INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Transkrypt

1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety fazowe, FFT. Wpływ warunków początkowych i wielkości kroku całkowania. mgr inż. Andrzej Weremczuk 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest wykonanie analizy danych na przykładzie modelu nieliniowego o jednym stopniu swobody oraz zbadanie wpływu warunków początkowych i kroku całkowania na rozwiązanie. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Jednym z podstawowych metod opisu zjawisk dynamicznych jest modelowanie matematyczne z wykorzystaniem równań różniczkowych. Pozwala ono na opis oraz badanie własności dynamicznych rzeczywistych obiektów. Modele badanych obiektów można otrzymać eksperymentalnie na podstawie charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych, jak również teoretycznie dzięki znajomości zachodzących na obiekcie zjawisk. Do opisu stosowane są modele liniowe bądź nieliniowe. Liniowe modele dynamiki można analizować dokładnie i różnymi metodami. Natomiast analiza dynamiki układów nieliniowych jest znacznie trudniejsza a często wręcz niemożliwa, ponieważ nie można podzielić problemu na prostsze podzadania (np. z wykorzystaniem metody superpozycji). Rozwiązanie nieliniowych równań różniczkowych rzadko jest znane, a własności układu zależą od punktu pracy i od wymuszenia. Ograniczone możliwości analitycznego badania układów nieliniowych powodują, że często wykorzystuje się badania symulacyjne. W dalszej części przedstawiono taką właśnie analizę układu nieliniowego na przykładzie modelu Duffinga. Badania układów dynamicznych na podstawie symulacji modelu polegają na analizie sygnałów (przemieszczenia, prędkości, przyspieszenia itp.) odpowiedzi układu na zmianę jego parametrów bądź wymuszenie sygnałem zewnętrznym. Otrzymywane w tym wypadku sygnały można podzielić na dwie grupy: 1) Sygnały zdeterminowane których wartości można przewidzieć w dowolnym czasie; a) sygnały okresowe,

2 - harmoniczne, - złożone (poliharmoniczne), b) sygnały nieokresowe, - prawie okresowe, - przejściowe (impulsowe). 2) Sygnały przypadkowe (losowe, stochastyczne) wartości sygnałów w każdej chwili są zmiennymi przypadkowymi; a) stacjonarne, b) niestacjonarne. W celu uzyskania informacji o składowych złożonego przebiegu drgań należy przeprowadzić analizę widmową (częstotliwościową) uzyskanego z pomiarów sygnału czasowego. Analiza sygnałów może odbywać się w sposób analogowy, cyfrowy lub mieszany. Do przetwarzania cyfrowego stosuje się najczęściej szybką transformatę Fouriera(FFT). Rys.2.1. Przebieg czasowy i widmo przyspieszenia drgań. Innym sposobem badania układów dynamicznych jest analiza przebiegów czasowych oraz portretów fazowych otrzymanych w procesie symulacji modelu. Rys.3.1. Typy portretów fazowych układów liniowych.

3 Portret fazowy to rodzina trajektorii w układzie współrzędnych [x, x ], przedstawiających zachowanie obiektu obserwowane przy stałym wymuszeniu, ale dla różnych warunków początkowych, które są wówczas jedyną przyczyną zmian obserwowanych w układzie. Jest to graficzny sposób zobrazowania własności dynamicznych obiektów. Portrety fazowe najłatwiej jest uzyskać metodami symulacyjnymi na podstawie równań różniczkowych. W układach liniowych można wyróżnić sześć charakterystycznych typów portretów związanych położeniem biegunów układu, które przedstawiono na rysunku (3.1). Każda trajektoria portretu reprezentuje ewolucję stanu obiektu od określonego warunku początkowego. Jeżeli układ jest stabilny to dąży do punktu równowagi, a jeżeli jest niestabilny to oddala się od tego kierunku. Rys.3.2. Idee stabilności (niestabilności) globalnej (lokalnej). Portrety fazowe układów nieliniowych mogą mieć jeden lub więcej punktów równowagi w zależności od rozwiązania równania statycznego. System nieliniowy może być stabilny (niestabilny) globalnie, ale jeżeli układ ma więcej punktów równowagi to może być stabilny w jednym a niestabilny w innych punktach. Wówczas wyróżnia się stabilność (niestabilność) lokalną i globalną. 3. PRZEBIEG ĆWICZENIA Układ Duffinga częściej określany, jako oscylator Duffinga, stosowany jest przede wszystkim do opisu i modelowania drgań maszyn przemysłowych. Stanowi doskonałe odzwierciedlenie ruchu amortyzowanego, czyli tłumionego oscylatora z okresowym wymuszeniem i nieliniową sprężystością. Jest to także przykład systemu dynamicznego wykazującego zachowania chaotyczne. Układ Duffinga opisuje się nieliniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu. 3 x () t + δ x () t + β xt () + γ xt () = α cos( ω t) (3.1) gdzie: δ - współczynnik tłumienia, β - liniowy współczynnik sztywności, α - nieliniowy współczynnik sztywności, γ - amplituda wymuszenia, ω - częstość wymuszenia.

