Statystyczne aspekty emisji, propagacji i detekcji. promieniowania jądrowego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyczne aspekty emisji, propagacji i detekcji. promieniowania jądrowego"

Transkrypt

1 Saysycze aspey emisji, propagacji i deecji promieiowaia jądrowego Rysue 5. przedsawia iedawe wyii esperymeu ATLAS w laboraorium CERN poazujące rozład zw. masy iezmieiczej (m γγ ) dwóch fooów. Puy uładają się dość regularie z iewielim loalym masimum w obszarze mas ooło 5 GeV. Do zależości ej dopasoway zosał wielomia czwarego sopia. W dolej części rysuu poazay jes rozład, w órym od puów pomiarowych zosały odjęe warości dopasowaego wielomiau. Loale masimum sało się lepiej widocze, a poazaa liią ciągłą rzywa opisuje jego szał. Zazaczoe przy puach pomiarowych odcii pioowe poazują iepewości położeia ych puów. Rys. 5.. Rozład masy iezmieiczej (m γγ ) par fooów zarejesrowaych w esperymecie ATLAS przy Wielim Zderzaczu hadroów, LHC, w laboraorium CERN [4] Uzysaie ego wyresu wymagało dwóch la pomiarów (0 i 0) jedego z ajwięszych w świecie esperymeów fizyczych, ATLAS oraz zbudowaia ajwięszego w świecie aceleraora-zderzacza, LHC. W rezulacie swierdzoo isieie poszuiwaej od la cząsi, zw. bozou Higgsa, a Peer Higgs, óry pół wieu emu posulował jej isieie orzymał w 03 rou agrodę Nobla. Dlaczego uzysaie ego wyresu wymagało budowy a ogromej aparaury? Dlaczego pomiary musiały rwać a długo? Czy było o oiecze? Ta było oiecze. Wszysiemu wiie jes saysyczy charaer procesów będących przedmioem aszych badań - od rozpadów jąder aomowych, po producję bozou Higgsa.

2 Jądro promieiowórcze ma w ażdej chwili czasu dwie możliwości, albo rozpaść się, albo ie. Syuacja jes aa sama ja w rzucie moeą: albo wypadie orzeł, albo resza. Kiedy mamy wiele jąder saowiących źródło promieiowórcze, o a, jabyśmy rzucali całą garść moe i parzyli ile z ich upadło orłem do góry. Proces ai azywamy biarym i opisujemy go rozładem dwumiaowym P d (;, p), gdzie P jes prawdopodobieńswem uzysaia sucesów przy wyoaych próbach, iedy prawdopodobieńswo sucesu w pojedyczej próbie wyosi p. W aszym przypadu, P jes prawdopodobieńswem rozpadu jąder w źródle sładającym się z jąder, iedy prawdopodobieńswo rozpadu pojedyczego jądra wyosi p. Dla rzucaia moe jes o prawdopodobieńswo upadięcia moe orłem do góry, jeśli rzucamy moe, a prawdopodobieńswo upadięcia orłem do góry pojedyczej moey wyosi p. Aalogia ie jes jeda peła, bo jeśli jądro w daej chwili się rozpadło, o już w asępej wypada z gry. Prowadzi o do auralego pyaia, jai jes sosue liczby jąder, óre się rozpadają w daej chwili do wszysich jąder w źródle. Naychmias asuwa się uwaga o zależy ja dużą chwilę rozparujemy i jaie jes prawdopodobieńswo p rozpadu w ej chwili pojedyczego jądra. Jeśli chwila jes a róa, że bardzo mała część jąder się w iej rozpada w sosuu do wszysich jąder w źródle, o możemy uzać, że aalogia jes zachowaa. Jeśli chwila jes porówywala z czasem połowiczego rozpadu, o oczywiście - ie. Mając o a uwadze przyjmijmy, że aalogia jes zachowaa, czyli, że w rozparywaych przez as chwilach liczba jąder rozpadających się jes a mała, że ie zmieia o isoie liczby jąder w źródle. (Pamięając, że liczba jąder w realych źródłach jes jedyie ila rzędów wielości miejsza od liczby Avogadra (o. 6,0 0 3 mol - ), a liczba mierzoych rozpadów w realych przedziałach czasu iech będzie rzędu milioa, czyli 0 6, o i a saowi o miej iż jeda milioowa, milioowej części jąder w źródle.) 5.. Relacje pomiędzy rozładami: dwumiaowym, Poissoa i Gaussa Przypomijmy szał rozładu dwumiaowego: Pd p! ( ;, ) p ( p!( )! ) (5..) gdzie wyrażeie ułamowe po prawej sroie jes zw. czyiiem Newoa wyrażającym liczbę ombiacji -elemeowych w zbiorze o elemeach. Pozosałe symbole zosały już zdefiiowae. Wielości oraz p są paramerami ego rozładu; rozład jes więc dwuparameryczy. Pierwsze dwa momey ego rozładu: warość oczeiwaa i wariacja, czyli wadra odchyleia sadardowego wyoszą: < > p; σ p ( p) (5..)

