Zmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Transkrypt

1

2 Zmienna losowa ozszerzenie znaczenia funcji zmiennej rzeczwistej na przpadi, ied zmienna niezależna nie jest liczbą rzeczwistą: odległość to funcja par puntów, obwód trójąta, to funcja oreślona na zbiorze trójątów, współcznni dwumianow, to funcja oreślona dla par liczbowch (n,), Definicja: Zmienną losową X nazwam funcję oreśloną na przestrzeni zdarzeń elementarnch Ω, czli przporządowanie ażdemu zdarzeniu elementarnemu ω Ω pewnej liczb rzeczwistej X(ω). rzład: liczba orłów w rzucie monetą, suma ocze wrzuconch na trzech ostach do gr, liczba asów otrzmanch do ręi prz grze w brdża, położenie puntu na odcinu [,], masa ule łożsowch produowanch w fabrce, energia uładu fizcznego. Wład 3-3

3 Dsretna zmienna losowa Z ażdą wartością zmiennej losowej wiążem liczbę oreślającą częstość jej wstępowania. rzład: Totolote F n n n 49 Uzsaną w ten sposób zależność p-twa od zmiennej losowej nazwam dsretnm rozładem p-twa oreślonm dla dsretnej zmiennej losowej. spełniają warune unormowania: 49 n n 87 (i K m) i m Wnii totolota (37 losowań 6 z 49) Wład 3-33

4 Ciągła a zmienna losowa N n F n F f f n n n f n, f ( ) n + f ( )d Wład 3-43

5 Ciągła a zmienna losowa f ( ) - funcja (rozład) gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej Uwaga: dla ażdego, funcja gęstości p-twa jest nieujemna: f ( ) funcja gęstości p-twa jest unormowana, tzn. wmiar funcje gęstości p-twa jest odwrotnością wmiaru zmiennej losowej, tórą opisuje. -two, że zmienna losowa X przjmuje wartości z przedziału (a, b): Uwaga: ( X a) f ( ) d a a ( a X b) f ( )d rzład: Znajdź p-two, że zmienna losowa o gęstości p-twa danej przez: ( ) ( ;, ) ep µ N µ σ σ πσ przjmuje wartości z przedziału (-σ, σ). b a - f ( )d Wład 3-53

6 Dstrbuanta zmiennej losowej Definicja: Dstrbuantą rozładu dsretnej zmiennej losowej K nazwam wielość oreślającą łączne p-two wszstich możliwch wartości tej zmiennej, nie więszch od pewnej zadanej wartości : F( ) ( K ) i Definicja: Dstrbuantą rozładu ciągłej zmiennej losowej X nazwam:,5,4,3,, 3 4 F( ) ( X ) f ( ' ) d ',,8,6,4, F( ) i Wład 3-63

7 Dstrbuanta zmiennej losowej Znając dstrbuantę jesteśm w stanie oreślić rozład p-twa dsretnej zmiennej losowej: ( ) ( ) F F d ( ) F( ) lub znaleźć funcję gęstości p-twa ciągłej zmiennej losowej: f d Uwaga: Dstrbuanta jest niemalejącą, co najmniej prawostronnie ciągłą funcją przjmującą wartości z przedziału [,]. -two znalezienia zmiennej losowej w przedziale: b b a ( a X b) f ( ) d f ( ) d - f ( ) d F( b) - F( a) a ( < ) - ( ) - ( ) K F F + Uwaga: Kwantl rzędu.5 nazwam medianą rozładu. Definicja: Niech X będzie ciągłą zmienną losową, oraz p liczbą z przedziału [, ]. p-tm wantlem (p-tm percentlem) rozładu zmiennej X nazwam najmniejszą liczbę q p taą, że: F ( p) ( X p) q q p q F ( p) p Wład 3-73

8 Zmienna losowa dsretna - przład rzład: Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafor, z tórch ażd (wobec znacznej odległości niezależnie od innch) zezwala na przejazd z p-twem.8. Niech K oznacza liczbę semaforów zezwalającch na przejazd i poprzedzającch pierwsze zatrzmanie lub stację docelową. rozład p-twa dsretnej zmiennej losowej K dstrbuanta rozładu zmiennej losowej K, F()(K<) F() (-,), )., ).36 ( ) ( ) ( - ), 3).488 3, 4).594 F - F. 8 ( > ) F( + ) -F( ) ( ) ( ) ( ) F + - F ( ) ( ) 4, ) ( 3) F 3 -F ,5,4,3,,,,8,6,4, 3 4 F( ) Wład 3-83

9 Zmienna losowa ciągła - przład rzład: Strzelam do tarcz T o promieniu. Załadam, że pocis na pewno trafia w tarczę, a p-two trafienia w dan obszar jest proporcjonalne do jego powierzchni. Niech zmienna losowa X oznacza odległość puntu trafienia od środa tarcz. Znajdź funcję gęstości p-twa oraz jej dstrbuantę. ( ) ( ), ω Ω X X ω +, X Czasem prościej jest znaleźć dstrbuantę, a funcję gęstości p-twa jao jej pochodną: FX dla t< t t ( t) ( X t) π dla t π dla t> Funcja gęstości p-twa: t < t > F ( ) ( ) X t f t t dt t F(t) Wład 3-93 t

10 Zmienna losowa ciągła - przład rzład: Zmienna losowa X opisana jest dstrbuantą: π F( ) arctg + < < π Znajdź funcję gęstości p-twa. f d d ( ) F( ) arctg d d π + π π + Ile wnosi p-two zdarzenia opisanego waruniem X <? π π π π ( < ) ( - < < ) F( ) - F( -) π 4 π 4 ( < < ) f ( )d d ( arctg ) π + π π π π 4 4 Wład 3-3

