PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Transkrypt

1 PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek

2 ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów borelowskich to klasa podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej, które można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych tej przestrzeni. Rozkład prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo przyjęcia każdej możliwej wartości przez zmienną losową (jeśli jest ona dyskretna), lub jej prawdopodobieństwo znalezienia się w konkretnym przedziale (jeśli jest ciągła).

3 DYSTRYBUANTA Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału liczb rzeczywistych, wówczas rozkład prawdopodobieństwa możemy jednoznacznie opisać przez dystrybuantę. Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze liczb rzeczywistych. Wówczas dystrybuantą nazywamy funkcję F:R R daną wzorem: F(t)=P((- ;t])

4 DYSKRETNY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, jeżeli zbiór wartości przyjmowanych przez zmienną losową z niezerowym prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny. CIĄGŁY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest ciągły, jeżeli jego dystrybuanta jest funkcją ciągłą. W węższym sensie, rozkład prawdopodobieństwa nazywamy (bezwzględnie) ciągłym jeśli posiada on funkcję gęstości.

5 FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na R. Wówczas gęstością prawdopodobieństwa nazywamy taką nieujemną funkcję f(x) całkowalną w sensie Lebesgue'a, że dla każdego zbioru borelowskiego B R P B = B f x dx Stąd wniosek, że: x F x = f u du

6 FUNKCJA MASY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Niech X będzie dyskretną zmienną losową. Wówczas funkcję masy prawdopodobieństwa definiujemy jako f X (x)=p(x=x)

7 ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY Rozkład ten określa sytuację, gdy dane zdarzenie może z określonym prawdopodobieństwem zakończyć się sukcesem lub porażką. masa prawdopodobieństwa: p dla k=1, 0<p<1 1-p dla k=0 0 w pozostałych wypadkach dystrybuanta: 0 dla k<0 1-p dla 0 k<1 1 dla k 1 wartość oczekiwana: p wariancja: p(1-p)

8 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY Rozkład, w którym prawdopodobieństwo każdego z n zdarzeń jest jednakowe. masa prawdopodobieństwa: 1/n dla a k b, kєz 0 w przeciwnym wypadku dystrybuanta: 0 dla k<a k a 1 n dla a k b 1 dla k b wartość oczekiwana: mediana: a b 2 a b 2

9 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

10 ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Rozkład opisujący liczbę sukcesów dla n niezależnych prób. masa prawdopodobieństwa: n k pk n k 1 p dystrybuanta: n k 1 n k p 0 t n k 1 1 t k dt wartość oczekiwana: mediana: [np] wariancja: np(1 p) np

11 ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

12 ROZKŁAD GEOMETRYCZNY Rozkład opisujący prawdopodobieństwo, że proces Bernoulliego pierwszy sukces odniesie w k-tej próbie. masa prawdopodobieństwa: 1 p k 1 p dystrybuanta: 1 1 p k wartość oczekiwana: 1/p mediana: wariancja: [ log 2 log 1 p ] 1 p p 2

13 ROZKŁAD GEOMETRYCZNY masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

14 ROZKŁAD POISSONA Rozkład wyrażający prawdopodobieństwo liczbę wystąpienia danego zdarzenia w danym czasie, o ile znana jest średnia częstotliwość tych zdarzeń i są one od siebie niezależne. masa prawdopodobieństwa: λ k k! e λ dystrybuanta: k e λ i =0 λ i i! wartość oczekiwana: mediana:. [ λ 1 3 0,02 λ ] wariancja: λ λ

15 ROZKŁAD POISSONA masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

16 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY Rozkład, w którym gęstość jest stała i niezerowa na przedziale [a,b] oraz zerowa poza nim. gęstość prawdopodobieństwa: 1 b a dla a x b 0 dla x<a lub x>b dystrybuanta: 0 dla x<a 1-p dla a x<b 1 dla x b wartość oczekiwana: mediana: wariancja: a b 2 b a 2 12 a b 2

17 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

18 ROZKŁAD TRÓJKĄTNY gęstość prawdopodobieństwa: 2 x a b a c a 2 b x b a b c dla dla a x c c x b dystrybuanta: x a 2 b a c a dla a x c 1 b x 2 b a b c dla wartość oczekiwana: c x b a b c 3

19 ROZKŁAD TRÓJKĄTNY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

20 ROZKŁAD WYKŁADNICZY Rozkład ten opisuje czas pomiędzy wydarzeniami w procesie Poissona, tj. wydarzeniami, które dzieją się w sposób ciągły, niezależnie od siebie, ze stałą średnią częstotliwością. gęstość prawdopodobieństwa: λe λx dystrybuanta: 1-λe λx wartość oczekiwana: 1/λ mediana: ln 2 λ wariancja: λ -2

21 ROZKŁAD WYKŁADNICZY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

22 ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) Rozkład używany do opisu wielu zmienny losowych, które dążą do skupiania się wokół pewnych wartości średnich. Jego częstość występowania wiąże się z tym, że wielkości będące sumą dużej ilości zmiennych losowych, podlegają rozkładowi normalnemu. gęstość prawdopodobieństwa: x m 1 2 2πσ e 2σ 2 2 dystrybuanta: erf z 2 2 t erf(x)= π 0 wartość oczekiwana: mediana: m wariancja: σ 2 e t 2 dt m

23 ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

24 ROZKŁAD CHI KWADRAT Rozkład o k stopniach swobody, dotyczy zmiennej losowej, która jest sumą kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Często używany we wnioskowaniu statystycznym, np. testowaniu hipotez. gęstość prawdopodobieństwa: 1 k 2 2 Γ k x 2 k 2 1 x 2 e dystrybuanta: 1 Γ k 2 γ k 2, x 2 wartość oczekiwana: mediana: wariancja: k k 2k k

25 ROZKŁAD CHI KWADRAT gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

26 bibliografia: %C5%84stwa_i_statystyka/Wyk%C5%82ad_6:_Rozk%C5%82ady_prawdopodobie %C5%84stwa_i_zmienne_losowe action=statystyka&subaction=rozklady_dyskretne