Niezawodność elementu nienaprawialnego. nienaprawialnego. 1. Model niezawodnościowy elementu. 1. Model niezawodnościowy elementu

Transkrypt

1 Niezawodność elemenu nienarawialnego. Model niezawodnościowy elemenu nienarawialnego. Niekóre rozkłady zmiennych losowych sosowane w oisie niezawodności elemenów 3. Funkcyjne i liczbowe charakerysyki niezawodności elemenu. Model niezawodnościowy elemenu nienarawialnego rozoczęcie działania czas życia zmienna losowa e uszkodzenie czas Elemen rozoczyna racę w chwili i o ewnym, z góry nie określonym czasie, zwanym czasem życia (life ime) ulega uszkodzeniu. Co się dzieje z elemenem o wysąieniu uszkodzenia nie jes dalej rozważane. Jeśli czas życia elemenu orakujemy jako ciągłą, dodanią zmienną losową, o określimy w en sosób model niezawodnościowy elemenu nienarawialnego. dr inż. Jacek Jarnicki Można osawić nasęujące yania:. Jakich rozkładów zmiennych losowych użyć do modelowania czasu życia elemenu?. Czy nie jes wygodniej rzedsawić losowy charaker czasu życia rzy omocy rochę innych funkcji niż dysrybuana F(), czy gęsość f()? 3. Czy w szczególnym rzyadku do oisu niezawodności rzeba koniecznie używać funkcji, być może wysarczą jedynie charakerysyki liczbowe? 4. Jak rzerowadzić ekserymen ozwalający zebrać informacje o losowości czasu życia dla konkrenego elemenu? 5. Jak ransformować wyniki ekserymenu na charakerysyki niezawodności (funkcyjne lub liczbowe)?. Rozkłady zmiennych losowych sosowane w oisie niezawodności elemenu Rozkład normalny (Gaussa) gęsość rozkładu: f ( ) μ i σ są aramerami rozkładu dysrybuana rozkładu: F( ) ( µ ) ex πσ σ ( τ µ ) ex dτ πσ σ dr inż. Jacek Jarnicki 3 dr inż. Jacek Jarnicki 4

2 gęsość rozkładu normalnego f() dla μ i σ Rozkład jednosajny gęsość rozkładu: f ( ) a i b są aramerami rozkładu dysrybuana rozkładu: F( ) b a a b a a < < b a, a > b b a < b dysrybuana rozkładu normalnego F() dla μ i σ dr inż. Jacek Jarnicki 5 dr inż. Jacek Jarnicki 6 Rozkład wykładniczy (eksonencjalny( eksonencjalny) gęsość rozkładu: f ( ) λ e λ > gęsość rozkładu jednosajnego f() dla a i b λ > jes aramerem rozkładu dysrybuana rozkładu: F( ) e λ > dysrybuana rozkładu jednosajnego F() dla a i b dr inż. Jacek Jarnicki 7 dr inż. Jacek Jarnicki 8

3 gęsość rozkładu wykładniczego f() dla λ Rozkład Weibulla gęsość rozkładu: f ( ) λ λ > i > są aramerami rozkładu e λ > dysrybuana rozkładu: F( ) e λ > dysrybuana rozkładu wykładniczego F() dla λ dr inż. Jacek Jarnicki 9 Gdy rozkład Weibulla jes rozkładem wykładniczym. dr inż. Jacek Jarnicki Rozkład gamma gęsość rozkładu Weibulla f() dla λ i dysrybuana rozkładu Weibulla F() dla λ i dr inż. Jacek Jarnicki gęsość rozkładu: f ( ) λ Γ ( ) λ > λ > i > są aramerami rozkładu a Γ() funkcją gamma Eulera Γ ( ) x e x dx dr inż. Jacek Jarnicki e > Powyższa całka nie osiada funkcji ierwonej. Warości funkcji gamma można odczyać z odowiednich ablic. 3

4 Paramery rozkładów rawdoodobieńswa Jak scharakeryzować ewne cechy rozkładu zmiennej losowej rzy omocy jednej lub kilku liczb? warość średnia (warość oczekiwana, mean) gęsość rozkładu gamma f() dla λ i 3 dysrybuana rozkładu gamma F() dla λ i 3 dr inż. Jacek Jarnicki 3 E( ) µ f ( )d wariancja (miara rozroszenia rozkładu wokół warości średniej, variance) D( ) E{( µ ) } σ ( µ ) σ - odchylenie sandardowe f ( )d dr inż. Jacek Jarnicki 4 Przykład : Dla rozkładu normalnego: Warość średnia ex πσ ( µ ) E( ) f ( )d σ d µ μ i σ Wariancja ( µ ) D( ) ( µ ) f ( )d ( µ ) ex d σ πσ σ dr inż. Jacek Jarnicki 5 μ i σ,5 dr inż. Jacek Jarnicki 6 4

