KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Komputerowe Laboratorium Mechaniki 2M135 / 2M31 Zawartość: OPRACOWANIE TEORETYCZNE L a bora t o rium n r 6 M e c haniki T echnicznej TEMAT: Modelowanie i smulacje numerczne układów dnamicznch w programie Scilab. ZAKRES: Model fizczn i matematczn układu drgającego o jednm stopniu swobod. Podstaw obliczeń numercznch. Wprowadzenie do korzstania z pakietu Scilab. Modelowanie układów na podstawie opisu równaniem różniczkowm w pakiecie Xcos. Przgotował: mgr inż. Adam Wijata Aktualizacja: 16.05.2018 wersja: 1.0 1
Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z możliwością wkorzstania pakietu Scilab do modelowania i smulacji numercznch dnamiki prostch układów mechanicznch. 1 Model fizczn i matematczn badanego układu dnamicznego Na rsunku 1 przedstawiono model fizczn liniowego układu drgającego jednm stopniu swobod z tłumieniem, wmuszonego siła harmoniczną. Składa się on z punktu materialnego o masie m[kg] połączonego z nieruchomą ostoją liniowm elementem sprężstm o współcznniku sprężstości k [N/m] oraz tłumikiem liniowm o współcznniku c [Ns/m] i poddanego działaniu harmonicznej sił wmuszającej P(t) = P 0 sin (ωt). (t) - przemieszczenie w czasie [m] P 0 = m n eω 2 amplituda sił wmuszającej [N], m n - masa niewważenia [kg], e- promień niewważenia [m]. Rsunek 1 Model fizczn liniowego układu drgającego o jednm stopniu swobod Dnamiczne równanie opisujące ruch układu ma następująca postać: m + c + k = P 0 sin (ωt) lub + 2h + α 2 = qsin (ωt) (1) gdzie: 2h = c m, α2 = k m, q = P 0 m. Powższe równanie jest równaniem różniczkowm (zawierającm pochodne), rozwiązaniem takiego równania jest funkcja - (t). Przjmując, że amplituda sił wmuszającej P 0 równa jest zeru (drgania swobodne) otrzmujem rozwiązanie równania (1) w postaci funkcji 1 : (t) = A 0 e ht sin( λt + β ). (2) Poniższa tabela wjaśnia znaczenie parametrów rozwiązania (2): 1 Dla przpadku tłumienia podkrtcznego, tzn. h < α c < 2 km 2
0 = (0) [m] 0 = (0) [ m/s ] λ = α 2 h 2 [ rad s] warunki początkowe (przemieszczenie i prędkość) częstość drgań własnch tłumionch T d = 2π λ [s] okres drgań własnch tłumionch A 0 e ht [m], gdzie A 0 = 2 0 + ( h 0+ 0 ) 2 umowna amplituda drgań własnch tłumionch (obwiednia) λ 0 λ β = arctg ( h 0 + 0 Miarą tłumienia w układzie jest dekrement tłumienia: = ) kąt przesunięcia fazowego A n A n+1 = lub logartmiczn dekrement tłumienia: (t 1 ) (t 1 + nt tł ) = ehnt d, (3) δ = ln = hnt d. (4) Funkcję (t) (2), będącą rozwiązaniem równania różniczkowego opisującego ruch swobodn tłumion układu o jednm stopniu swobod przedstawia Rsunek 2. Ae ht 0 Rsunek 2 Drgania swobodne tłumione układu o jednm stopniu swobod Częstości α, ω, λ są wrażone w jednostce radian na sekundę [ rad s]. Częstotliwość f[hz] przeliczam na częstość kołową ω [ rad s] według wzoru: ω = 2πf. (5) 3
2 Smulacje numerczne W dzisiejszch czasach moc obliczeniowa komputerów jest coraz częściej wkorzstwana do wkonwania użtecznch kalkulacji matematcznch. Smulacje komputerowe wkorzstuje się w dwóch podstawowch przpadkach: kied obliczenia są bardzo pracochłonne lub gd znalezienie rozwiązania problemu matematcznego na drodze analitcznej jest bardzo trudne lub niemożliwe. W drugim przpadku metod numerczne umożliwiają uzskanie przbliżonego rozwiązania. Równania opisujące dnamikę układów mechanicznch są równaniami różniczkowmi drugiego rzędu (tzn. równaniami zawierającmi drugą pochodną np.: d2 dt2). Analitczne rozwiązanie takiego równania jest możliwe jednie dla najprostszch przpadków, dlatego dla znalezienia przbliżonego rozwiązania należ wkorzstać metod numerczne. 