OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Transkrypt

1 OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego

2 Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań, które możnaby wyrazić w postaci zamkniętej. Konieczne jest wobec tego poszukiwanie rozwiązań przybliżonych. Podstawową przybliżoną metodą znajdowania rozwiązań równań ewolucji czasowej jest rachunek zaburzeń. Rachunek zaburzeń Rachunek zaburzeń można stosować wtedy, gdy oddziaływanie elektronu atomowego z falą elektromagnetyczną nie jest silne, tzn. fala elektromagnetyczna prowadzi do słabego zaburzenia układu atomowego. Warunek ten będzie spełniony jeżeli natężenie fali elektromagnetycznej nie będzie zbyt duże. W przybliżeniu półklasycznym możemy opisywać procesy wymuszone tj. absorpcję i emisję wymuszoną

3 Absorpcja "! #$%&'()*+,$-)./ #$%&'-)0*)./

4 Warunek początkowy dla absorpcji Rozwinięcie (.9) na szereg funkcji własnych zagadnienia niezaburzonego Ψ(t) = k c k (t)e i E k t φ k. (4.1) przyjmuje teraz postać Ψ(t) =c 1 (t)e i E1t φ 1 + c (t)e i Et φ (4.) Zgodnie z równaniem (.15) współczynniki rozwinięcia c 1 (t), c (t) mają fizyczny sens amplitud prawdopodobieństwa wykrycia elektronu w stanie niezaburzonym φ 1 lub φ. Odpowiednie prawdopodobieństwa są równe P 1 (t) = c 1 (t), P (t) = c (t). Z rysunku widać, że w chwili początkowej t = 0 mamy P 1 (0) =1, P (0) =0, co pozwala przyjąć warunek początkowy dla absorpcji w postaci c 1 (0) =1, c (0) =0. (4.3)

5 Rachunek zaburzeń Równania ewolucji czasowej w przybliżeniu dwupoziomowym (3.7) mają postać dc 1 (t) = iλe iω0t cos(ωt) c (t), dt (4.4) dc (t) = iλ e iω0t cos(ωt) c 1 (t). dt (4.5) Założenie mówiące o tym, że fala elektromagnetyczna nie jest zbyt silna i prowadzi wobec tego do niewielkiego zaburzenia układu atomowego pozwala w pierwszym przybliżeniu rachunku zaburzeń podstawić do prawej strony (4.5) warunek początkowy, tj. zastąpić c 1 (t) przez c 1 (0) =1.Równanie dla amplitudy prawdopodobieństwa obsadzenia poziomu, c (t), zapiszemy w tym przybliżeniu jako dc (t) dt = iλ cos(ωt) e iω0t (4.6)

6 Rachunek zaburzeń Równanie to można rozwiązać przez proste całkowanie. Uwzględniając warunek początkowy c (0) =0 otrzymujemy t c (t) iλ cos(ωt )e iω0t dt + c (0), (4.7) co po obliczeniu całki daje c (t) iλ 0 [ e i(ω+ω 0)t 1 i(ω + ω 0 ) ] e i(ω ω0)t 1. (4.8) i(ω ω 0 ) Zakładamy, że częstość fali elektromagnetycznej ω jest dostrojona do częstości rezonansowej ω 0, tj. ω ω 0. W tej sytuacji mianownik pierwszego składnika w nawiasie jest dużo większy od mianownika drugiego wyrażenia, czyli ω + ω 0 >> ω ω 0.

7 Przybliżenie fali wirującej (RWA) 1 W celu zorientowania się w rzędach wielkości załóżmy, że przejście między poziomami 1 i odpowiada światłu czerwonemu o długości fali λ = 60 nm = 6, 10 7 m. Częstość fali wynosi ν = c/λ = Hz., a częstość kołowa ω = πν = 3, Hz. Typowe rozstrojenie ω ω 0 między falą elektromagnetyczną i atomem jest rzędu 10 7 Hz = 10 MHz, skąd widać, że (ω + ω 0 )/ ω ω , czyli osiem rzędów wielkości. Tak więc pierwszy składnik w nawiasie w (4.8) będzie stanowił około 10 8 drugiego składnika i może być wobec tego pominięty. Dla amplitudy c (t) otrzymujemy c (t) λ e i(ω ω0)t 1 ω ω 0. (4.9) Przybliżenie, w którym pomijamy wyrazy zawierające sumę częstości nosi nazwę przybliżenia fali wirującej. 1 Skrót angielskiej nazwy Rotating Wave Approximation

