Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Transkrypt

1 Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna i całkowalna funkcja f taka, że dla każdej liczb rzeczwistej x zachodzi F (x) = x f(t)dt. Funkcję f nazwam gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X. Własności gęstości prawdopodobieństwa f(x) 0 dla każdego x R f(x)dx = f(x) = F (x), jeżeli dstrbuanta F jest funkcją różniczkowalną Zmienna losowa tpu ciągłego Zauważm, że dla zmiennej losowej X tpu ciągłego mam: P (X = a) = 0 dla każdego a R; P (a X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = b = P (a < X < b) = f(x)dx = F (b) F (a). a Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej Mówim, że dan jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dstrbuanta zmiennej losowej X, względnie gd dana jest jej gęstość prawdopodobieństwa. Podstawowe rozkład ciągłe rozkład jednostajn (prostokątn, równomiern) na przedziale a, b rozkład normaln (Gaussa) o parametrach m, σ rozkład wkładnicz Rozkład jednostajn na przedziale a, b Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego jest określona wzorem: 0 dla x < a, f(x) = b a dla a x b, 0 dla x > b. b a 0 a b x Rsunek. Wkres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego

2 Rozkład jednostajn na przedziale a, b Dstrbuanta rozkładu jednostajnego ma postać: 0 dla x a, x a F (x) = b a dla a < x b, dla x > b. EX = a + b 2, (b D2 a)2 (X) = 2 Rozkład normaln N(m, σ) Rozkład normaln z parametrami m, σ oznaczan jest smbolem N(m, σ). Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest określona wzorem: f(x) = σ (x m) 2 e 2σ 2, gdzie m R, σ > 0. = e (x m)2 2σ 2 σ 0 m σ m m + σ x Rsunek 2. Wkres funkcji gęstości rozkładu normalnego N(m, σ) Rozkład normaln N(0, ) Jeżeli m = 0 i σ =, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać f(x) = e x2 2 i oznaczam ją przez ϕ(x). ϕ(x) = e x2 2 0 σ = x Rsunek 3. Wkres funkcji gęstości rozkładu normalnego N(0, ) Rozkład normaln N(0, ) Dstrbuanta rozkładu normalnego N(0, ) ma postać: Φ(x) = x e t2 2 dt. φ(x) = x e t2 2 dt 2 0 x Rsunek 4. Wkres dstrbuant rozkładu normalnego N(0, ) 2

3 Rozkład normaln Funkcje ϕ i Φ są stablicowane. Fakt, że zmienna losowa ma rozkład normaln z parametrami m, σ zapisujem skrótowo X N(m, σ). EX = m, D 2 (X) = σ 2. Standarzacja zmiennej losowej Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N(m, σ), to zmienna losowa Y = X m σ ma rozkład N(0, ). Wted F (x) = P (X < x) = P ( ) ( ) ( X m σ < x m σ = P Y < x m σ = Φ x m ) σ, gdzie Φ jest dstrbuantą zmiennej losowej Y. Taki proces nazwam standarzacją zmiennej losowej. Rozkład normaln N(0, ) Z smetrii wkresu gęstości ϕ względem osi OY wnika, że Φ( x) = Φ(x). Często w tablicach, zamiast wartości funkcji Φ(x), podane są wartości funkcji Φ 0 (x) = Z własności dstrbuant Φ(x) mam wted: Φ(x) = 2 + Φ 0(x). x 0 e t2 2 dt. Rozkład wkładnicz Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wkładniczego jest określona wzorem: 0 dla x < 0, f(x) = λ e x λ dla x 0, gdzie λ > 0. { 0, dla x < 0, λ f(x) = λ e λ x dla x 0 0 x Rsunek 5. Wkres funkcji gęstości rozkładu wkładniczego Rozkład wkładnicz Dstrbuanta rozkładu wkładniczego ma postać: 0 dla x 0, F (x) = e x λ dla x > 0. EX = λ, D 2 (X) = λ 2 Inne rozkład zmiennch losowch wkorzstwane w statstce 3