2.1 Całkowanie numerczne Istotą rozwiązwania równań różniczkowch jest liczenie całek. Analitczne znalezienie rozwiązania całki oznaczonej, przebiega według podanego poniżej wzoru, znanego z rachunku całkowego. b f() d = F(b) F(a) a F() = f() d Podstawowa trudność tch obliczeń polega na znalezieniu funkcji pierwotnej - F(). W metodach numercznch, w celu uproszczenia obliczeń funkcję podcałkową f(), aproksmuje się inną funkcją, której całkę oznaczoną łatwo jest obliczć. W celu uzskania lepszej dokładności, funkcję podcałkową dzieli się na przedział, w którch następnie się ją aproksmuje. Wnikiem całkowania numercznego jest suma oszacowanch całek oznaczonch w poszczególnch przedziałach. Oznacza to, że rezultatem jest zbiór punktów, które przbliżają funkcję F(). Ideę całkowania numercznego łatwiej jest zrozumieć korzstając z interpretacji geometrcznej całki oznaczonej, którą jest pole pod wkresem funkcji f(). Pokazuje to Rsunek 3. Jak łatwo zauważć, im mniejsza będzie szerokość prostokątów przbliżającch pole S, tm większą będzie dokładność obliczeń numercznch. Ta szerokość - jest nazwana krokiem całkowania i jest podstawowm parametrem smulacji numercznch. f() Obliczenia analitczne f() Obliczenia numerczne (6) a b S = f() d a b a b Rsunek 3 Całka oznaczona obliczona analitcznie i oszacowana numercznie 4 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S = S i i
3 Wprowadzenie do środowiska Scilab i budowa modelu smulacjnego Scilab jest darmowm środowiskiem do obliczeń naukowch rozprowadzanm na licencji open source. Na stronie projektu www.scilab.org można znaleźć wersje instalacjne pakietu, dokumentację oraz wiele opracowań pomocnch podczas nauki jego użtkowania. Scilab jest pewnego rodzaju darmowm zamiennikiem komercjnego pakietu MATLAB. Przkład przedstawione w tej instrukcji opracowano prz użciu Scilab 5.5.2 i zaleca się korzstać z tej wersji oprogramowania podczas wkonwania ćwiczenia. Przeglądarka plików Przeglądarka zmiennch Konsola 3.1 Konsola Rsunek 4 Okno główne program Scilab (dla układu graficznego "Integrated") Po uruchomieniu środowiska zobaczm okno główne (Rsunek 4). W środkowm oknie można wpiswać bezpośrednio instrukcje w jęzku Scilab (podobnm do jęzka MATLAB) i uzskiwać wniki. Poniżej przedstawione zestawienie kilku podstawowch komend, które mogą bć przdatne podczas wkonwania ćwiczenia. Polecenie Znaczenie a+b a-b a*b a/b a^b a + b a b a b a b a b sqrt(2) log(2) log10(2) 2 ln (2) log 2 sin() sind() sin([rad]) sin([ ]) %pi %e π = 3,14159 e = 2,71828 A = 5 A = 5 (przpisanie wartości do smbolu) 3.2 Xcos Moduł Xcos uruchamia się wpisując w konsoli polecenie cos lub klikając niebieską ikonę na pasku skrótów (czerwon okrąg na Rsunek 4). W tm programie model smulacjn ma postać schematu blokowego, któr układam wkorzstując gotowe bloki, dostępne w przeglądarce palet (Rsunek 5). Bloki 5
z przeglądarki po prostu przeciągam na obszar okna projektu, gdzie później możem je łączć międz sobą tworząc schemat blokow model układu. Przeglądarka palet Okno projektu Rsunek 5 Program Xcos W tabeli poniżej przedstawiono bloki, które będą wkorzstwane podczas ćwiczenia. Blok Operacja Paleta k = k Operacje matematczne 1 2 = 1 2 Liczba wejść ( i ) jak i ich znak mogą zostać zmienione. Operacje matematczne = a Operacje matematczne = a Operacje matematczne = dt Sstem czasu ciągłego = A sin(ωt + φ) Parametr: A, ω, φ są podawane w ustawieniach bloku. Źródła 6
