Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Transkrypt

1 Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji. 2. Wprowadzenie Jeżeli dowolny proces, lub układ sterowania, znajduje się w stanie równowagi (o zerowych warunkach początkowych) i na jego wejście wprowadzi się jedno z wymuszeń podanych w Tablicy 1, to uzyskany przebieg sygnału wyjściowego tego procesu (układu) nazywa się charakterystyką dynamiczną czasową. Jeżeli wymuszenie miało przebieg zgodny z funkcją impulsową, to otrzymana odpowiedź nazywana jest charakterystyka dynamiczna impulsową. Jeżeli wymuszenie miało przebieg zgodny z funkcją skokową, to otrzymana charakterystyka dynamiczna czasowa nazywana jest odpowiedzią skokową. W praktyce najczęściej stosuje się charakterystyki skokowe. Charakterystyki impulsowe w wielu przypadkach są trudne do technicznego wykonania, mają bardziej znaczenie teoretyczne. Wymuszenia liniowo- lub parabolicznie- narastające stosuje się m. innymi do: identyfikacji właściwości dynamicznych procesów, testów, zapisu przebiegu wartości zadanej itp. Z definicji charakterystyki dynamicznej czasowej wynika, że jest to odpowiedź układu, otrzymana dla zerowych warunków początkowych, na jedno z wymuszeń przedstawionych w tablicy 1. Określenie "obliczanie odpowiedzi układu" nawiązuje do sensu fizycznego zadania matematycznego, które jest rozwiązaniem równania różniczkowego dla określonych warunków początkowych. Te ogólnie określone "warunki początkowe" definiowały początkowy stan równowagi układu. W ogólnym przypadku, dowolny jednowymiarowy układ liniowy, może być rozpatrywany jako proces, zamknięty układ regulacji lub każdy inny dowolny układ, można opisać transmitancją operatorową ( ) o pierwszej postaci kanonicznej w sposób: G(s)= b ms m +b m 1 s m b 1 s+b 0 a n s n +a n 1 s n a 1 s+a 0,n m (1.1) Wobec tego odpowiedź układu, tj. transformata sygnału wyjściowego ( ) wynosi a oryginał tego sygnału przedstawia się w sposób: Y (s)=x (s) G(s) y(t )=L 1 [X (s) G(s)]. (1.2) (1.3) W celu obliczenia odpowiedzi określonego układu w funkcji czasu (t) - oryginału funkcji, konieczna jest znajomość: wymuszenia (t), transmitancji operatorowej G(s) oraz warunków

2 początkowych, w których znajduje się układ w chwili wprowadzania wymuszenia (t). Transmitancje operatorowe typowych obiektów regulacji znajdują się w Tabeli Obliczanie odpowiedzi skokowej Rozpatrzona zostanie postać ogólna odpowiedzi układ o transmitancji (1.1), otrzymana dla wymuszenia skokowego: x(t)=x st 1(t ), X (s)= x st s, (1.4) (1.5) oraz zerowych warunków początkowych. Zgodnie z zależnością (1.2) otrzyma się: Y (s)= x st s b m s m +b m 1 s m b 1 s+b 0 a n s n +a (n 1) s n a 1 s+a 0,n m (1.6) Gdyby transmitancja operatorowa ( ) miała postać funkcji elementarnej, to przebieg ( ) można byłoby odczytać bezpośrednio z tablic transformat. Y (s)=x st( A 0 + A 1 + A A k + B 1 B + 2 s s 0 s s 1 s s 2 s s k s s k+1 (s s B m ) (s) k+1) 2 (s s k+m) m+... =L M (s) Najbardziej ogólny przypadek dotyczy równania charakterystycznego, które posiada pierwiastków jednokrotnych (zarówno rzeczywistych jak i zespolonych sprężonych) oraz pierwiastków wielokrotnych. Wówczas zależność (1.6) może być zapisana w sposób: (1.7) y(t )=x st (A 0 e s 0t +A 1 e s 1t +A 2 e s 2t +...+A k e s kt +B 1 e s k+1 t +B 2 te s k+1 t +...+B m t m e s k+1 t +...) 4. Odpowiedź impulsowa Dla przypadku ogólnego, charakterystykę impulsową układu, otrzymuje się dla wymuszenia: x(t)=δ (t ), X (s)=1, (1.9) (1.10) (1.11) oraz zerowych warunków początkowych. Zgodnie z zależnością (1.2) otrzyma się: Y (s)= b ms m +b m 1 s m b 1 s+b 0 a n s n +a (n 1) s n a 1 s+a 0,n m (1.12)