3 Zmiaę szału rozładu dwumiaowego wraz ze zmiaą warości jego paramerów, moża prześledzić z pomocą ieraywej apliacji, órą ilusruje rysue poiżej. (Dla uruchomieia apliacji ależy po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Wpisując w zieloe pola liczby rówe wybraym warości paramerów możemy zobaczyć szały czerech rozładów w posaci liczbowej i graficzej. Rys.. Przyładowy wygląd erau apliacji dwumia.xls. Rozłady dwumiaowe dla wpisaych w zieloych polach warości paramerów poazae są w posaci liczbowej i graficzej Waro zwrócić uwagę a charaerysycze cechy rozładów dwumiaowych dla różych warości paramerów:. Dla p0,5 (a eraie ozaczoej jao ppi) rozłady mają posać symeryczą względem warości oczeiwaej.. Warości prawdopodobieńswa oreśloe są ylo dla miejszego lub rówego (diagosya liczba dla warości więszych 3. W przypadu, iedy warość p ie jes rówa 0,5, rozład jes iesymeryczy i ma więszą wariację iż rozład o ej samej warości oczeiwaej, ale o p0,5 (przyłady dla: 0, p0,5 i 40, p05). Kiedy mamy syuację aą, że prawdopodobieńswo p zmierza do zera, a liczba prób do iesończoości ale a, że ich iloczy ma sończoą warość, a więc możemy apisać, że p λ, (5..3)

4 o rozład dwumiaowy zbiega do rozładu posaci P p λ ( ; λ) e! λ (5..4) gdzie λ jes paramerem (jedyym) ego rozładu. Rozład e osi azwę rozładu Poissoa. Zwróćmy uwagę, że właśie aą syuację mamy w przypadu ypowego źródła promieiowórczego, iedy liczba jąder w źródle,, jes o wiele rzędów wielości więsza od liczby jąder,, rozpadających się w realie mierzoym przedziale czasu. Prawdopodobieńswo rozpadu pojedyczego jądra, p, jes w ym przedziale czasu bardzo małe, więc założeia doyczące rozładu Piossoa są bardzo dobrze spełioe. Warość oczeiwaa i wariacja dla rozładu Poissoa wyoszą λ (5..5) < > ; σ λ czyli σ < > Rówość warości oczeiwaej i wariacji jes iezwyle ważą cechą charaerysyczą rozładu Poissoa. Wyia z ego, że odchyleie sadardowe rówe jes pierwiasowi wadraowemu z warości oczeiwaej, a sosue ych wielości jes odwroie proporcjoaly do pierwiasa z warości oczeiwaej, a więc maleje ze wzrosem ej warości. Związe e ma bardzo duże zaczeie praycze. σ σ λ; λ λ (5..6) Rozład Poissoa może być zapisay rówież w posaci P ( ; < p > ) ( < > ) < >! e (5..7) przy czym pamięajmy, że warość oczeiwaa ego rozładu <> może być liczbą rzeczywisą, aomias warości zmieej losowej zarówo dla rozładu dwumiaowego, ja i dla rozładu Poissoa mogą być ylo liczbami auralych z włączeiem zera. Zauważmy eż, że dla rozładu Poissoa spełioa są zależość: Pp ( ; < > ) Pp ( ) < > (5..8) Wyia z ego, że dla < > P ( ; < > ) P ( ; < > ) p p (5..9) Czyli prawdopodobieńswa uzysaia warości rówej warości średiej jes aie samo ja uzysaia warości o jede miejszej.

