1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu

Transkrypt

1 Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub jego paramery.. Rozkłady zmieych losowych Sposoby opisu rozkładu zmieej losowej: fukcja gęsości rozkładu f( dysrybuaa rozkładu F( fukcja iezawodości R( fukcja iesywości uszkodzeń λ( Wybrae rozkłady zmieych losowych: rozkład wykładiczy f( λ e λ F( e λ R( e λ λ( λ Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

2 Jak wyglądają fukcje f( i F( dla rozkładu wykładiczego? f( F( Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

3 Przykład Eleme, kórego czas życia opisay jes zmieą losową o rozkładzie wykładiczym przepracował τ jedosek czasu. Jakie jes prawdopodobieńswo, że eleme będzie jeszcze działał przez czas τ? P( τ τ P( τ + τ P( τ R( τ + τ R( τ exp( λ( τ + τ P( τ τ exp( λτ R( τ exp( λτ Własość a zwaa jes brakiem pamięci. rozkład ormaly (773 r. f( ( µ exp πσ σ F( ( τ µ exp πσ σ dτ ie rozkłady Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

4 Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii Paramery pozycyje rozkładu zmieej losowej. Jak opisać (oczywiście w przybliżeiu rozkład przy pomocy jedej, lub kilku liczb? warość średia ( warość oczekiwaa, średi czas życia, mea d f T E ( ( µ wariacja ( miara rozproszeia rozkładu wokół warości średiej, variace d f T E T D ( ( } {( ( µ σ µ σ - odchyleie sadardowe współczyik skośości (współczyik asymerii, skewess d f T E T S ( ( } {( ( µ σ σ µ współczyik zakrzywieia ( kurosis d f T E T K ( ( } {( ( µ σ σ µ

5 Przykłady opisu iekórych rozkładów przy pomocy paramerów: Rozkład mea variace skewess kurosis jedosajy [,] jedosajy [,] wykładiczy λ wykładiczy λ ormaly µ, σ ormaly µ, σ Weibulla λ, k Weibulla λ, k Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

6 Opis rozkładu zmieej losowej przy pomocy kwayli. p p F( p - poziom ( liczba z przedziału [, ] p - kwayl a poziomie p Kwayl p jes rozwiązaiem rówaia F ( p Rozkład zmieej losowej moża w przybliżeiu opisać podając pewą liczbę kwayli. Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

7 Szczególa rola fukcji iesywości uszkodzeń λ( λ( lim P > ( T [, + ] T λ( f ( F(.5 F(.5 F( f( f( λ( a 4 λ( 3 4 b Przebiegi fukcji dysrybuay F(, gęsości f( i fukcji iesywości uszkodzeń λ( dla przykładowych rozkładów prawdopodobieńswa. (a - rozkład Weibulla, b - rozkład logarymoormaly Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

8 .. Badaia iezawodościowe Jaki jes rozkład zmieej losowej opisującej czas życia elemeu? Odpowiedź a pyaie wymaga zwykle przeprowadzeia eksperymeu. Pojęcia podsawowe i sosowaa ermiologia: populacja - zbiór wszyskich elemeów daego rodzaju próba losowa - wybrae w pewie sposób iekóre elemey populacji opisae przez wekor gdzie T T,T T - wekor losowy,...,t i,..., T T i - zmiea losowa (czas życia i-ego elemeu badaie sposób uzyskaia wiedzy o elemeach z próby losowej, wyikiem badaia jes,,..., i,..., i - realizacje zmieych losowych T i saysyka fukcja wekora losowego T S(T S(T,T,...,T,...,T i Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

9 Przeprowadzaie badań iezawodościowych: pobraie próby losowej oczekiwaie i oowaie chwil uszkodzeń kolejych elemeów, z jedoczesym sprawdzaiem czy ie jes spełioe kryerium zakończeia badaia Kryeria zakończeia badaia: uszkodzeie wszyskich elemeów wchodzących w skład próby losowej (badaie pełe uszkodzeie zadaej liczby k (k< elemeów przekroczeie dopuszczalego czasu badaia T uszkodzeie zadaej liczby k elemeów, lub przekroczeie dopuszczalego czasu badaia T Wyikiem badaia iezawodościowego jes zawsze zbiór daych,,..., i,..., k Trudości z uzyskaiem zadowalająco liczych zbiorów daych: przyspieszoe badaia iezawodości Dalej rozważae będzie jedyie badaie pełe Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

