Dodatek 10. Kwantowa teoria przewodnictwa I

Transkrypt

1 Dodate 10 Kwatowa teoria przewodictwa I Teoria lascza iała astępujące aaet: (1) zierzoe wartości średiej drogi swobodej oazał się o ila rzędów wielości więsze iż oczeiwae () teoria ie dawała poprawc zależości teperaturowc () ie przewidwała istieia półprzewodiów i izolatorów Obecie oówi róto (obszerie - patrz wład) odel eletroów swobodc w zastosowaiu do teorii przewodictwa. Cwilowo ograicz się do teorii przewodictwa etali. W pierwsz przbliżeiu eletro w etalu oża tratować jao cząstę poruszającą się swobodie poiędz jego brzegai. Przpoia to stuacje cząsti w pudle potecjału, tóra bła przez as już rozwiązwaa. Oazuje się, że już tai prost odel daje iezłe wii. przpade jedowiarow (1D) wie, że eletro są ferioai spełiająci rozład eriego Diraca prz cz gdzie 1 f ( ), (1) f T e + 1 ( ), () g liczba cząste o eergii g liczba dostępc staów o eergii i (gęstość staów) N całowita liczba cząste zastosuje fucję rozładu do eletroów uwięzioc w pudle potecjału tai ja rozpatrwae w dodatu D x 1

2 załada, że szeroość barier potecjału wosi, stąd () dlatego pęd i eergia są swatowae zgodie z forułai p p (4) fucje falowe uszą bć uorowae ta, ab dla ażdego stau eergetczego prawdopodobieństwo zalezieia eletrou w pudle bło rówe jedości, stąd (sprawdzić) 1 / πx ψ ( x) si (5) załada teraz, że w pudle uieszcza N eletroów, ażd pozio eergetcz ozaczo liczbą watową oża obsadzić przez eletro, jede ze spie u górze, drugi u dołowi jeżeli będzie obsadzali N eletroai począwsz od ajiższego 1, to ajwższ pozio spełi zależość N (6) eergię ajwższego obsadzoego poziou azwa eergią eriego, wstawiając do (4) otrzuje N (7) 4 otrzae zależości są dobr odele jedowiarowego uładu przewodzącego w etalac N, liczba cząste o eergii i g liczba dostępc staów o eergii i (gęstość staów) są bardzo dużi liczbai i w odelac teoretczc często zaiast su użwa się różicze i całe p. gęstość staów g g() (rozuiaą jao liczbę staów eletroowc w jedostow przedziale eergii) oża otrzać różiczując (4)

3 d d (8) stąd (paiętając o spiie eletrou) a widać, że gęstość staów aleje z eergią d g ( ) (9) d prz tai podejściu rówież fucje rozładu (1) ależ tratować jao ciągłą oczwiście jest spełioa zależość przpade (D) / 1 f ( ) (10) 0 T e f ( ) g ( ) d N (11) prawdziw etal jest wiarow, dlatego trzeba rozwiązać wiarowego rówaia Scroddigera dla cząste w pudle D, jeżeli to zrobi zaiast (5) otrza (rozwiąż, patrz wład, róże podręczii, p. C. Kittel, Wstęp do fizi ciała stałego, itp.) założ, że próba etalu a ształt sześciau o bou, w trzec wiarac wetor falow,, ) i fucja falowa a postać ( x z 1 / 1 i r ψ ( r) e, (1) fucja falowa jest już zoralizowaa w te sposób, że spełia warue brzegow () w ażd wiarze z osoba, tz. stąd x x x x (1) π π π,, z z (14) x po podstawieiu (1) do D rówaia Scrodigera

4 ψ ( r ) ψ ( r ) (15) otrzuje się forułę a eergie włase, (16) gdzie sładowe spełiają warui brzegowe (14), powższe rówaie w przestrzei pędów jest rówaie uli ( x + + ) (17) jeżeli będzie obsadzać pozio eergetcze N eletroai, podobie ja to robiliś a etapie (7) otrza eergię eriego (18) w przestrzei pędów wewątrz uli o objętości dozwoloa liczba staów wosi 4 π (19) π π gdzie jest eleete objętości w przestrzei jeżeli, podobie ja a etapie (6) założ, że, (0) N, (1) otrza prost wzór ( π ) 1 / () gdzie / N jest ocetracją (uerczą) gazu eletroowego, stąd zgodie z (17) ( π ) / () 4

5 fucja gęstości staów (9) jest rówa (patrz wład) / 1 / (4) π g ( ) widać, że zupełie iaczej ja w przpadu 1D, gęstość staów rośie z eergią Powższe foruł są użtecze w wielu zagadieiac fizi ciała stałego. Ja to worzstać do opisu przewodictwa etali? (1) teoria watowa rzuca owe światło a średi czas relasacji τ (patrz wład) siła działająca a eletro ze stro pola eletrczego -e, powoduje zia pędu eletroów, a zate ic liczb falowc δp δt δ (5) ula ie rozpędza się do iesończoości, bo zacodzą zderzeia eletroów, w staie ustalo czas rozpędzaia wosi średio δ t τ (6) ozacza to przesuięcie w przestrzei pędów uli eriego o wielość δ w ieruu przepłwu prądu, przesuięcie to adaje dodatową prędość δv τ e τ (7) z dodatową prędością δv związa jest trasport ładuu j q δv (8) z dwu powższc wrażeń otrzuje e τ j (9) a więc forułę idetczą ja lascza, stąd dalsze foruł e τ σ i (0) e τ ρ czas relasacji jest paraetre, tór oża wzaczć głębiej studiując ruc eletroów w sieci rstaliczej (potecjał periodcz) 5

6 () średia droga swoboda eletrou w obrazie watow jest rówa l τv (1) gdzie v jest prędością eletroów a powierzci eriego (dla pędu eriego), obliczoą zgodie z oczwist wrażeie v () do tórego podstawia (0), stąd v ( π ) 1 / () () obowiązuje rówież foruła lascza j e µ (4) tle, że rucliwość a już i ses e v µ τ [ /s] (5) Adrzej Kuła, CII p. 05/tel /radiol1@wp.pl 6