5 Ewolucję szału rozładu Poissoa wraz ze zmiaą jego warości oczeiwaej, moża prześledzić z pomocą ieraywej apliacji, órej przyładowy era ilusruje Rys.. (Dla uruchomieia apliacji ależy po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Wpisując w zieloe pola liczby rówe wybraej warości oczeiwaej możemy zobaczyć szały pięciu rozładów w posaci liczbowej i graficzej. Dla zwróceia uwagi a podaą wyżej zależość warości liczbowe prawdopodobieńswa dla rówego warości oczeiwaej oraz o jede miejszej, zosały ozaczoe czerwoymi obwódami. Nierudo zauważyć, że wraz ze wzrosem parameru lambda rozład saje się coraz bardziej symeryczy. Rys.. Przyładowy wygląd erau apliacji Poisso.xls. Rozłady Poissoa dla wpisaych w zieloych polach warości oczeiwaych, poazae są w posaci liczbowej i graficzej Kiedy rośie warość przecięa w rozładzie Poissoa i szał rozładu saje się coraz bardziej symeryczy, wedy rozład e moża z dobrym przybliżeiem opisać rozładem ormalym (Gaussa). Rozład e oreśloy jes dla zmieej losowej ciągłej x, przyjmującej warości rzeczywise. Rozład ormaly jes rozładem dwuparameryczym, a gęsość prawdopodobieńswa ego rozładu oreśloa jes zależością f ( x a) ( x; a, σ ) e σ σ π (5..0) Paramerami ego rozładu są: warość oczeiwaa a, i odchyleie sadardowe σ. Jeżeli jeda rozład ormaly ma przybliżać omawiae u rozłady: dwumiaowy i Poissoa o

6 jego paramery powiy spełić warui oreśloe dla paramerów ych rozładów i ich wzajeme relacje. Kszał rozładu gęsości prawdopodobieńswa f(x) oraz dysrybuay F(x) dla zadaych warości paramerów rozładu Gaussa, moża zobaczyć w posaci liczbowej i graficzej z pomocą ieraywej apliacji, órej przyładowy era ilusruje Rys.3. (Dla uruchomieia apliacji ależy, podobie ja w poprzedich przypadach, po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Rys. 3. Przyładowy wygląd erau apliacji Gauss.xls. Rozład gęsości prawdopodobieńswa i dysrybuay dla wybraych warości paramerów. Waro zwrócić uwagę a ila charaerysyczych cech ego rozładu.. Rozład ma szał symeryczy względem warości oczeiwaej, dla órej gęsość prawdopodobieńswa przyjmuje warość masymalą.. Prawdopodobieńswo, wyzaczoe jao cała z gęsości prawdopodobieńswa w przedziale o zadaych graicach, wyosi dla obszaru oreśloego przez graice rówe jedemu odchyleiu sadardowemu względem warości oczeiwaej, czyli a+ σ a σ f ( x; a, σ ) dx (5..) 3. Aalogiczie wyzaczoe prawdopodobieńswa dla obszaru w graicach dwóch i rzech odchyleń sadardowych wyoszą, z doładością do czerech miejsc po ropce, odpowiedio: ,

7 4. Nieiedy ieresuje a wielość obszaru woół warości oczeiwaej obejmujący zadaą część (p. połowę) pola pod rzywą. Dla przyładu, w przypadu połowy pola mamy, a σ a σ f ( x; a, σ ) dx 0.5 (5..) 5. W ieórych aalizach waża jes zajomość wielości obszaru woół warości oczeiwaej w órym gęsość prawdopodobieńsw jes więsza od 0.5. oreślaa jao szeroość rozładu w połowie masimum. (w ermiologii agielsiej zwaa FWHM, Full Widh a Half Maximum ), FWHM l σ σ (5..3) Przeaalizujmy doładiej relacje pomiędzy szałami omawiaych u rozładów dla wybraych, reprezeaywych warości paramerów. Rozłady e poazae są a Rys.4. Rys.4 Rozłady: dwumiaowy, Poissoa, Gaussa, dla wybraych warości paramerów. W przypadu, iedy paramery rozładu dwumiaowego wyoszą 0, p 0.5 czyli p 0 (5..4) o warość oczeiwaa ego rozładu rówa jes aalogiczej warości dla rozładu Poissoa, ale szały obu rozładów bardzo się różią.