4 rozkład t-studenta rozkład χ 2 (chi kwadrat) rozkład F -Snedecora Parametr rozkładu zmiennej losowej wartość oczekiwana (wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematczna) wariancja odchlenie standardowe mediana moda Wartość oczekiwana Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematczną) zmiennej losowej X tpu skokowego o rozkładzie p i = P (X = x i ), gdzie i {, 2,... }, nazwam liczbę EX = i= x i p i, prz założeniu, że suma i= x i p i jest skończona albo szereg nieskończon x i p i jest zbieżn. i= Wartość oczekiwana Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X tpu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazwam liczbę EX = xf(x)dx, prz założeniu, że całka x f(x)dx jest zbieżna. Podstawowe własności wartości oczekiwanej E(aX + b) = aex + b, gdzie a, b R jeżeli X i Y są dowolnmi zmiennmi losowmi, dla którch istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY, to E(X + Y ) = EX + EY jeżeli istnieje E X, to prawdziwa jest nierówność EX E X wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozcjnm: wskazuje punkt środkow rozkładu, tzn. punkt, wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej interpretacja fizczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa zinterpretujem jako mas Uwaga. Jak wnika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórch zmiennch losowch nie istnieje (odpowiedni szereg lub odpowiednia całka nie są zbieżne). Wariancją zmiennej losowej X nazwam liczbę Wariancja D 2 (X) = E(X EX) 2. Jeżeli X jest zmienną losową tpu skokowego o rozkładzie p i = P (X = x i ), i {, 2,... }, i wartości oczekiwanej EX = m, to D 2 (X) = i (x i m) 2 p i. 4

5 Jeżeli X jest zmienną losową tpu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX = m, to D 2 (X) = (x m) 2 f(x)dx. Podstawowe własności wariancji D 2 (X) = E(X 2 ) (EX) 2 D 2 (ax + b) = a 2 D 2 (X), gdzie a, b R D 2 (X) 0 dla dowolnej zmiennej losowej X wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej Odchleniem standardowm nazwam liczbę Odchlenie standardowe D(X) = D 2 (X). Podstawowe własności odchlenia standardowego: D(aX + b) = a D(X), gdzie a, b R D(X) 0 dla dowolnej zmiennej losowej X odchlenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej Rozkład jednopunktow:. Rozkład zero-jednkow: EX = p, D 2 (X) = pq. Rozkład Bernoulliego: EX = np, D 2 (X) = npq. Rozkład Poissona z parametrem λ: EX = λ, D 2 (X) = λ. Wartości EX oraz D 2 (X) dla podstawowch rozkładów skokowch Rozkład jednostajn na przedziale a, b : EX = a + b 2, (b D2 a)2 (X) =. 2 Rozkład normaln N(m, σ): EX = m, D 2 (X) = σ 2. Rozkład wkładnicz z parametrem λ: EX = λ, D 2 (X) = λ 2. Wartości EX oraz D 2 (X) dla podstawowch rozkładów ciągłch Mediana Medianą zmiennej losowej X nazwam liczbę M e spełniającą warunki: P (X Me) 2 oraz P (X Me) 2. W przpadku zmiennej losowej tpu ciągłego o gęstości f powższe nierówności redukują się do jednego z dwóch równań: Me f(x)dx = 2 lub f(x)dx = 2. Mediana jest parametrem, któr nie zawsze jest wznaczon w sposób jednoznaczn. Czasami zdarza się nawet, że mediana jest dowolną liczbą z pewnego przedziału domkniętego. 5 Me

6 Moda Modą M o (dominantą) zmiennej losowej X nazwam: w przpadku zmiennej losowej tpu skokowego - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo; w przpadku zmiennej losowej tpu ciągłego - wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa przjmuje maksimum lokalne. Moda jest więc wartością, która należ do zbioru wartości zmiennej losowej. Istnieją rozkład jednomodalne (jest tlko jedna moda), wielomodalne (więcej niż jedna moda) oraz takie, dla którch moda nie istnieje. Mediana i moda to, podobnie jak wartość oczekiwana, parametr charakterzujące położenie zbioru wartości zmiennej losowej. Są to tzw. wskaźniki położenia lub inaczej charakterstki pozcjne. 6