Modele zmienności aktywów ryzykownych. Model multiplikatywny Rozkład logarytmiczno-normalny Parametry siatki dwumianowej

Transkrypt

1 Moele zmieości akywów ryzykowych Moel muliplikaywy Rozkła logarymiczo-ormay Paramery siaki wumiaowej

2 Moel muliplikaywy zmieości akywów Rekurecyjy moel muliplikaywy: (=, (k+ = (k u(k, k=,, Cea akywa w chwili k aa jes więc wzorem ( (k = u(k-u(k- u((. Po zlogarymowaiu obu sro wprowazeiu ozaczeia w(i=u(i mamy ( k ( k i u( i ( k i w( i k ( ( k ( i w( i

3 Oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu cey akcji w moelu muliplikaywym Poieważ (k+ = (k u(k, więc (3 w(k = u(k = [(k+/(k ] czyli zmiea w(k jes logarymiczą sopą wzrosu cey akcji w k-ym eapie (4 E {[(k+/(k]} = E[w(k] = μ k μ k - oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu w k-ym eapie Z efiicji moelu (5 E{ ((k/(} = E[w(+ +w(k-]= μ + μ + + μ k- Lewa sroa ozacza oczekiwaą całkowią (po k eapach logarymiczą sopę wzrosu

4 Oczekiwaa warość i wariacja logarymu cey końcowej Jeśli wszyskie zmiee w(i mają ę samą warość oczekiwaą μ i wariację σ oraz są wzajemie iezależe, o korzysając z własości warości oczekiwaej i wariacji możemy zapisać: (6 E [ (k] = ( +μk, (7 var [(k] = k σ. Ławo zauważyć, że warość oczekiwaa logarymu cey jes fukcją liiową zmieej k zaś wariacja logarymu cey rośie proporcjoaie o k.

5 Oczekiwaa warość współczyika wzrosu cey po k krokach Z rówości (5 la jeakowych warości oczekiwaych orzymujemy (8 E [ (k/(] = μk Dla ciągłej fukcji f i zmieej losowej X posiaającej warość oczekiwaą prawziwa jes rówość E [f (X ] = f (E (X. osując ę własość o rówości (8 la fukcji f( = e orzymujemy (9 E [(k/(] = e μk Gzie μ - oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu w pojeyczym eapie

6 Logarymicza a zwykła sopa wzrosu Przy przyjęych ozaczeiach μ = E [ ((k+/(k], k=,, Poieważ (k+/(k = [(k+-(k]/(k+ Zaem [(+/(] = {[(+-(]/(+} Ozaczając r = [(+-(]/( (r jes sopą wzrosu cey w jeym eapie, mamy [(+/(]= (r+. Dla bliskich zeru warości r mamy przybliżeie ( (r+ r, czyli μ = E (r Korzysamy z rozwiięcia ( ( la R( (,

7 Rozkła zmieej losowej [(k/(] Bezpośreio ze związku ( k ( k i u( i ( k i w( i Orzymujemy logarym z ilorazu ( ( k ( k i u( i k i w( i Jeżeli w(i są iezależymi zmieymi losowymi o rozkłaach ormaych i paramerach μ, σ, o zmiea losowa [(k/(] ma rozkła ormay o warości oczekiwaej (kμ oraz wariacji kσ (Wiosek 3, par. 37, Zubrzycki Wykł. rach. p-swa..

8 Rozkła graiczy zmieej losowej [(k/(] Z ceraego wierzeia graiczego wyika, że jeżeli zmiee losowe w(i mają jeakowe rozkłay o paramerach μ, σ oraz saowią ciąg iezależych zmieych losowych, o zmiea losowa [(k/(] ma w graicy rozkła ormay, czyli lim lub lim czyli lim k k k P{ a iaczej P{ a P{ a ( k k ( b} k ( k k k ( k b b a ep( k k} k ( ( k b k k ( } b a ep( b a ep(