8 . Kiedy jeda 0, p 0.05 czyli p (5..5) szały obu rozładów sają się podobe, co jes rezulaem lepszego spełieia waruu doyczącego małej warości prawdopodobieńswa sucesu w rozładzie dwumiaowym i rozład e swym szałem zbliża się do rozładu Poissoa. 3. Przy paramerów oreśloych warościami (4) rozład ormaly bardzo dobrze odzwierciedla szał rozładu dwumiaowego, aomias zasadiczo odbiega od szału obu rozładów: dwumiaowego i Poissoa dla warości paramerów podaych w (5), wchodząc w zares iedopuszczalych dla ych rozładów warości zmieej iezależej, miejszych od zera. 4. Rrozład ormaly opisujący dobrze rozład dwumiaowy oreśloy wzorami (4) wyreśloy zosał dla warości oczeiwaej i odchyleia sadardowego odpowiadających paramerom rozładu dwumiaowego. a0, σ 5. Podobie rozład ormaly ieźle przybliża rozład Poissoa dla a0, σ 0, a więc dla warości paramerów, zgodych z relacją między imi wyiającą z rozładu Poissoa. Porówaie szałów rozładów dla wybraych przez użyowia warości paramerów moża zobaczyć posługując się apliacją zamieszczoą poiżej. Rys. 5. Przyładowy wygląd erau apliacji rozlady.xls. 5.. Esymacja paramerów rozładów prawdopodobieńswa Kiedy wyoujemy pomiar liczby zliczeń z pomocą deeora promieiowaia joizującego, pobieramy próbę o rozmiarze jede z rozładu Poissoa. Tai pomiar jeda iewiele mówi o

9 samym rozładzie i jego warości oczeiwaej. Z poazaych wyżej ilusracji widzimy, że z zupełie dużym prawdopodobieńswem wyi pojedyczego pomiaru może zaczie różić się od warości oczeiwaej. Aby uzysać wiarygode oszacowaie warości oczeiwaej wyoujemy wiele pomiarów i wyzaczamy warość średią liczby zliczeń N (5...) i i N gdzie N jes liczbą wyoaych pomiarów. Warość średia jes aże liczbą losową będącą esymaorem warości oczeiwaej, óra jes liczbą paramerem rozładu. Miarą doładości uzysaych wyiów będzie wielość charaeryzująca ich rozrzu względem warości średiej. s ( i < > ) (5...) i Odjęcie jedyi w miaowiu ułama wyia z fau, że rozrzu wyzaczamy ie względem warości oczeiwaej (liczby będącej parameru rozładu) ale względem warości średiej, óra sama zosała wyzaczoa w oparciu o wyoaą serię pomiarów. (Zając wyii - pomiarów oraz warość średią, możemy wyliczyć wyi braującego pomiaru.) Liczba iezależych pomiarów wyosi więc -. Ta wyzaczoa wielość jes esymaorem drugiego momeu rozładu, jego wariacji, przy założeiu, że szał rozładu odpowiada rozładowi ormalemu. Pierwiase wadraowy z esymaora wariacji jes więc esymaorem odchyleia sadardowego wyzaczającego graice, w jaich mieści się o. 68% wyiów pomiarów. Jeśli więc wyoaliśmy pojedyczy pomiar liczby zliczeń orzymując wyi zliczeń i jes o liczba a yle duża, że rozład Poissoa możemy przybliżać rozładem Gaussa, o wiemy, że z prawdopodobieńswem o. 68%, warość a różi się od warości oczeiwaej dla rozładu Poissoa w graicach oreśloych przez, bo aie jes odchyleie sadardowe ego rozładu. Jeśli jeda liczba zliczeń oazała się a mała, że rozładu Poissoa ie możemy przybliżać rozładem Gaussa (zob. Rys. 4) o wówczas przyjmujemy warość +, jao przybliżeie warości średiej pamięając, że prawdopodobieńswa uzysaia warości rówej warości średiej jes aie samo ja uzysaia warości o jede miejszej (wzór (9)). Dla przyładu, iedy w zadaym przedziale czasu ie obserwujemy żadego zliczeia, o za wyi pomiaru podajemy warość ±, a jeśli obserwujemy jedo zliczeie, o wyi zapisujemy w posaci ±.4. Wyorzysując własości rozładu Poissoa widzimy rówież, że waro uzysać więszą liczbę zliczeń, bo wówczas względa iepewość pomiaru będzie miejsza. Wedy bowiem możemy ę iepewość oszacować jao (parz wzór (6))

