3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci

Transkrypt

1 .. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam parę liczb, które spełniają dane równanie. Ilustracją graficzną równania liniowego z dwiema niewiadommi jest prosta. Przkład... Sprawdź, która z par (, ), (,0) 0 jest rozwiązaniem równania 0, Odp. (, ) nie jest rozwiązaniem równania. 0 (,0) Odp. (,0) jest rozwiązaniem równania., jest rozwiązaniem równania, podstawiając Sprawdzam, cz para, Po uproszczeniu otrzmujem równość fałszwą. Zatem (, ) nie jest rozwiązaniem równania. Sprawdzam, cz para (,0) jest rozwiązaniem równania, podstawiając, 0 Po uproszczeniu otrzmujem równość prawdziwą.,0 jest rozwiązaniem równania. Zatem

2 Układ równań liniowch z dwiema niewiadommi Układem równań liniowch z dwiema niewiadommi jest układ c b a c b a Układ równań liniowch z dwiema niewiadommi moŝna rozwiązać metodą podstawiania, metodą przeciwnch współcznników, metodą graficzną. Przkład... RozwiąŜ układ równań metodą podstawiania 7 4 / Odp. Układ ma jedno rozwiązanie Metoda podstawiania polega na wznaczeniu niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego, otrzmujem wówczas równanie z jedną niewiadomą, które rozwiązujem. Z drugiego równania wznaczam niewiadomą i podstawiam ją do pierwszego równania. Drugie równanie przepisujem, a pierwsze rozwiązujem. Znalezioną wartość podstawiam do drugiego równania i obliczam.

3 4 Przkład... RozwiąŜ układ równań metodą przeciwnch współcznników 4 Metoda przeciwnch współcznników polega na pomnoŝeniu równania lub równań przez liczbę lub liczb, w taki sposób, ab otrzmując prz jednej niewiadomej przeciwne współcznniki, wówczas po dodaniu stronami obu równań otrzmujem równanie z jedną niewiadomą które rozwiązujem. 4 / / / 9 4 / Ab prz niewiadomej otrzmać przeciwne współcznniki, mnoŝm pierwsze równanie przez, a drugie przez. Równania dodajem stronami i rozwiązujem równanie z niewiadomą. Znalezioną wartość podstawiam do pierwszego równania i obliczam. Odp.. Układ ma jedno rozwiązanie

4 Ilustracja graficzna układu równań liniowch Liczba rozwiązań Nazwa układu jednm Proste przecinają się w punkcie (, ), którego współrzędne (,) są rozwiązaniem układu jedno rozwiązanie (,) układ oznaczon lub układ równań niezaleŝnch Proste są równoległe rozłączne, nie mają punktów wspólnch nie ma rozwiązania układ sprzeczn lub układ równań sprzecznch Proste pokrwają się, kaŝd punkt leŝąc na tch prostch jest rozwiązaniem układu nieskończenie wiele rozwiązań układ nieoznaczon lub układ równań zaleŝnch

5 Przkład..4. RozwiąŜ algebraicznie układ równań. Wkonaj ilustrację graficzną układu. a) 0 / / 7 0 / Odp. Układ ma jedno rozwiązanie Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Metoda graficzna (ilustracja graficzna) układu polega na narsowaniu prostch opisanch poszczególnmi równaniami, a następnie odcztaniu z rsunku punktów wspólnch obu prostch. / - 0 Z pierwszego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt

6 / Z drugiego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Odp. Układ ma jedno rozwiązanie,. Zaznaczając punkt z tabelek rsujem proste. Proste przecinają się w jednm punkcie, P. Współrzędne punktu P są rozwiązaniem układu. b) Porządkujem układ równań.

7 ( ) / Odp. Układ nie ma rozwiązania. 0 0 / ( ) / ( 0) Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Wniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzmujem sprzeczność. Rozwiązujem układ równań metodą graficzną. Z pierwszego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Z drugiego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Zaznaczając punkt z tabelek rsujem proste. Proste nie mają punktów wspólnch. Odp. Układ nie ma rozwiązania.

8 c) / / / Odp. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań / Porządkujem układ równań Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Wniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzmujem toŝsamość. Rozwiązujem układ równań metodą graficzną. Oba równania są takie same, dlatego przedstawiają dwie jednakowe proste. Z równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt

9 Zaznaczając punkt z tabelki rsujem prostą. Proste pokrwają się. Mają nieskończenie punktów wspólnch. KaŜd punkt leŝąc na prostej jest rozwiązaniem układu. Odp. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. ĆWICZENIA Ćwiczenie... (pkt.)rozwiąŝ układ równań 0 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów Podanie wartości niewiadomej Podanie wartości niewiadomej Ćwiczenie... (pkt.) RozwiąŜ układ równań 7 4 ( ) ( ) schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów Podanie układu równań uporządkowanego. Podanie wartości niewiadomej Podanie wartości niewiadomej