11 Dwuwmiarowa zmienna losowa rzład: ewną zbiorowość badam ze względu na dwie cech: ludzi ze względu na ciężar i wzrost, współrzędne (,) trafień strzałą w tarczę, w rzucie dwoma ostami: sumę ocze i masmalną liczbę ocze, Definicja: Dwuwmiarową (D) zmienna losową nazwam parę zmiennch losowch jednowmiarowch oreślonch na tej samej przestrzeni zdarzeńω. oprzez analogię do zmiennch losowch jednowmiarowch wprowadzam pojęcia rozładu p-twa dwuwmiarowej dsretnej zmiennej losowej m oraz funcji gęstości p-twa dwuwmiarowej ciągłej zmiennej losowej f (,). Dowolne p-twa wliczam ze wzorów: ( m m ) K, M ( ) ( ) X, Y f, d d m m m m Wład 3-3

12 ozład brzegowe d A B d -two łącznego zajścia zdarzeń A i B: f (, ) dd ozład brzegowe to rzut łącznej funcji gęstości p-twa na poszczególne osie (zmienne). Definicja: ozładami brzegowmi dwuwmiarowej zmiennej losowej nazwam:, m, m,, m m f ( ) f (, )d f ( ) f (, )d Wład 3-3

13 Dstrbuanta D zmiennej losowej Definicja: Dstrbuantą dwuwmiarowej zmiennej losowej nazwam funcję: ( ) ( ) ( ) F, X, Y, Dstrbuant rozładów brzegowch zmiennej dsretnej: ( ) ( ) ( ) ( ) F X F Y,, m i zmiennej ciągłej: ( ) ( ) ( ) ( ) F X f, d d f d - - ( ) ( ) ( ) ( ) F Y f, d d f d - - omiędz dstrbuantą rozładu dwuwmiarowego i dstrbuantami rozładów brzegowch zachodzą związi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F X lim F, F Y lim F, m Wład 3-33

14 ozład warunowe Definicja: ozład warunowe D zmiennej losowej: m ( K m) ( M ),, m, m, ( ) ( ) ( ) f, f, g( ) h( ) f f ( ) Tw. Baes a dla zmiennch ciągłch: ( ) g ( ) ( ) f ( ) h f Analog tw. o p-twie całowitm dla zmiennch ciągłch: ( ) ( ) ( ) f g f d - ( ) ( ) ( ) f h f d - Wład 3-43

15 ozład brzegowe zm. dsretna rzład: Dwie niezależne dsretne zmienne losowe I oraz J mają rozład jednostajn na zbiorze liczb całowitch,,, 9. Konstruujem iloczn tch zmiennch i zapisujem w postaci K+M. Znajdź rozład zmiennch losowch M i N. K M n,m n, ozład dwuwmiarow i rozład brzegowe: n 9 8, m, m, n, m, m n, m 8 8 m 8 ozład warunowe: 4 3 K 7 8 ( K m 5) ( M 6), 5 6, m, 5 6, M Wład 3-53

16 ozład brzegowe zm. dsretna rzład: (cd.) Dstrbuantę dwuwmiarowej dsretnej zmiennej losowej (K, M) wznaczam z tabeli przedstawiającej rozład p-twa F(, )(X ; Y ): K (-,),),),3) 3,4) 4,5) 5,6) 6,7) 7,8) 8, ) M (-,),) /8 4/8 6/8 8/8 8/8 8/8 8/8 8/8,) /8 3/8 7/8 9/8 /8 /8 /8 /8 /8,3) 3/8 9/8 3/8 7/8 /8 /8 /8 3/8 4/8 Znając dstrbuantę obliczam p-two: 3,4) 5/8 /8 5/8 9/8 3/8 3/8 5/8 7/8 8/8 4,5) 8/8 6/8 4/8 8/8 3/8 34/8 37/8 39/8 4/8 5,6) /8 /8 9/8 35/8 4/8 43/8 46/8 48/8 49/8 6,7) 4/8 7/8 36/8 45/8 5/8 55/8 58/8 6/8 6/8 7,8) 6/8 9/8 4/8 49/8 55/8 59/8 6/8 64/8 65/8 8,9) /8 37/8 5/8 59/8 67/8 7/8 74/8 76/8 77/8 ( < m < m ) ( m ) ( m ) ( m ) + ( m ) K ; M F, F, F, F, 9, ) 3/8 4/8 53/8 6/8 7/8 75/8 78/8 8/8 Wład 3-63

17 Dstrbuanta D zmienna ciągła rzład: Znaleźć dstrbuantę dwuwmiarowej zmiennej losowej (X,Y) o funcji gęstości f (,) 6/5 ( + ) oreślonej na wadracie,. 6 F(, ) (X ; Y ) f (, ) dd ( + ) dd 5 < < 6 6 ( ) dd < < ( ) dd + + < ( ) dd < ( + ) dd 5 Uwaga: Znając dstrbuantę można wznaczć f (, ) łączną funcję gęstości p-twa: ( ) F, Wład 3-73

18 ozład brzegowe i warunowe rzład: ozważm funcję gęstości p-twa f (,) - - obszarze +. Normalizacja: A π 4 4 A ( )d d A d ϕ ( r ) r d r π A + π ozład brzegow zmiennej X: 8 f( ) ( )d ( ) 4 π 4 3 π ozład warunow zmiennej Y: 3 oreśloną na ( ) h (, ) f 3 f ( ) ( ) / 4 3 Wład 3-83