10 s s, (5..3.) a więc zmiejsza się ja odwroość pierwiasa wadraowego z liczby zliczeń. Przy 00 iepewość jes rzędu 0%, ale przy 0000, jes o już ylo %. Zawsze jeda ajlepiej jes powórzyć pomiar, j. wyoać serię pomiarów. Niepewość saysyczą uzysaej warości średiej możemy oszacować podobie. Wyoując wiele serii po pomiarów orzymamy aże rozład, órego odchyleie sadardowe będzie s s (5..4.) gdzie s jes oreśloe wzorem (5..). Niepewość warości średiej przy wyoaiu serii pomiarów, w órych uzysiwao liczby zliczeń i, oreślamy więc jao s (5..5.) ( i < > ) i ( ) Zwróćmy uwagę a zasadiczą różicę pomiędzy iepewością pojedyczego pomiaru wyzaczoą a podsawie wzoru (5..) oraz iepewością warości średiej wyzaczoą z pomocą wzoru (0). Zwięszając liczbę pomiarów i wyzaczając warość średią, a asępie iepewość z pomocą wzoru (5..) orzymamy lepsze oszacowaie iepewości pojedyczego pomiaru. Wyzaczaa warość będzie coraz miej fluuować, ale pozosawać a ym samym poziomie. (Moża o rówież ławo zauważyć aalizując posać wzoru (5..), bo zwięszając zwięszamy liczi i miaowi ułama.) Niepewość warości średiej jes malejącą fucją liczby pomiarów (z doładością do fluuacji saysyczych) zgodie ze wzorem (5..4) Pomiar liczby zliczeń w obecości ła. Częso przy wyoywaiu pomiarów aężeia promieiowaia pochodzącego od badaego źródła promieiowórczego ie mamy możliwości uwolić się od promieiowaia pochodzącego z ooczeia, czyli zw. ła. Wyoujemy wedy dwa pomiary jede w obecości źródła i jede pomiar bez źródła, czyli pomiar ła. Te drugi pomiar wyouje się zwyle w ciągu zaczie dłuższego czasu. Liczba zliczeń a jedosę czasu, pochodzącą od badaego źródła z, wyzaczamy ze wzoru z (5.3..) Niepewość aiego pomiaru złożoego wyzaczamy orzysając z prawa propagacji iepewości przypadowych

11 s x f f sx + s x x x +... (5.3..) W aszym przypadu mamy s s + s z (5.3.3.) Biorąc za oszacowaie iepewości pomiaru zależość wyiającą z rozładu Poissoa (wzór (5..3)) orzymujemy s z + + (5.3.4.) 5.4 Pomiar liczby zliczeń z uwzględieiem czasu marwego liczia Saysyczy charaer procesów jądrowych sprawia, że ieiedy odsęp czasu pomiędzy dwoma cząsami padającymi a deeor jes a rói, że po zarejesrowaiu pierwszej cząsi deeor ie może zarejesrować drugiej. Czas e jes charaerysyczy dla daego ypu deeora i zway jes czasem marwym. Zając warość czasu marwego m moża oszacować jego wpływ a zmierzoą liczbę zliczeń i wprowadzić odpowiedią poprawę. Jeśli a deeor w ciągu jedosi czasu pada cząse, a deeor rejesruje cząse, o zaczy, że czas w ciągu órego deeor był zablooway wyosi (5.4..) m Jeśli w ciągu jedosi czasu a deeor pada cząse, o w ciągu czasu pada ich m (5.4..) To właśie aa liczba cząse ie zosała zarejesrowaa w jedosce czasu. Mamy więc m (5.4.3.) Sąd możemy wyzaczyć liczbę cząse padających w jedosce czasu a deeor, jeśli zamy liczbę cząse zarejesrowaych oraz warość czasu marwego m.. m (5.4.4.)

12 Wyrażeie o moża zapisać prościej, jeśli czas marwy oraz liczba zloczeń są wielościami a yle małymi, że możemy apisać ( + ) ( m ) ( + m m m ) (5.4.5.) W aim przedsawieiu wyrażeie (+ m ) jes współczyiiem oreślającym wpływ czasu marwego a liczbę zliczeń. Czasy marwe dla ypowych deeorów są zae i dla deeorów joizacyjych wyoszą zwyle ( )s. Czas marwy może eż być wyzaczoy esperymealie. W ym celu wyouje się pomiary z pomocą dwóch źródeł promieiowórczych; oddzielie z ażdym ze źródeł oraz rówocześie z dwoma źródłami. Ze związów pomiędzy liczbami zliczeń w ych rzech pomiarach moża wyzaczyć warość czasu marwego.