10 . Meody reprezeacji wyików badań.. Tabela umer... i... czas i.. Hisogram Budowa hisogramu: wyzaczeie zakresu rysowaia podział zakresu rysowaia a rówe podprzedziały wyzaczeie dla każdego podprzedziału liczby ależących do iego daych (lub odpowiedich częsości arysowaie odpowiediego wykresu słupkowego Przykład Z rozkładu ormalego o paramerach µ, σ wylosowao liczb. Jak arysować hisogram? Jaki jes wpływ liczby podprzedziałów a wygląd hisogramu? Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

11 , m , m , m Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

12 .3. Gęsość empirycza wysokość słupka hisogramu gęsości empiryczej jes wyzaczaa przez podzieleie częsości dla daego przedziału, przez jego długość.4. Dysrybuaa empirycza Fukcja określoa asępująco: F ( k / < > k k+ Przykład 3 Z rozkładu ormalego o paramerach µ, σ wylosowao, i 3 liczb. Jak wygląda dysrybuaa empirycza dla poszczególych przypadków?.8 N Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

13 .8 N N Twierdzeie (Gliwieki Niech D sup Fˆ ( F( R będzie odległością dysrybuay empiryczej od dysrybuay F(. Jeżeli,,..., i,...,, pochodzą z rozkładu o dysrybuacie F( o P(lim D Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

14 3. Esymacja rozkładu zmieej losowej 3.. Sformułowaie zadaia esymacji Niech TT,T,...,T wekorem opisującym próbę losową pobraą z jedego z rozkładów rodziy parameryczej { F θ : θ Θ} przy czym warość parameru θ ideyfikującego rozkład ie jes zaa. Jak wykorzysać próbę losową dla wyciągięcia wiosków doyczących iezaego parameru θ? Sposób posępowaia: Skosruować saysykę θˆ(t θˆ(t,t,...,t,...,t zwaa esymaorem pukowym, w aki sposób aby jej warość była bliska prawdziwej warości parameru θ. i W jaki sposób uzyskać fukcję (saysykę określającą esymaor? Jak oceić jakość esymaora pukowego? Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

15 3.. Ocea esymaorów i ich własości Jakość esymaora moża próbować oceiać przy pomocy wyrażeia (opisującego błąd ζ(ˆ θ E ( θˆ θ Po kilku przekszałceiach uzyskuje się. ζ(ˆ θ E ( θˆ ( θˆ + [ E( θˆ θ] Var( θˆ E + b ( θˆ gdzie Var( θˆ - wariacja esymaora b ( θˆ E( θˆ θ - obciążeie esymaora Aby błąd ξ był mały wariacja powia być możliwie mała i obciążeie esymaora wio wyosić. Defiicja Esymaory o obciążeiu rówym oszą azwę esymaorów ieobciążoych. Defiicja Jeżeli P ( θˆ θ > ε o esymaor azywamy zgodym. Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

16 3.3. Obliczaie esymaorów meodą ajwiększej wiarogodości Defiicja 3 R. A. Fisher Jeżeli zmiea losowa ma gęsość f(θ, i jeśli T T,T,...,T i,..., T jes próbą z rozkładu ej zmieej, o łącza gęsość próby rozparywaa jako fukcja parameru θ a posać L ( θ;,,..., i,..., f ( θ, i i i osi azwę fukcji wiarogodości. Twierdzeie Niech T T,T,...,T i,..., T będzie próbą z rozkładu o gęsości f(θ, oraz θ prawdziwą warością poszukiwaego parameru θ. Wówczas dla każdej usaloej warości parameru zachodzi θ θ P [ f ( θ,t... f ( θ,t > f ( θ,t... f( θ,t ] gdy Wiosek Jako warość parameru θ ależy przyjąć warość θˆ, kóra maksymalizuje fukcję wiarogodości. Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii

17 Przykład 3 T T,T,...,T i,..., T Niech będzie próbą z rozkładu ormalego o paramerach θ [ µ, σ ]. Przy pomocy meody ajwiększej wiarogodości ależy wyzaczyć θˆ. Fukcja wiarogodości wygląda asępująco (, σ ;,..., L µ exp ( σ i ( πσ i µ Po logarymowaiu orzymujemy l (, σ ;,..., ( µ lσ l π L µ σ i i Obliczeie pochodych prowadzi do układu rówań, L ( i µ µ σ i L σ 4σ 4 i ( i µ σ kórego rozwiązaie ma posać µ ˆ i i σˆ i ( i Moża pokazać, że w wyzaczoym pukcie, fukcja wiarogodości osiąga maksimum. Wydział Elekroiki Poliechiki Wrocławskiej, Niezawodość i eksploaacja sysemów cyfrowych, rokiii