9 Rozkła logarymiczo ormay Niech Y ozacza zmieą losową o rozkłazie ormaym N(μ,σ. Niech X = e Y (Y = X DEF. Rozkła prawopoobieńswa zmieej losowej X azywamy rozkłaem logarymiczo ormaym i ozaczamy Λ(μ,σ (X jes fukcją wykłaiczą zmieej losowej o rozkłazie ormaym F X ysrybuaa zmieej X iech F X ( P{ Y } gzie P{ X F Y } P{ F Y ( X } ysrybuaa zmieej Y

10 Rozkła logarymiczo ormay Zaem ( Ozaczmy przez ( gęsość rozkłau zmieej X (3 ( ( ogóie ( ( F F la F F Y X Y X ep w pukcie, ( (esiy rozkl. ' ( '( ( Y X N F F

11 Rozkła logarymiczo ormay Niech Y ozacza zmieą losową o rozkłazie ormaym N(μ,σ. Niech X = e Y Wey k - y mome rozkłau logarymiczo-ormaego M k ay jes wzorem: (4 M k = ep (μk +,5 σ k a są EX = ep (μ+,5 σ (5 War X = E(X - (E(X = ep (μ+ σ - ep (μ+ σ = = ep (μ+ σ [ ep ( σ ]

12 Moel muliplikaywy, wumiaowy Zakłaamy, że w każym okresie cea akcji może spaść lub wzrosąć, zawsze w ej samej proporcji, czyli (6 u, u( k, gzie gzie przy czym pierwsza z ych warości jes przyjmowaa z prawopoobieńswem p a ruga z (-p u

13 Drzewo ce w moelu muliplikaywym, wumiaowym - iaka wumiaowa ce (4 eapy, cea począkowa

14 Cey końcowe w moelu muliplikaywym wumiaowym, -eapowym Ze wzoru ( = u(-u(- u(( wyika, że możliwe cey końcowe muszą mieć posać ( u k -k, gzie k =,,,. Na rzewie ceowym isieje różych róg prowazących o węzła ieyfikowaego z ceą (u k -k, gyż każa roga jes jeozaczie scharakeryzowaa przez - wyrazowy ciąg (u,u,,u,,,u, zawierający k lier u oraz (-k lier. k

15 Cey końcowe w moelu muliplikaywym wumiaowym, -eapowym Prawopoobieńswo każej akiej rogi jako koiukcji zarzeń iezależych - wyosi p k (-p -k Zaem prawopoobieńswo cey końcowej u k -k wyosi k p k ( p k

16 Przykła. Moel muliplikaywy, wumiaowy ((=; u=,; =,9; prawopoobieńswo wzrosu,6. Cea końcowa akcji po 34 eapach oraz jej prawopoobieńswo, zł CENA POCZĄTKOWA P Q R T r wiersza P$7*G$5^R3*G$6^3 ROZKŁAD.DWUM(R3;34;G$8;FAŁZ p-swo cea kocowa akcji (po 34 eapach liczba wzrosów liczba spaków skłaiki warości oczekiwaej cey 4 3,6393E , 34, zł 5 7,344E , 33, zł 6 7,39748E , 3, zł 7 4,96453E , 3 3, zł 8,4954E , 3 4, zł 9 9,966E , 99 5, zł 3,3965E , 98 6, zł 9,393E ,6 97 7, zł,3479e ,9 96 8, zł 3 5,973E ,6 95 9, zł

17 PRAWDOPODOBIEŃTWO Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej (cea oś pozioma TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI,5,45,4,35,3,5,,5,,

18 Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej (cea oś pozioma,5,45,4,35,3,5,,5,,5

19 PRAWDOPODOBIEŃTWO Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej. Oś X skala logarymicza TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI,5,45,4,35,3,5,,5,,5

20 ,5,45,4,35,3,5,,5,,5,E+,E+6 4,E+6 6,E+6 8,E+6,E+7,E+7,4E+7,6E+7,8E+7,E+7,E-,5,45,4,35,3,5,,5,,5,E+,E+,E+,E+3,E+4,E+5,E+6,E+7,E+8

21 ymulacja cey 3 eapach 35, zł 3, zł 5, zł, zł 5, zł, zł 5, zł - zł

22 ymulacja cey 3 eapach 5, zł 45, zł 4, zł 35, zł 3, zł 5, zł, zł 5, zł, zł 5, zł - zł

