiowadraow Błęd esmaora ujmuje sumarczie błąd średiowadraow: SĜ - G ] S { G f G f } ] { G f G f ] G f G f ]} ] G f G f ] G f G f ] G f G f ] G f G f ] ] G f G f ] ] G f G f ] G f G f ]] G f G f ] warość zero sała G f G f ] ] G f G f ] wariacja s Ğf obciążeie bğf iara względa błędu: względ błąd średiowadraow: ε S G f

26 7-- Właściwości esmaorów Oczeujem, że dobr esmaor ie będzie wazwał obciążeia, a jego wariacja będzie ja ajmiejsza Jeśli warość oczeiwaa esmaora jes rówa warości parameru esmowaego esmaor ieobciążo. G ] G Pożądae jes, b esmaor miał ja ajmiejsz błąd średiowadraow, czli małą wariację i bł ieobciążo G G ] smaor ajefewiejsz esmaor ieobciążo o ajmiejszej wariacji Jeśli rozmiar próbi rosą i zachodzi zależość: esmaor jes zgod lim G G ] smaor podsawowch paramerów paramer esmaor warość średia m ] p d m p m i i wariacja s m ] p d s i m i obciążo s m p s i m i ieobciążo 6

27 7-- smacja fucji orelacji auoorelacji smaor fucji orelacji wzajemej: iesończo czas całowaia uśrediaia esmaora!!! lim d smaor fucji orelacji wzajemej sosowae w obliczeiach ompuerowch: sończoa liczba próbe sgału!!!! ograiczeie liczb uśrediach iloczów!!! ieobciążo obciążo smaor fucji auoorelacji smaor fucji auoorelacji lim d i jego implemeacja umercza małe duże liczba par {, } worzącch warości iloczu maleje ze wzrosem!! 7

28 7-- smacja fucji orelacji auoorelacji 3 realizacje szumu białego,, ±,, Szum biał fucja auoorelacji powia mieć posać del Diraca, o wsoości, usuowaej w począu uładu!!! Wi dela Diraca o wsoości oraz??? Widocze różice poszczególch wiów esmacji, wzros zmieości wariacji esmaora ze wzrosem oraz spade zmieości esmaora uśredioego w porówaiu z ażdm z pojedńczch esmaorów.. f.auoorelacji f.auoorelacji. esmaa r f.auoorelacji sredia f.auoorelacji.. esmaa r esmaa r 3 esmaa uśredioa smacja fucji orelacji auoorelacji Sgał - szum olorow, wi ograiczeia pasma szumu białego esmaor ieobciążo esmaor obciążo Liczba par {, } worzącch warości iloczu maleje ze wzrosem!! Poiżej wi esmacji szumu olorowego prz zasosowaiu obu esmaorów:. coloured, próbe - fucja auoorelacji, es. ieobciazo coloured oise, próbe - fucja auoorelacji, es. obciazo

29 7-- smacja WG procesów gaussowsich smaor WG Wariacja esmaora WG obciążeie esmaora WG gdzie B rozdzielczość częsoliwościowa aaliz, czas obserwacji G f G f s G f B '' b G f B G f 4 Względ błądśrediowadraow: S ε B G '' f 4 ] G f B 76 G f smacja WG procesów gaussowsich Względ błąd średiowadraow esmaora WG: S ε B G '' f 4 ] G f B 76 G f Jeśli B małe wsoa rozdzielczość częsoliwościowa, a widmowa gęsość moc procesu jes głada ie wsępują szbie zmia, o drugi czi w powższm wrażeiu moża pomiąć, a błąd wosi sładi związa z wariacją: ε B 9

30 7-- smacja WG procesów gaussowsich meodą bezpośrediej F Odsęp czasow międz olejmi próbami wosi /f s f s - częsoliwość próbowaia, ciąg próbe poddawa DF odpowiada czasowi /f s, rozdzielczość częsoliwościowa odległość międz olejmi warościami DF jes odwroie proporcjoala do : Bf s //, czli /B!!! ε B Błąd względ jes rów, błąd średiowadraow jes rów warości esmowaej!!!! Obo - wii esmacji WG dla 4 realizacji procesu smulowa szum biał oczeujem sałej warości WG w całm paśmie - widocza zacza wariacja esmaora. Uśrediaie 3

31 7-- 3 sgał sochascze X uśredioa suma sgałów warość oczeiwaa sum sgałów wariacja sum sgałów s X X X XX X X XX X X X X X ] ] ] ] ] ] X ] ] X Wariacja sum procesów losowch I Wariacja sum sgałów sochasczch gaussowsich iesorelowach p. szum biał o zerowej warościśrediej i wariacji s Poieważ X: ] X s poieważ szum jes iesorelowa, dla m p m p ] Wariacja sum procesów losowch II Wariacja sum sgałów sochasczch gaussowsich iesorelowach p. szum biał o zerowej warości średiej i wariacji s X ]..}.. ] ]... ] ] {..]..... ]... s s ] ]... ] ] X s ]}... ] ] { s