3 gdzie: Politechnika Lubelska, Katedra Automatyzacji ( )- licznik transformaty Y(s) ( ) - mianownik transformaty Y(s) W celu wyznaczenia oryginału funkcji(1.12) należy postępować analogicznie jak w przypadku odpowiedzi skokowej. Tabela 1. Zestawienie typowych sygnałów wymuszających :

4 Tabela 1: Zestawienie równań oraz charakterystyk skokowych członów dynamicznych [2]

5 5. Przebieg ćwiczenia Student ma za zadanie wyznaczyć odpowiedzi skokowe i impulsowe dla: Element o właściwościach proporcjonalnych (k=5) Element o właściwościach całkujących idealnych (T=5) Element o właściwościach całkujących rzeczywistych (k=2, T=5) Element o właściwościach różniczkujących rzeczywistych (k=5, T=2) Element o właściwościach inercyjnych I-go rzędu (k=6, T=3) Element o właściwościach inercyjnych II-go rzędu (k=8, T1=1, T2=4) Element o właściwościach oscylacyjnych (k=5, T=2, ξ=0 ξ =0.2 ξ =0.6 ξ =1) (Cztery przypadki) Element o właściwościach opóźniających (k=2, τ =5) Dodatkowo: Wyznaczyć odpowiedź skokową układu złożonego z dowolnej kombinacji trzech wyżej wymienionych elementów. 6. Przykładowy sposób realizacji zadania Chronologicznie: -pierwszym krokiem ćwiczenia jest utworzenie nowego katalogu w lokalizacji pulpit, katalog proszę nazwać swoim imieniem i nazwiskiem, -następnie należy utworzyć kolejny katalog we wcześniej utworzonym katalogu, o nazwie Ćwiczenie nr 1, -uruchomić program Scilab, -uruchomić moduł Xcos poprzez wpisanie komendy xcos w konsoli programu Scilab, Komentarz: Powoduje to uruchomienie dwóch okien: przeglądarki palet (biblioteka wszystkich możliwych bloków używanych w symulacji), okno projektu (okno w którym dodaje się i łączy ze sobą bloki z przeglądarki palet w celu uzyskania wymaganego algorytmu). -zapisać pusty projekt xcos we wcześniej utworzonym folderze pod dowolną nazwą, -następnie z biblioteki Systemy czasu ciągłego należy wprowadzić bloczek CLR (reprezentuje on transmitancje operatorową G(s)) i wprowadzić go do przestrzeni roboczej (rys 1) poprzez przeciągnięcie bloku. -następnie z biblioteki źródła należy wprowadzić blok STEP_FUNCTION (wymuszenie skokowe) oraz Clock_c (umożliwi to wizualizacje przebiegów funkcji). Kolory następnych przebiegów Rysunek 1: Schemat przedstawiający zasadę generowania oraz wizualizacji sygnału

6 -z biblioteki sinks należy wprowadzić blok CSCOPE a z biblioteki powszechnie stosowany blok funkcję MUX. Należy połączyć układ jak na rys. 3, Rysunek 2: Przestrzeń robocza; po lewej przeglądarka palet, po prawej pole robocze -dwukrotnie klikając lewym przyciskiem myszy należy wejść w ustawienia bloku CLR, w liczniku funkcji (ang. Numerator) wprowadzamy wartość 1, natomiast w mianowniku (ang. denominator) wprowadzamy wartość 1*s+1. Za modelowany został w ten sposób obiekt inercyjny pierwszego rzędu o wzmocnieniu k=1 oraz inercji T=1(rysunek 3). Rysunek 3: Schemat przedstawiający odpowiedź skokową