23 ymulacja cey 3 eapach 7, zł 6, zł 5, zł 4, zł 3, zł, zł, zł - zł

24 Logarymicza-ormaość rozkłau graiczego cey w moelu muliplikaywym, wumiaowym Ze wzoru ( k ( k i u( i i z faku, że suma ma graiczy (z. przy k rozkła ormay wyika, że zmiea losowa (k ma akże graiczy rozkła ormay. Ozaczmy lim k (k =. Zaem zmiea ma rozkła ormay, zaś zmiea X= ep( czyli zmiea X= ma rozkła logarymiczo-ormay k i w( i

25 Paramery siaki wumiaowej formułowaie problemu Daa jes rocza oczekiwaa logarymicza sopa zwrou z akcji: (7 E[( T / ] = - gzie T ozacza ceę akcji po roku oraz wariacja logarymu ze zmieej ( T / (8 War [( T / ] = Ile powiy wyosić przy ych aych paramery siaki zmieości, czyli wielkości u,p w jeym eapie, jeżeli w ciągu roku wysąpi eapów oraz u =/?

26 Paramery siaki wumiaowej Zakłaamy, że zmiee losowe k=,,, są iezależe, wzros asępuje z prawopoobieńswem p. Zmiee losowe (9 u, u( k, u, u( k, gzie gzie gzie gzie k=,,, są akże iezależe, co wyika bezpośreio z efiicji iezależości zmieych losowych u u

27 Paramery siaki wumiaowej Ogóe rówaia moelu: (... / ( ( / ( (... ( ]... [ ( (... ( ( ( i i k War gzie War War E E E E c u E E E E b k u a

28 Paramery siaki wumiaowej i ozacza ceę akcji po i-ym eapie ( e War( E( p u ( p u p ( p p u ( p u p ( p p u ( p p u u p( p ( p( ( p p u( p p( p[ u u ] ( p p( p( u p( p u ( f War( War( i i p( p u

29 Paramery siaki wumiaowej Ze związku ( c wyika, że po eapach w omawiaym moelu E(( / =, co jes rówoważe rówościom E( / =e, E( = e Jeżeli oakowo założymy, że =, o orzymujemy E( =, E( =e Wprowaźmy oakowe ozaczeia U:=u,D:=, :=/ ( E[ i U ( p / E( u( i i ] pu E( u( i (, p D pu gzie p u ( ( p U p

30 Paramery siaki wumiaowej Wariacja. Z iezależości zmieych (u(k, wyika, że ( / ( / ( ( / u p p gzie War u p p War k u War War k

31 Paramery siaki wumiaowej Pp ( (,, ( ( ( ( ( / U p p zaem D U wiec u wey u eraz iech D U p p u p p u p p War p U z ( (

32 Paramery siaki wumiaowej U ( p p( p(u U ( p p( p(u po oaiu sroami U u p U

33 (,,!! bliskich la a R a ze wzoru Taylora gyż p czyli p a p e e u u

34 Paramery siaki wumiaowej Osaeczie orzymujemy asępujące paramery siaki wumiaowej u e ( p = E [ ( T / ], T cea po roku - rocza wariacja zmieej ( T / czas rwaia jeego eapu (ułamek roku e

35 Ierpreacja paramerów, = E[( T / ], = (E[( T / ] E[( T / ]=e E( T = e, gyż jes sałą Paramer jes więc roczą oczekiwaą logarymiczą sopą wzrosu, Jeżeli =, o = E[( T ]. ą E( T = e War [( T / ] =War [( T ] = jes wey wariacją z logarymu cey po roku, czyli miarą zmieości roczej cey akcji

36 Lieraura Teoria iwesycji fiasowych D. Lueberger Isrumey pochoe sympozjum maemayki fiasowej. Kraków UJ 997 Koraky ermiowe i opcje. Wprowazeie J. Hull Warszawa 997 Iwesycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 8 Rykowe isrumey fiasowe A. opoćko PWN 5