Funkcja generująca rozkład (p-two)

Funkcja generująca rozkład (p-two) Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów

Bardziej szczegółowo

MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń

MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie

Bardziej szczegółowo

Rozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik

Rozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik Opracował: Roma Szatai Rozład Poissoa I. Cel ćwiczeia Zapozaie ze statystyczym sposobem opisu zagadień związaych z promieiowaiem jądrowym oraz z rozładami statystyczymi stosowaymi w fizyce jądrowej. Pratycze

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska aysyka Iżyierska dr hab. iż. Jacek Tarasik AG WFiI 4 Wykład 5 TETOWANIE IPOTEZ TATYTYCZNYC ipoezy saysycze ipoezą saysyczą azywamy każde przypszczeie doyczące iezaego rozkład o prawdziwości lb fałszywości

Bardziej szczegółowo

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora. D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Erlanga. Znajdziemy rozkład czasów oczekiwania na n-te zdarzenie. Łączny czas oczekiwania. na n zdarzeń dany jest przez: = u-v i t 2.

Erlanga. Znajdziemy rozkład czasów oczekiwania na n-te zdarzenie. Łączny czas oczekiwania. na n zdarzeń dany jest przez: = u-v i t 2. Rozład Erlaga Zajdziem rozład czasów oczeiwaia a -e zdarzeie. Łącz czas oczeiwaia a zdarzeń da jes przez: M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa ( (- gdzie E ; λ λ exp λ Podobie zajdujem: E ( ; E(

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODOŚCI PEARSOA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: a stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz alulacyjy do programu Calc paietu Ope Office, iezbędy podczas

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

t - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody

t - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody ZJAZD ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH ramach zajęć będą badae próbki pochodzące z poplacji w kórych badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ σ). Na zajęciach będą: - wyzaczae przedziały fości dla warości średiej i wariacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystya Iżyiersa dr hab. iż. Jace Tarasiu GH, WFiIS 03 Wyład 4 RCHUNEK NIEPEWNOŚCI + KILK UŻYTECZNYCH NRZĘDZI STTYSTYCZNYCH Wyład w więszości oparty a opracowaiu prof.. Zięby http://www.fis.agh.edu.pl/~pracowia_fizycza/pomoce/opracowaiedaychpomiarowych.pdf

Bardziej szczegółowo

16 Przedziały ufności

16 Przedziały ufności 16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])

Bardziej szczegółowo

Obligacja i jej cena wewnętrzna

Obligacja i jej cena wewnętrzna Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel

Bardziej szczegółowo

1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu

1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację

Bardziej szczegółowo

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy. MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki Wyzymałość śuby wysoość aęi Wpowazeie zej Wie Działająca w śubie siła osiowa jes pzeoszoa pzez zeń i zwoje gwiu. owouje ozciągaie lub ścisaie zeia śuby, zgiaie i ściaie zwojów gwiu oaz wywołuje acisi a

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANE TECHNIKI PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW W TELEKOMUNIKACJI LABORATORIUM

ZAAWANSOWANE TECHNIKI PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW W TELEKOMUNIKACJI LABORATORIUM POLITCHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ LKTRONIKI I TCHNIK INFORMACYJNYCH INSTYTUT TLKOMUNIKACJI ZAAWANSOWAN TCHNIKI PRZTWARZANIA SYGNAŁÓW W TLKOMUNIKACJI LABORATORIUM ĆWICZNI NR RPRZNTACJA ORTOGONALNA SYGNAŁÓW.

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Techniczne Aspekty Zapewnienia Jakości

Techniczne Aspekty Zapewnienia Jakości Istytut Techologii Maszy i Automatyzacji Politechii Wrocławsiej Pracowia Metrologii i Badań Jaości Wrocław, dia Ro i ierue studiów. Grupa (dzień tygodia i godzia rozpoczęcia zajęć) Techicze Aspety Zapewieia

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2 Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%

Bardziej szczegółowo

Numeryczny opis zjawiska zaniku

Numeryczny opis zjawiska zaniku FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej

Bardziej szczegółowo

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im

Bardziej szczegółowo

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że: Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1). TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Estymacja punktowa

Lista 6. Estymacja punktowa Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu. Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Analiza I.1, zima globalna lista zadań Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. H 1 : p p 0 H 3 : p > p 0. b) dla małej próby statystykę testową oblicza się za pomocą wzoru:

