STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009

2 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar bez błędu systematycznego 3. błąd symetryczny względem zera (jednakowo prawdopodobne błędy dodatnie i ujemne) 4. duże (bezwzględnie) błędy mniej prawdopodobne niż małe 5. krzywa Gaussa 6. ε N(0, σ), X N(µ, σ), σ dokładność pomiaru, znana lub nieznana = MODEL BŁĘDU NORMALNEGO

3 PARAMETRY POŁOŻENIA Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar bez błędu systematycznego 3. błąd symetryczny względem zera (jednakowo prawdopodobne błędy dodatnie i ujemne) 4. duże (bezwzględnie) błędy mniej prawdopodobne niż małe 5. krzywa Gaussa 6. ε N(0, σ), X N(µ, σ), σ dokładność pomiaru, znana lub nieznana. ε F, F F, F znane lub nie = MODEL Z PARAMETREM POŁOŻENIA F - rozkłady o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach

4 PARAMETRY POŁOŻENIA MODEL BŁĘDU NORMALNEGO: estymatorem parametru µ jest średnia X obserwacji X 1, X 2,..., X n

5 PARAMETRY POŁOŻENIA MODEL BŁĘDU NORMALNEGO: estymatorem parametru µ jest średnia X obserwacji X 1, X 2,..., X n MODEL Z PARAMETREM POŁOŻENIA: średnia X?

6 PARAMETRY POŁOŻENIA. MODEL BŁĘDU NORMALNEGO MODEL BŁĘDU NORMALNEGO: estymatorem parametru µ jest średnia X obserwacji X 1, X 2,..., X n n= n=4 0.2 n= µ = 2.

7 PARAMETRY POŁOŻENIA. MODEL BŁĘDU NORMALNEGO JAK TO SIĘ DZIEJE? Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(µ, σ): φ X (t) = exp {iµt 1 } 2 σ2 t 2 Funkcja charakterystyczna średniej X = n j=1 X j /n: { φ X (t) = exp iµt 1 ( } σ 2 )t 2 2 n

8 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Przykład: rozkład Cauchy ego rozkład o trochę tłuściejszych ogonach:

9 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy

10 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie

11 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej

12 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej - rozmiary osiedli ludzkich

13 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej - rozmiary osiedli ludzkich - tzw. zwroty w operacjach giełdowych

14 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy go φ Y (t) = exp{iµt λt }

15 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy go φ Y (t) = exp{iµt λt } Funkcja charakterystyczna średniej Y = n j=1 Y j /n:

16 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy go φ Y (t) = exp{iµt λt } Funkcja charakterystyczna średniej Y = n j=1 Y j /n: φ Y (t) = exp{iµt λt }

17 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY ROZKŁAD CAUCHY EGO ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY JEST TAKI SAM JAK ROZKŁAD POJEDYNCZEJ OBSERWACJI

18 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Ogólniej: SYMETRYCZNE ROZKŁADY α-stabilne exp{iµt λt α }

19 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY Ogólniej: SYMETRYCZNE ROZKŁADY α-stabilne exp{iµt λt α } ( exp{iµ t n λ t n α }) n = exp{iµt n 1/α 1 λt α } α=2 rozkład normalny; α=1 rozkład Cauchy ego

20 PARAMETRY POŁOŻENIA. BŁĄD SYMETRYCZNY rozk lad pojedynczej obserwacji rozk lad średniej

21 PARAMETRY POŁOŻENIA Teraz średnia z próby się nie ma sensu, bo 1. rozkład może nie mieć wartości oczekiwanej, czyli średnia może nie mieć wartości oczekiwanej 2. rozkład średniej z próby może być gorszy do wnioskowania o parametrze położenia niż rozkład pojedynczej obserwacji

22 PARAMETRY POŁOŻENIA Zamiast średniej - MEDIANA Model: Obserwacja X = µ + ε ε F, F F, F - rozkład znany lub nieznany Med F (ε) = F 1 ( 1 2 ) = 0. Wtedy Med µx = µ