32 7-- Wariacja sum procesów losowch III Wariacja sum sgałów sochasczch gaussowsich iesorelowach p. szum biał o zerowej warościśrediej i wariacji s s { ] ]... ]} ] poieważ ] s ] s s s s ] Wariacja uśredioej sum sgałów losowch jes rówa s /, a więc -roie miejsza iż wariacja ażdego z sgałów losowch worzącch sumę. Odchleie sadardowe po uśredieiu jes raz miejsze. Sgał z szumem gaussowsim I Sgał ma realizacji, z órch ażda zawiera powarzal sgał deermiiscz i iesorelowa z sgałem szum gaussowsi o zerowej warościśrediej i wariacji s : sosue sgał/szum S/ przed uśredieiem: real pojedcza realizacja S real s miarą S/ jes sosue warości sueczej sgału ŷ i odchleia sadardowego szumu s prz zerowej w.średiej - warość suecza uśrediając realizacji dosajem: ] ] ] 3

33 Prz wzaczaiu wariacji aiej sum ziają warości oczeiwae iloczów szumów i m, a aże oraz szumów Wariacja i odchleia sadardowe po uśredieiu sosue S/ avgd wosi: uśrediając realizacji dosajem: avgd real S s s S / s s suma / s s suma / ] ] ] Sgał z szumem gaussowsim II po uśredieiu sosue S/ avgd wosi: uśrediając realizacji dosajem: avgd real S s s S / asępuje więc -roa poprawa sosuu sgału do szumu w porówaiu z suacją przed uśredieiem. Warui uzsaia ej popraw o spełieie podach wcześiej wmagań ałożoch a sgał losow i sgał deermiiscz oraz możliwość schroizacji uśrediaia, j. aiego wzajemego usawieia uśrediach fragmeów sgału, b sgał powarzal zajdował się w ażdm przpadu w ej samej odległości od począu fragmeu sgału. ] ] ] Sgał z szumem gaussowsim III

34 7-- Uśrediaie - meoda wdobwaia sgałów z szumu Przład a - sgał deermiiscz róją.. sgal 3 4 szum iesorelowa b - szum iesorelowa c - suma sgału i szumu, sgał deermiiscz - iewidocz d - wi uśredieia 3 ewolucji ja w części c, w wiu -roego słumieia szumów sgał deermiiscz saje się widocz szum sgal uœredio powarzal sgal z szumem Uśrediaie jes częso sosowaą meodą prz pomiarze słabch sgałów echia pomiarowa, medca eleme KG, poecjał wwołae wzroowe, słuchowe. Wrwaie późch poecjałów CG - uśrediaie 34

35 7-- Wrwaie późch poecjałów CG - uśrediaie Procedura: - awizcja sgału z rzech odprowadzeń z wsoą częsoliwością próbowaia Hz - uśrediaie - schroizacja uśrediaia: wbór wzorca QS z dach wzaczaie współczia orelacji wzajemej międz wzorcem i olejmi clami sgału KG w przpadu uzsaia odpowiedio wsoiej warości współczia orelacji dodajem do siebie zschroizowae z wzorcem sgał Wrwaie późch poecjałów CG - uśrediaie Procedura cd.: - uśrediaie - uwzględiaie cziów aich ja zmiea długość clu KG zmie poziom szumów w sgale - szacowaie moc szumów w płasim odciu sgału poza QS - selecja cli KG a podsawie w/w aaliz 3

36 7-- Wrwaie późch poecjałów CG - uśrediaie eod popraw właściwości esmaorów WG smaor WG zmiea losowa o wariacji rówej wadraowi warości esmowaej odchleie sadardowe rówe warości esmowaej. Uśrediaie a wariacja esmaora DF WG 4 wii esmacji WG meodą bezpośrediego przeszałceia Fouriera; wi uśredieia esmaorów eoreczie poad 4 obiżeie odchleia sadardowego Ie echii popraw właściwości esmaora WG: - wgładzaie częsoliwościowe średia ruchoma - oa czasowe splo F sgału z F oa - wgładzaie z worzsaiem fucji będącej F oa 36

37 7-- smacja fucji orelacji auoorelacji Sgał - szum olorow, wi ograiczeia pasma szumu białego esmaor ieobciązo esmaor obciążo Liczba par {, } worzącch warości iloczu maleje ze wzrosem!! coloured, próbe - fucja auoorelacji, es. ieobciazo coloured oise, próbe - fucja auoorelacji, es. obciazo uśredio esmaor fucji auoorelacji, ubiased, 6* próbe, uśredio esmaor fucji auoorelacji, biased, 6* próbe, Pojedcz wi esmacji Wi esmacji po 6 uśredieiach Związi międz WG esmowami a podsawie w. Wieera i z użciem meod bezpośrediej F F dla pojedczej realizacji ep X f, jπf d o X f, S f,, smaor WG dla pojedczej realizacji ozacza czas obserwacji, r realizacji, f częsoliwość. smaor Sf,, ie jes zgod jego wariacja ie maleje ze wzrosem. Koiecze jes uśrediaie zbioru esma uzsach dla zbioru p realizacji procesu: S f lim S f,, p] p 37