Ćwiczenie 3. H 1 : p p 0 H 3 : p > p 0. b) dla małej próby statystykę testową oblicza się za pomocą wzoru: Ćwiczeie ERYFIKACJA IPOTEZ Tesowaie hipoez: Zakładamy że wszyskie hipoezy będą weryfikowae a poziomie isoości α.. eryfikacja hipoezy o wskaźik srkry jedej zmieej losowej dyskreej Rozparjemy próbkę elemeową

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia graniczne:

Twierdzenia graniczne: Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości

Bardziej szczegółowo

Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)

Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC) Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8 Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;

Bardziej szczegółowo

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.

Bardziej szczegółowo

Temat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór

Temat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe układów automatyki. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe układów automatyki. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: Warszawa 7 Cel ćwiczeia rachuowego Podczas ćwiczeia poruszae będą asępujące zagadieia: obliczaie odpowiedzi impulsowej i soowej uładu; wyzaczeia charaerysy częsoliwościowych (ampliudowo-fazowej oraz logarymiczej:

Bardziej szczegółowo

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

ELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH .Kowalsi Wybrae zagadieia z rocesów sochasyczych EEMENTY SYSTEMÓW KOEJKOWYCH WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowalsi Warszawa 8 .Kowalsi Sysemy Obsługi ieraura:.kowalsi, maeriały dydaycze z rocesów sochasyczych.

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1, 1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =

Bardziej szczegółowo

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( ) Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Wstęp. zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution).

Wstęp. zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution). Wstęp,, S P przestrzeń probabilistycza (Probability space), zbiór wszystich zdarzeń elemetarych (sample space), S zbiór zdarzeń, (evets), P prawdopodobieństwo (probability distributio). P : S R ZMIENNA

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE

2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE Ie rozkłady dyskrete 9. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE.. Rozkład dwumiaowy - kotyuacja Przypomijmy sobie pojęcie rozkładu dwumiaowego prawdopodobieństwa k sukcesów w próbach Beroulli ego: P k k k k = p q m =

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że

Bardziej szczegółowo

Temat 15. Rozwinięcie Sommerfelda. Elektronowe ciepło właściwe.

Temat 15. Rozwinięcie Sommerfelda. Elektronowe ciepło właściwe. emat 5 Rozwiięcie Sommerfelda letroowe ciepło właściwe letroy podleają rozładowi ermieo-diraca wedł tóreo prawdopodobieństwo że sta o eerii jest zajęty przez eletro wyosi f 5 ep dzie wielość jest zaa pod

Bardziej szczegółowo

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b, CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre

Bardziej szczegółowo

M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład 7-2

M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład 7-2 Ważiejsze rozłady -wa Rozłady zmieej losowej dysreej: rozład łasi (jedosajy) rozład dwuuowy (Beroulliego) rozład dwu- i wielomiaowy rozład ujemy dwumiaowy (Pascala) rozład geomeryczy rozład hiergeomeryczy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy

Bardziej szczegółowo

npq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi,

npq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi, Zadaie aa jest fucja gęstości zmieej losowej X: 9 8 Wyzacz: F (X ; Q ; ; ( X ; 9 9 P X P Zadaie ( Statystya II, X a b F( b F( a X e! P m ( ; m E( X ( X V ( X X R P ( X R ( X V ( X jest fucją gęstości zmieej

Bardziej szczegółowo

Symulacyjna metoda doboru optymalnych parametrów w prognostycznych modelach wygładzania wykładniczego

Symulacyjna metoda doboru optymalnych parametrów w prognostycznych modelach wygładzania wykładniczego Zbigiew Tarapaa Symulacyja meoda doboru opymalych paramerów w progosyczych modelach wygładzaia wyładiczego Wydział Cybereyi Wojsowej Aademii Techiczej w Warszawie Sreszczeie W aryule zaprezeowao symulacyją

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0, Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej

Opracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.

Bardziej szczegółowo

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności) IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym

Bardziej szczegółowo

Schrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok

Schrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok Wykład 0: Rówaie Schrödigera Dr iż. Zbigiew Szklarski Kaedra Elekroiki paw. C- pok.3 szkla@agh.edu.pl hp://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Rówaie Schrödigera jedo z podsawowych rówań ierelaywisyczej

Bardziej szczegółowo