ROZDZIAŁ V. STATYKA PRZESTRZENNYCH UKŁADÓW RAMOWYCH Prstrnna konstrukcja ramowa jst najogólnijsm tpm konstrukcji prętowch. Elmntami ram prstrnnj można modlować wsstki omówionch dotchcas konstrukcji (krat płaski i prstrnn, ram płaski) ora inn jak rust, blki ałaman w plani, obciążon prostopadl do swojj płascn, itp. Rs.5.1 prdstawia kilka prkładów konstrukcji, którch ni można modlować ponanmi do tj por lmntami, a włącni lmntami ram prstrnnj. Rs.5.1 5.1. MACIERZ SZTYWNOŚCI EEMENTU RAMY PRZESTRZENN Węł konstrukcji prstrnnj ma sść stopni swobod tn. moż podlgać trm nialżnm prsunięciom i trm obrotom. Elmnt ramow ma atm dwanaści stopni swobod. Rs.5. pokauj składow sił i prmiscń węłowch lmntu ramowgo. okaln układ współrędnch lmntu musi bć tak dobran, ab osi ora bł głównmi osiami prkroju, gdż uprasca to roważania dotcąc ginania. Zginani takigo pręta można ropatrwać jak dwa nialżn ginania w płascnach x ora x. 97
Rs.5. Prmiscnia i sił węłow prdstawim podobni jak poprdnio w postaci wktorów (macir kolumnowch). u' gdi Wktor prmiscń węłowch lmntu w układi lokalnm u' i = Ø u', (5.1) j Øu u u u' i = j j j ix i i ix i i - (5.) jst wktorm prmiscń węła i w lokalnm układi współrędnch, 98
Øu u u u' j = j j j jx j j jx j j - (5.) jst wktorm prmiscń węła j w lokalnm układi współrędnch f ' gdi Wktor sił węłowch lmntu w układi lokalnm f ' i = Ø f ', (5.4) j Ø F F F f ' i = M M M ix i i ix i i - jst wktorm sił węła i w lokalnm układi współrędnch, Ø F F F f ' j = M M M jx j j jx j j - jst wktorm sił węła j w lokalnm układi współrędnch. w postaci: (5.5) (5.) Posukujm jak wkl alżności międ siłami i prmiscniami węłowmi f ' = K' u', (5.7) gdi macir stwności K' jst kwadratową smtrcną macirą o wmiarach 1x1. Więksość składowch tj macir utworć można na podstawi wników otrmanch w rod.iv dla ram płaskij. Poniważ ginani w płascnach głównch prkroju ni wpłwa nawajm na sibi, rołożm dformację lmntu ram prstrnnj na kilka prostch postaci: rociągani osiow, będi idntcn jak w kratownic, 99
ginani w płascźni x będi podobn do stanów ram płaskij, modfikacj dotcć będą naków sił wwnętrnch, skręcani. Jak widać tlko skręcani lmntu ramowgo jst stanm, którgo ni omawialiśm do tj por. Zalżność międ węłowm momntm skręcającm a kątm skręcania lmntu jst dosć prosta (por. [8]), i prpomina wiąk międ siłą osiową a wdłużnim pręta: Dj x M GC = x, (5.8) gdi Dj x = j jx - j ix jst prrostm kąta skręcania wwołanm pr momnt skręcając M x, G = E ( 1+ n) - jst modułm Kirchoffa, C - wskaźnikim oporu prkroju na skręcani. Stała C ma wmiar momntu bwładności i dla prkrojów kołowo-smtrcnch jst równa bigunowmu momntowi bwładności (por. [8]), jdnak dla innch prkrojów trba ją oblicć wkl dosć łożonmi mtodami (por. [17]). Sposob oblicnia tj stałj dla kilku cęsto wstępującch w praktc inżnirskij prkrojów podano w dodatku nr. Równani (5.8) powala apisać wiąk międ obrotami węłów wokół osi x a skręcającmi momntami węłowmi: M M ( ) GC = j - j, ix ix jx ( ) GC = - j + j. jx ix jx Równania t są posukiwaną alżnością, która powala apisać macir stwności lmntu. Na Rs.5. pokaan są wrot sił węłowch pr jdnostkowch prmiscniach węłów, co powala ustalić naki wraów macir stwności. (5.9) 100
Rs.5. Znaki wktorów sił węłowch pr jdnostkowch prmiscniach. 101
Macir stwności lmntu podana jst równanim u ix u i u i j ix j i j i u jx u j u j j jx j j j j EA - EA 1-1 1-1 F ix F i F i K' = - EA - 1-1 GC 4 4 EA 1 1 - GC M ix M i M i (5.10) F jx F j F j - GC GC M jx M j 4 M j 4 10
5.. TRANSFORMACJA MACIERZY SZTYWNOŚCI DO GOBANEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH Macir stwności lmntu powinna ostać prtransformowana do układu globalngo. Mtoda transformacji macir lmntu ramowgo jst analogicna do astosowanj w rod.iii transformacji macir pręta kratownic prstrnnj, tm ż nibędn okaż się tra trci obrót wokół osi x układu lokalngo, ab doprowadić osi i do położnia głównch cntralnch osi bwładności prkroju lmntu. taki wbór osi lokalnch jst bardo istotn dla budow macir stwności o cm bła już mowa na wstępi. Rs.5.4 prdstawia ustuowani lmntu w prstrni, użwan układ współrędnch ora onacnia kątów obrotu. Rs.5.4 Na Rs.5.4 wprowadono onacnia x,, - są to wktor baow osi lokalngo układu współrędnch, E X, E Y, E Z - są to wktor baow osi globalngo układu współrędnch. Okażą się on pomocn w dalsch prkstałcniach. 10