8 Współczynnik absorpcji Prawdopodobieństwo absorpcji znajdziemy obliczając prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu, P (t) = c (t) = 1 4 λ e i(ω ω0)t 1 (ω ω 0 ), (4.10) gdzie teraz [por. (3.6)] λ = ξ 1 E 0 /.Obliczając kwadrat modułu zgodnie z ogólnym wzorem z 1 =(z 1)(z 1) = z Re(z)+1, mamy ( ) ω e i(ω ω0)t 1 = cos[(ω ω 0 )t)] = 4 sin ω0 t

9 Współczynnik absorpcji Dla prawdopodobieństwa absorpcji otrzymujemy P (t) = 1 ( sin ω ω 0 4 λ t ) ). ( ω ω0 (4.11) #'##( Wykres prawdopodobieństwa P (t) przedstawiony jest z prawej strony.!! "# $% "! "# $& "'!! "# $& (! "# $& #'#" #'##* #'##& #'##)! " #$% $&!"# $%&"'(%)*+,*-.-/-01& $%&"'(%)*+,*-.--01&

10 Współczynnik absorpcji Współczynnik absorpcji określa szybkość zmian obsadzenia poziomu i interpretujemy go jako prawdopodobieństwo obsadzenia tego poziomu na jednostkę czasu. Ze względu na oscylacyjny charakter P (t) jako funkcji czasu nie można obliczać współczynnika absorpcji jako pochodnej czasowej (4.11), gdyż nie otrzymamy wtedy tej wielkości, która jest wynikiem pomiaru współczynnika absorpcji. Istota problemu polega na tym, że w sytuacjach rzeczywistych nigdy nie mamy do czynienia ze ściśle monochromatycznym promieniowaniem optycznym. Każda fala elektromagnetyczna, w tym także w optycznym zakresie widma, charakteryzuje się rozrzutem częstości (równoważnie długości fal). Rozrzut ten jest niewielki w przypadku wiązki emitowanej przez laser, ale względnie szeroki np. dla promieniowania termicznego. Fakt ten musimy wziąć pod uwagę przy obliczaniu współczynnika absorpcji.

11 Współczynnik absorpcji To, że fala elektromagnetyczna charakteryzuje się pewnym widmem częstości powoduje, że amplituda pola elektrycznego jest funkcją częstości. Oznaczając przez e jednostkowy wektor polaryzacji fali spolaryzowanej liniowo zapiszemy amplitudę pola elektrycznego jako E 0 = ee 0 (ω). Gęstość energii fali zależy wtedy od częstości i jest równa w(ω) =ε 0 E 0 (ω). (4.1) W wyrażeniu dla prawdopodobieństwa obsadzenia poziomu, P (t) = 1 ξ 1 E 0 sin ( ω ω0 t ) 4 ) (4.13) ( ω ω0 podstawiamy E 0 (ω) = w(ω)/ε 0 zamiast E 0. Otrzymana w ten sposób funkcja częstości ma fizyczny sens gęstości prawdopodobieństwa obsadzenia poziomu. Po pomnożeniu przez dω otrzymamy prawdopodobieństwo absorpcji wywołanej przez promieniowanie o częstościach w przedziale (ω, ω + dω).

12 Współczynnik absorpcji Oznaczając to prawdopodobieństwo przez dp a (t) mamy dp a (t) = 1 ξ 1 e 4 w(ω) ε 0 sin ( ω ω0 t ) ) dω. (4.14) ( ω ω0 Całkowite prawdopodobieństwo absorpcji w chwili t jest równe P a (t) = dp a (t) = 1 ξ 1 e ( 4 w(ω) sin ω ω 0 t ) ) ε dω. (4.15) 0 0 ( ω ω0

13 Współczynnik absorpcji Wykres funkcji sin ( ω ω 0 t )!"!%#!"!%!"!$#!"!$!"!!# ( ω ω0 )! 0! Przybliżone obliczenie całki Funkcja podcałkowa w (4.15) zawiera dwa czynniki: szybko zmieniający się czynnik przedstawiony na wykresie obok i wolno zmieniający się w porównaniu z nim czynnik w(ω). Główny wkład do całki pochodzi od względnie wąskiego otoczenia częstości rezonansowej, w którym dla w(ω) można z dobrym przybliżeniem przyjąć jej wartość rezonansową w(ω 0 ). Dzięki temu, że częstości odległe od ω 0 daja niewielki wkład do całki, można przyjąć granice całkowania od do.