= t Źródła Blok podając czas początkow i okres odświeżania wkresu Źródła Okno z wkresem (t). Sinks 3.2.1 Budowanie smulacjnego schematu blokowego na podstawie równania różniczkowego Ab dobrze zbudować schemat smulacjn trzeba pamiętać, że prędkość to pochodna przemieszczenia v =, oraz że przspieszenie to pochodna prędkości a = v =. Podczas budowania schematu bardziej użteczne będą zależności odwrotne, tzn.: v = a dt oraz = v dt. Oznacza to, że ab obliczć przemieszczenie należ dwukrotnie scałkować funkcję przspieszenia, dlatego przgotowanie schematu blokowego należ rozpocząć od wstawienia dwóch bloków całkującch (patrz Rsunek 6). Prz dalszej budowie schematu, będziem korzstać z sgnału prędkości (za pierwszm blokiem całkującm) oraz z sgnału przemieszczenia (za drugim) ciągnąc od nich linie odgałęzienia. a = v = v = a dt = v dt Rsunek 6 Początek budow schematu blokowego Rsunek 7 Ustawienia bloku całkującego Dla obu bloków całkującch należ podać warunki początkowe, z jakich rozpocznie się smulacja. W pierwszm bloku podajem warunek na prędkość v 0 = v(0), natomiast w drugim dla przemieszczenia 0 = (0). Warunki początkowe podajem w ustawieniach, które pojawią się po dwukrotnm kliknięciu na wbran blok (patrz Rsunek 7). Schemat smulacjn budujem na podstawie równania różniczkowego opisującego modelowan układ. Do tego celu, wgodnie będzie zapisać równanie(1) w postaci: = 1 m ( k c + P 0 cos(ωt)). (7) 7
Funkcję przspieszenia należ zbudować wkorzstując prawą stronę równania (7) Rsunek 8. Później schemat trzeba jeszcze uzupełnić o blok tworzenia wkresu, na którm możem wświetlić przebieg dowolnego sgnału ze schematu. W naszm przpadku będzie to funkcja przemieszczenia. Rsunek 8 Model smulacjn zbudowan na podstawie równania (7) Ab móc wkorzstać oznaczenia smboliczne (m, k, c) w blokach budowanego modelu, muszą one mieć wcześniej przpisaną wartość. Zrobić to można przez konsolę wpisując np.: m=2. Wpiswane do programu wartości nie posiadają jednostki. Dobrą praktką jest przjęcie podawania wartości w odpowiadającch jednostkach głównch układu SI. Przed uruchomieniem smulacji, należ jeszcze ustawić jej parametr, np.: czas trwania. Ab to zrobić należ wbrać menu Smulacja, następnie Ustawienia. Pole odpowiadające za czas smulacji nazwane jest Ostateczn czas integracji (Rsunek 9). Jeżeli wszstkie parametr podaliśm w jednostkach układu SI, to wartość w tm polu będzie odpowiadać sekundą. Ab uruchomić smulację należ kliknąć przcisk start na pasku skrótów (Rsunek 10). Rsunek 10 Przcisk uruchomienia smulacji Rsunek 9 Okno ustawień smulacji 4 Przebieg ćwiczenia i sprawozdanie Zadaniem studentów jest zbudowanie modelu układu drgającego o jednm stopniu swobod w programie Xcos. Z wkorzstaniem stworzonego modelu przeprowadzenie smulacji numercznch sprawdzającch wpłw zmian parametrów na wnik smulacji zgodnie z zadaniami przewidzianmi w szablonie sprawozdania. 8
5 Wmagania wstępne przkładowe ptania 1. Zobrazuj różnicę pomiędz całką oznaczoną obliczoną analitcznie a numercznie. 2. Jeżeli na wejściu pierwszego bloku zadane jest przspieszenie, to jak nazwiesz sgnał na wjściach kolejnch bloków całkującch? Przspieszenie?????? 3. Jaki układ będzie modelowan podczas ćwiczenia? 4. Jaką komendę należ wpisać w konsoli Scilaba ab uzskać wartość liczb π lub 2? 5. Jaką operację realizuje dan blok? k 1 2 6. Drgania swobodne, tłumione układu o jednm stopniu swobod narsuj czasow przebieg przemieszczenia. Zaznacz okres drgań tłumionch T d oraz umowną amplitudę drgań A(t). 7. W jakich jednostkach wrażane są: współcznnik tłumienia c, współcznnik sprężstości k, prędkość kątowa ω? 8. Przelicz częstotliwość 12 [Hz] na częstość w [ rad s]. 9. Przelicz częstość 6[ rad s] na częstotliwość w [Hz]. Literatura????????? 1. J. Awrejcewicz: Mechanika. WNT, Warszawa 2007. 2. Z. Towarek: Mechanika ogólna. Zagadnienia wbrane. Wdawnictwo PŁ, Łódź 2004. 3. Dokumentacja na stronie projektu Scilab: www.scilab.org/resources/documentation. 9