38 7-- Związi międz WG esmowami a podsawie w. Wieera i z użciem meod bezpośrediej F Uśredioa w zbiorze realizacji warość S jes w poiższ sposób związaa z fucją auoorelacji: p S f,, p] ep jπf d lim S Graica warości oczeiwaej p S ] jes rówa widmowej gęsości moc orzmwaej w wiu w. Wieera-Chicza f,, p] ep jπf d G f esmaor DF - pojedcze esma WG usredioa esmaa DF. rzeczwisa WG. Wieer-Chicz. WG esmowaa a podsawie w. Wieera i z użciem meod bezpośrediej F pojedcza realizacja szumu gaussowsiego rms, próbe WG wzaczoa jao wadra modułu F. Warośćśredia o.. Zacz poziom fluuacji wariacja. WG wzaczoa jao F fucji auoorelacji wzaczoej dla opóźień -. Warośćśredia o.. Zaczie iższ poziom fluuacji wariacji. 38

39 7-- Widmowa gęsość moc wzajemej i fucja oherecji Widmowa gęsość moc wzajemej i fucja oherecji Widmowa gęsość moc wzajemej: i fucja orelacji wzajemej G f ep jπf f G ep jπf df d Fucja oherecji <γ <: G f γ f G f G f Fucja oherecji oreśla w dziedziie częsoliwości podobieńswo międz przebiegami losowmi: γ ozacza, że proces e są ieoheree iesorelowae; γ ozacza, że są całowicie oheree sorelowae. 39

40 7-- Fucja oherecji przład I - log WG X G f γ f G f G f fucja oherecji X i Y - - log WG Y Fucja oherecji przład II G f γ f G f G f Aaliza oherecji surczowego ciśieia ęiczego i ierwału u młodej osob w spoczu. Wsoa warość oherecji orelacja! wsępuje dla częsoliwości ooło.3hz oraz.hz. Jes o efe obecości osclacji wsępującch w ciągu ierwałów związach z oddechem oraz związów ciśieieczęsość prac serca. 4

41 7-- 4 Wielości charaerzujące proces dla dach dsrech ergodcz szereg czasow liczba próbe procesu, masmale opóźieie orelacji fucja orelacji wzajemej,,,..., prz - f. auoorelacji esmaor obciążo esmaor ieobciążo wariacja warość średia m m s ] Wielości charaerzujące proces dla dach dsrech ergodcz szereg czasow liczba próbe procesu, masmale opóźieie orelacji współczi orelacji wzajemej prz - wsp. auoorelacji,,... widmowa gęsość moc, m,,,... ep m m j m G π m m m m ] ] ] ] ρ ep / s s j f f X G π

42 7-- Badaie właściwości ssemów sacjoarch liiowch - rasmisja procesów losowch h d Y f H f X f H f H f ep jϕ f Związe międz widmową gęsością moc procesu wejściowego i wjściowego G f G f H f Związe międz wzajemą widmową gęsością moc procesu wejściowego i wjściowego i procesu wejściowego G f G f H f oża oreślić: * G f G f * H f G f Badaie właściwości ssemów sacjoarch liiowch - rasmisja procesów losowch Y f H f X f G f G f H f G f G f H f * G f G f * H f G f Zależości e pozwalają oreślić paramer ssemu: G H f G f f G H f G f ] f / G ep jϕ f G f f Ia możliwość zbadaia właściwości ssemu aaliza ilorazu rasforma sgału wejściowego i wjściowego Proces losow > uśrediaie widm!! H f Y f / X f H f ep jϕ f 4

43 7-- Ocea właściwości esmaorów WG G f G f H f Jeśli Gfcos. szum biał o Gfcos. Hf. Widmowa gęsość moc sgału wjściowego ssemu uładu pobudzoego szumem białm jes liiowo proporcjoala do wadrau modułu odpowiedzi częsoliwościowej ego uładu. Aaliza zbioru Gf uzsach daą meodą esmacji dla zbioru realizacji szumu pozwala oszacować obciążeie i wariację zasosowaego esmaora WG w zasosowaiu do sgału o WG oreśloej przez Hf. Przebieg Hf saowi odiesieie prz wzaczaiu wariacji i obciążeia esmaora. Warość Hf w paśmie przeoszeia może zosać zormalizowaa p. do. Porówaie właściwości wbrach esmaorów WG Sgał - szeroopasmow szum olorow, uśredień P DF X fs π ep j / f s P B m m m m,,..., - s PA m p a ep-jπm / m πm mep j m,,..., -, /fs 43