14 Współczynnik absorpcji Dla całkowitego prawdopodobieństwa absorpcji otrzymujemy sin ( ω ω 0 t ) P a (t) = 1 ξ 1 e 4 w(ω 0 ) ε 0 ( ω ω0 ) dω. (4.16) Po zamianie zmiennej całkowania x =(ω ω 0 )t/ sprowadzamy (4.16) do P a (t) = 1 ξ 1 e sin x 4 w(ω 0 ) t ε 0 x dx. (4.17) Korzystamy dalej z tego, że sin x x dx = π.

15 Współczynnik absorpcji Dla prawdopodobieństwa absorpcji otrzymujemy P a (t) = π ξ 1 e ε 0 w(ω)t, (4.18) i stałe prawdopodobieństwo absorpcji na jednostkę czasu dp a (t) dt = π ξ 1 e ε 0 w(ω) (4.19) Obliczyliśmy w ten sposób współczynnik absorpcji w tym przypadku, gdy światło padające na atom jest spolaryzowane. W przypadku promieniowania niespolaryzowanego trzeba uśrednić po kierunkach polaryzacji, co prowadzi do zastąpienia ξ 1 e ξ 1 /3.

16 Współczynnik absorpcji Ostateczne wyrażenie dla współczynnika absorpcji na jednostkowe natężenie wiązki padającej (współczynnik B Einsteina) ma postać B = π 6 ξ 1 ε 0. (4.0) Prawdopodobieństwo absorpcji na jednostkę czasu jest równe dla światła niespolaryzowanego dp a dt = Bw(ω), (4.1)

17 Współczynnik emisji wymuszonej Emisja wymuszona W procesie emisji wymuszonej elektron znajduje się początkowo w stanie o wyższej energii, a następnie pod wpływem zewnętrznej fali elektromagnetycznej przechodzi do stanu o niższej energii emitując dodatkowy foton. "! Równania ewolucji czasowej mają postać (3.7) dc 1 (t) = iλe iω0t cos(ωt) c (t), dt dc (t) = iλ e iω0t cos(ωt) c 1 (t), dt przy czym λ = ξ 1 E 0 /. Warunek początkowy przyjmujemy jako c 1 (0) =0, c (0) =1. #$%&'()*+,$-)./ #$%&'-)0*)./

18 Współczynnik emisji wymuszonej Rozwiązując równania ewolucji dla emisji wymuszonej w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń podstawiamy do prawej strony pierwszego równania c (0) zamiast c (t). Prowadzi to do równania dla zmian amplitudy c 1 (t), dc 1 (t) dt = i ξ 1 E 0 cos(ωt) e iω0t, (4.) co po scałkowaniu i uwzględnieniu warunku początkowego daje ξ c 1 (t) =i 1 E 0 i ξ 1 E 0 1 t 0 [ e i(ω ω 0)t 1 i(ω ω 0 ) cos(ωt ) e iω0t dt = ] e i(ω+ω0)t 1 i(ω + ω 0 ) Po zastosowaniu przybliżenia fali wirującej (4.9) otrzymamy (4.3)

19 amplitudę prawdopodobieństwa obsadzenia dolnego poziomu. c 1 (t) = ξ 1 E 0 e i(ω ω0)t 1 ω ω 0 (4.4) Emisja wymuszona Prawdopodobieństwo obsadzenia dolnego poziomu w procesie emisji wymuszonej P 1 (t) = c 1 (t) = ξ 1 E 0 sin ( ω ω0 t ) 4 ) (4.5) ( ω ω0 Absorpcja Prawdopodobieństwo obsadzenia górnego poziomu w procesie absorpcji 1 ξ 1 E 0 4 P (t) = sin ( ω ω0 t ) ) (4.6) ( ω ω0

20 Współczynnik emisji wymuszonej Widać stąd, że prawdopodobieństwa emisji wymuszonej i absorpcji są sobie równe, skąd wynika, że także współczynniki obu tych procesów będa takie same. Tak więc współczynnik emisji wymuszonej jest równy współczynnikowi B Einsteina (4.18) B = π 6 ξ 1 ε 0, (4.7) a prawdopodobieństwo emisji wymuszonej na jednostkę czasu dp ew dt = Bw(ω), (4.8) gdzie w(ω) jest natężeniem światła padającego na atom.