7 Wejście Obiekt dynamiczny Wyjście Czas Czas Rysunek 4: Schemat przedstawiający odpowiedź czasową członu inercyjnego Komentarz: Rys 4 przedstawia zasadę symulacji. Człon dynamiczny (blok CLR) który w rozpatrywanym przypadku jest inercyjny I-rzędu poddawany jest wymuszeniu (wejście) skokowym, w wyniku czego rejestrowany jest przebieg sygnału wyjściowego (wyjście). Parametry członu inercyjnego (k=1, T=1) mają wpływ na przebieg sygnału wyjściowego. Zakładając że członem inercyjnym jest proces nagrzewania żelazka lub grzałki, parametry członów mają wpływ na szybkość nagrzania itp. -następnym etapem jest ustawienie parametrów symulacji. W zakładce symulacja -> ustawienia należy wprowadzić ostateczny czas integracji równy 30 (jest to czas symulacji) (rys. 5). Ważne jest, aby czas integracji ustawiony w zakładce symulacja był taki sam jak parametr Refresh period ustawiony we właściwościach bloczka CSCOPE. Rysunek 5: Parametry symulacji

8 -po naciśnięciu przycisku start symulacja zostanie uruchomiana i wygenerowany zostanie przebieg przedstawiający odpowiedź skokową za modelowanego układu (rys. 4). -następnie należy wygenerować wymuszenie (wejście) impulsowe, w tym celu należy dodać dwa bloki funkcji skokowej przesunięte od siebie o małą wartość czasu (np sekundy), oraz człon sumacyjny (o parametrze odejmowania) Człon sumujący Odejmowanie Rysunek 6: przedstawienie wygenerowania sygnału impulsowego - celem ćwiczenia jest przeprowadzenie symulacji odpowiedzi skokowych oraz impulsowych określonych członów dynamicznych, w tym celu najlepiej z wizualizować wszystkie przebiegi w jednym bloku CMSCOPE, w tym celu należy utworzyć model jak przedstawiono na rys 7.

9 przebieg przedstawiający odpowiedź skokową za modelowanego układu (rys. 8). Wynik symulacji przedstawiono na rys 8. Odpowiedź skokowa Odpowiedź impulsowa Czas Rysunek 8: Wynik symulacji; wykres górny: odpowiedź skokowa (zielony- wymuszenie (wejście), czarny- odpowiedź układu (wyjście); odpowiedź impulsowa (czerwonywymuszenie (wejście)), zielony - odpowiedź układu (wyjście))

10 Komentarz: Uzyskane wykresy przedstawiają odpowiedź skokową oraz impulsową członu inercyjnego pierwszego rzędu. Przykładem może być proces nagrzewania grzałki, gdzie sygnał wymuszający skokowy (wejście) przedstawia załączenie zasilania grzałki np. w jednostce Voltów, zaś odpowiedzią układu jest zmiana temperatury grzałki (wyjście / odpowiedź skokowa). Po upływie pewnej ilości czasu temperatura przestaje się zmieniać. Parametry członu inercyjnego takie jak k (wzmocnienie) oraz T (stała czasowa) określają relację pomiędzy wartością zadaną napięcia a uzyskaną temperaturą (k), oraz czas nagrzewania (T). 7. Sprawozdanie i pytania kontrolne Sprawozdanie powinno zawierać: -cel ćwiczenia, - przebieg ćwiczenia (odpowiedź skokową i impulsową wszystkich elementów z punktu 5.) -dla wszystkich uzyskanych przebiegów (przypadków) należy podać związek przyczynowo skutkowy (jak w komentarzu powyżej), wyjaśniając zrozumienie relacji, 8. Pytania Kontrolne: 1. Definicja charakterystyki dynamicznej czasowej. 2. Różnica miedzy charakterystyką skokową a impulsową. 3. Narysować przebieg charakterystyki skokowej wybranego elementu. Opisać osie. 4. Narysować przebiegi typowych wymuszeń oraz zapisać ich funkcję. 5. Wyjaśnić działanie następujących bloków: STEP_FUNCTION, CSCOPE, CMSCOPE, BIGSOM_f. 5 Literatura 1. Marek Żelazny Podstawy Automatyki 2. Janusz Kowal Podstawy Automatyki