4 Rys.3.1. Model oscylatora Duffinga. Do symulacji modelu przedstawionego za pomocą równania (3.1) można wykorzystać graficzny sposób definiowania dostępny w programie Simulink. Rys.3.2. Schemat modelu wykonany w programie Matlab-Simulink. Poniżej przykład kodu (w postaci m-pliku) do symulacji modelu Duffinga wykonanego w Simulinku. clear all close all clc %Parametry tk=250; %Czas symulacji w1=0; %Warunek początkowy na przemieszczenie w2=0; %Warunek początkowy na prędkość

5 delta=0.2; beta=-1; gamma=1; alfa=1; omega=1; sim('duffing'); %Symulacja modelu figure(1) plot(t,x,'b-') xlabel('t (s)') ylabel('x (t)') legend('przemieszczenie x (t)') figure(2) plot(t,v,'b-') xlabel('t (s)') ylabel('v (t)') legend('prędkość v (t)') figure(3) plot(v,x,'b-') xlabel('v (t)') ylabel('x (t)') legend('wykres fazowy') time=[0:0.001:tk]; %Procedura fft response=x; npts = length(time); Tmax = max(time); Tmin = min(time); dt = (Tmax-Tmin)/(npts-1); deltaf = 2*pi/(Tmax-Tmin); fft_out = pi/npts*fft(response(:)); omega = deltaf*(0:npts-1); figure(4) plot(omega,abs(fft_out), 'b-') xlabel('omega rad/s') ylabel('amplituda') legend('widmo sygnału') axis([ ]); 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW W celu opracowania wyników należy: - zbudować model układu dynamicznego w Simulinku, - wprowadzić w ustawieniach metodę całkowania oraz krok całkowania, - napisać skrypt w postaci m-pliku, który umożliwiał będzie symulację modelu dla różnych parametrów, - wykonać symulację modelu dla parametrów z tabeli 4.1 (lub innych parametrów podanych przez prowadzącego), - wyniki symulacji przedstawić w postaci przebiegów czasowych (przemieszczenia, prędkości), wykresów fazowych oraz widma sygnału,

6 - zbadać wpływ warunków początkowych na wyniki symulacji, - zbadać wpływ kroku całkowania na wyniki symulacji. Tabela 4.1 Parametry Wariant 1 Wariant 2 Wariant 3 Wariant 4 Czas symulacji Delta 0,2 0,2 0,2 0,2 Beta Gamma 0,1 0,1 1 0,1 Alfa 0,3 0,3 0,3 1 Omega SPRAWOZDANIE Sprawozdanie powinno zawierać: - temat ćwiczenia, - cel ćwiczenia, - schemat badanego modelu dynamicznego, - wyniki symulacji w postaci wykresów dla określonych parametrów (np. zebrane w postaci tabeli), - wnioski. 6. BIBLIOGRAFIA 1. A. Zalewski, R. Cegieła, Matlab - Obliczenia numeryczne i ich zastosowania 2. B. Mrozek, Z. Mrozek, Matlab - Poradnik użytkownika 3. D. Higham, N. Higham, Matlab guide 4.