5 wsółczynnik skośności (wsółczynnik asymerii, skewness) Rozkład mean variance skewness kurosis 3 E{( µ ) } S( ) ( ) 3 3 µ σ σ wsółczynnik zakrzywienia (kurosis) 3 f ( )d jednosajny [, ] jednosajny [, ] wykładniczy l wykładniczy l E{( µ ) } K( ) ( ) 4 4 µ σ σ 4 f ( )d normalny m, s normalny m, s Weibulla l, k Weibulla l, k dr inż. Jacek Jarnicki 7 dr inż. Jacek Jarnicki 8 3. Funkcyjne i liczbowe charakerysyki niezawodności elemenu Założenie: Modelem elemenu jes dodania ciągła zmienna losowa o znanej gęsości f() lub dysrybuancie F(). Funkcja niezawodności (Reliabiliy( funcion) rozoczęcie działania chwila czasu uszkodzenie Jakie jes rawdoodobieńswo, że elemen rzeżyje chwilę? czas dr inż. Jacek Jarnicki 9 Odowiedź na osawione yanie srowadza się do wyliczenia rawdoodobieńswa zdarzenia czyli: P ( ) Prawdoodobieńswo o, wyrażone jako funkcją czasu, nosi nazwę funkcji niezawodności i jes zaisywana jako: R ( ) P( ) Jeśli znana jes dysrybuana rozkładu zmiennej losowej czyli funkcja: ( ) P( ) F < o z własności określającej rawdoodobieńswo zdarzenia doełniającego wynika, że R ( ) P( ) P( < ) F( ) dr inż. Jacek Jarnicki 5

6 Funkcja inensywności uszkodzeń (hazard funcion, moraliy funcion i inne) rozoczęcie działania chwila czasu uszkodzenie rzedział czasu o długości Δ Funkcją inensywności uszkodzeń nazywamy granicę (jeśli isnieje) w osaci: λ( ) lim P( [, + ] > ) czas dr inż. Jacek Jarnicki Wysęujące w definicji inensywności uszkodzeń rawdoodobieńswo ( [,+ ] ) P > jes rawdoodobieńswem warunkowym zdarzenia, że uszkodzenie nasąi na odcinku czasu o długości Δ,, od warunkiem, że do chwili uszkodzenie nie nasąiło. Wykonując ewne rachunki, można okazać, że a akże, że f() λ() F( ) R ( ) λ() i R( ) ex λ( u) du R() dr inż. Jacek Jarnicki W rakyce funkcja inensywności uszkodzeń dla wielu obieków echnicznych ma rzebieg okazany na rysunku λ() Szczególna rola rozkładu wykładniczego Rozkład wykładniczy oisany jes rzy omocy funkcji dysrybuany F() e λ > funkcja niezawodności ma więc osać: docieranie normalna eksloaacja sarzenie Krzywa wannowa (Bahub( curve) R() e λ > dr inż. Jacek Jarnicki 3 dr inż. Jacek Jarnicki 4 6

7 Do rozwiązanie jes nasęujący roblem. Elemen, kórego czas życia oisany jes zmienną losową o rozkładzie wykładniczym rzeracował jednosek czasu. Jakie jes rawdoodobieńswo, że elemen będzie jeszcze działał rzez czas? i dalej P( + τ ) R( + τ ) P( τ ) P( ) R( ) ex( λ( + τ )) P( τ ) ex( λτ ) R( τ ) ex( λ ) Poszukiwane rawdoodobieńswo zależy jedynie od długości rzedziału τ a nie jego ołożenia na osi czasu. dr inż. Jacek Jarnicki 5 Jak wygląda funkcja inensywności uszkodzeń λ() dla rozkładu wykładniczego? ( ) R λ( ) R( ) [ ex( λ )] λ ex( λ ) λ ( ) λ ex( λ ) ex( λ ) Funkcja inensywności uszkodzeń λ() dla rozkładu wykładniczego jes funkcją sałą łą. Rozkład wykładniczy ełni w eorii niezawodności ważną rolę, bowiem ozwala modelować niezawodność elemenu w okresie normalnej eksloaacji (sała krzywa wannowa ). dr inż. Jacek Jarnicki 6 Średni czas życia (mean( life ime) Nie zawsze jes orzebne wyrażanie niezawodności rzy omocy funkcji. Czasem wysarczy bardziej zagregowany ois w osaci liczby. Średni czas życia elemenu FF określa się jako warość średnią (oczekiwaną) zmiennej losowej,, czyli: FF można ławo okazać, że E( ) FF R( )d f ( )d dr inż. Jacek Jarnicki 7 Przykład : Dla rozkładu wykładniczego: R( )d ex( λ )d ex( λ ) λ FF Dla ozosałych omówionych wcześniej rozkładów średnie czasy życia oisane są wzorami: Rozkład normalny z aramerami FF µ μ, σ λ dr inż. Jacek Jarnicki 8 7

8 Rozkład jednosajny na odcinku [a, b] b FF + ( a b) Rozkład Welbulla z aramerami λ,, FF Γ + λ Rozkład gamma z aramerami λ,, FF λ dr inż. Jacek Jarnicki 9 8