23 PARAMETRY POŁOŻENIA MEDIANA Z PRÓBY Próba: X 1, X 2,..., X n Statystyki pozycyjne: X 1:n, X 2:n,..., X n:n X 1:n X 2:n... X n:n

24 PARAMETRY POŁOŻENIA MEDIANA Z PRÓBY Próba: X 1, X 2,..., X n Statystyki pozycyjne: X 1:n, X 2:n,..., X n:n X 1:n X 2:n... X n:n Mediana M n z próby X 1, X 2,..., X n M n = 1 2 ( X n 2 :n + X n 2 +1:n ), jeżeli n jest parzyste, X n+1 2 :n, jeżeli n jest nieparzyste

25 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n z próby jako estymator mediany populacji

26 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n z próby jako estymator mediany populacji Obciążenie?

27 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n z próby jako estymator mediany populacji Obciążenie? Rozrzut?

28 DEFINICJA (przypadek ciągłego rozkładu F T estymatora T ) T jest estymatorem MEDIANOWO NIEOBCIĄŻONYM (nieobciążonym w sensie mediany) parametru θ, jeżeli P θ {T θ} = P θ {T θ} = 0.5, dla każdego θ

29 DEFINICJA (przypadek ciągłego rozkładu F T estymatora T ) T jest estymatorem MEDIANOWO NIEOBCIĄŻONYM (nieobciążonym w sensie mediany) parametru θ, jeżeli P θ {T θ} = P θ {T θ} = 0.5, dla każdego θ ROZSTĘP MIĘDZYKWARTYLOWY ( 3 FT 4) 1 jest miarą rozrzutu estymatora T ( 1 FT 4) 1

30 Narzędzie pomocnicze: rozkład beta OZNACZENIA: Gęstość: Γ(p + q) Γ(p)Γ(q) x p 1 (1 x) q 1, x (0, 1), p, q > 0 Dystrybuanta w punkcie x: B(x; p, q) Kwantyl rzędu q: B 1 (q; p, q) Brak jawnych wzorów. Łatwo dostępne jako funkcje standardowe w pakietach statystycznych R: beta.r

31 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n = X n+1 2 :n z próby X 1, X 2,..., X n, n nieparzyste Rozkład F błędu znany Rozkład mediany M n. Gęstość: Dystrybuanta: Γ(n + 1) ( [ (n 1)/2 Γ 2 ( n+1 2 ) F µ (x) 1 F µ (x)]) fµ (x) P µ {M n x} = B ( F (x µ); n + 1 2, n + 1 ) 2

32 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n = X n+1 2 :n z próby X 1, X 2,..., X n, n nieparzyste Rozkład F błędu znany OBCIĄŻENIE Mediana M n z próby jest medianowo-nieobciążonym estymatorem mediany populacji: P µ {M n µ} = B ( F (0); n + 1 2, n + 1 ) ( 1 = B 2 2 ; n + 1 2, n + 1 ) = 1 2 2

33 PARAMETRY POŁOŻENIA Mediana M n = X n+1 2 :n z próby X 1, X 2,..., X n, n nieparzyste Rozkład F błędu znany ROZSTĘP MIĘDZYKWARTYLOWY n : Kwantyl x q(m n) rzędu q rozkładu mediany M n to taka liczba, że czyli czyli czyli Więc ( B P µ{m n x q(m n)} = q F (x n + 1 q(m n) µ); 2 ( F (x q(m n) µ) = B 1 q; n ( x q(m n) = µ + F 1 B 1 (q; n + 1 2, n + 1 ) = q 2, n + 1 ) 2, n + 1 ) 2 n = F 1 ( B 1 ( 3 4 ; n + 1 2, n ) ) F 1 ( B 1 ( 1 4 ; n + 1 2, n ) ) )