5..1. Wkorstani kąta obrotu a do utwornia macir transformacji Prprowadim tra transformację dowolngo wktora prmiscń u' i układu lokalngo do globalngo pr łożni trch obrotów: [ ( i )] u = R g R b R a u ', (5.11) i Ø1 0 0 gdi R a = 0 c a - s a, (5.1) 0 sa ca jst macirą obrotu wokół osi x o kąt a, Øc b b R b = 0 1 0 s b 0 0 - s, (5.1) c b jst macirą obrotu wokół osi ' o kąt b, Øc - s 0 0, (5.14) 0 0 1 g g R g = sg cg jst macirą obrotu wokół osi '' o kąt g. W równaniach (5.1), (5.1) i (5.14) c a s a = cos a, = sin a, c b = cos b, s b = sin b, c g = cos g, s g = sin g. Równani (5.11) można apisać prościj: u = R u', (5.15) i i i gdi R ( ) T ' i i i R R R i = g b a u = R u, gdi ( R i ) ( R ) ( R ) ( R ) jst macirą obrotu węła, a alżność odwrotna: T T T T = a b g. (5.1) Pr tm sposobi transformacji funkcj kątów g i b mogą bć wnacon na podstawi współrędnch węłów lmntu (alżą on od kosinusów kirunkowch lmntu - por. p..), a kąt a jst dodatkowm paramtrm, któr musi bć podan dla każdgo lmntu. 104
5... Wkorstani wktora kirunkowgo Podam tra inn sposób okrślnia macir obrotu. Nich dodatkowm paramtrm, okrślającm lmnt będi wktor kirunkow (Rs.5.4), któr lż na osi układu lokalngo a jgo moduł równ jst jdności (wktor taki nawam wktorm baowm lub wrsorm osi). Mam atm: wrsor osi x układu lokalngo wnacon na podstawi współrędnch lmntu (jgo x składow są kosinusami kirunkowmi lmntu) Ø = xx xy xz = Ø 1 dan wktor kirunkow lmntu Ø = X Y Z X Y Z, (5.17). (5.18) Posukujm trcigo wktora baowgo, któr powoli nam apisać transformację dowolngo wktora lokalngo układu współrędnch x do układu globalngo XYZ. Poniważ układ osi x jst prostokątnm kartjańskim układm współrędnch, to wktor baow tgo układu są wajmni prostopadł. Możm atm apisać: = x, (5.19) a stąd wlicm: Ø = gdi: X X Y Z, (5.0) xy xz =, Y Z Y xx xz = -, X Z Z xx xy =, (5.1) X są współrędnmi wktora baowgo lokalnj osi wględm globalngo układu współrędnch. Y Poniważ dowoln wktor prdstawić można jako sumę ilocnów jgo współrędnch i wktorów baowch, otrmam: 105
u = u + u + u = u E + E + E + x x x ( xx X xy Y xz Z ) u ( X X Y Y Z Z ) u ( uxxx ux ux ) E X ( u u u ) ( uxxz uz uz ) E Z, + + + E E E ( E E E ) = + + + + + + lub krócj u + + + = X X Y Y Z Z + + E + x xy Y Y Y (5.) = R u', (5.) i i i gdi R i jst macirą obrotu węła Ø xx X X R i = xy Y Y xz Z Z. (5.4) 5... Wkorstani punktu kirunkowgo Konicność podania wktora kirunkowgo w postaci (5.18) powoduj cęsto trudności podcas wprowadania danch. Prdstawim tu jdną możliwości ułatwinia sposobu podawania kirunku osi lmntu, którą stosuj się w sstmi AGOR. Elmnt ram prstrnnj okrślon jst tam pr tr punkt (i - węł pocątkow, j - węł końcow, k - węł kirunkow). Punkt i, j, k okrślają płascnę w prstrni trójwmiarowj, w którj lż oś lokalngo układu współrędnch. Oś x okrślona jst pr prostą prchodącą pr punkt i, j. Dla takij dfinicji kirunków osi lokalnch najdim współrędn wktorów baowch. Nich X i, Y i, Z i onacają współrędn punktu i w układi globalnm, współrędn punktów j ora k onacm analogicni, wtd współrędn lmntu w układi globalnm są równ: X = X j - X i, Y = Yj - Yi, Z = Z j - Zi, = X + Y + Z, (5.5) a stąd oblicm składow wktora x : xx X =, xy Y =, xz Z =. (5.) Utworm wktor v, łącąc punkt i punktm kirunkowm k (Rs.5.5): Ø X v = Y Z k k k - X i - Yi. (5.7) - Z i 10
Rs.5.5 Ilocn wktorow wktorów x ora v da nam wktor w prostopadł do płascn x, któr po normaliacji będi wktorm baowm : w = x v, (5.8) w X xy xz =, w v v Y w = w + w + w X Z Y X Y Z, w w = X, Y Y pr x : xx xz = -, w v v X Z Z = v xx X v xy Y (5.9) = w w, w = Z. (5.0) Z w Współrędn wrsora otrmam tra dięki ilocnowi wktorowmu wrsorów = x, (5.1) X Y Z =, xy xz Y X Z = -, xx xz Z X Y =. xx xy (5.) Na podstawi wników (5.), (5.0) ora (5.) można utworć macir transformacji R i jak w równaniu (5.4). 5..4. Macir transformacji lmntu Utworm tra macir transformacji lmntu. Poniważ wktor prmiscń węłów ora wktor sił węłowch ostał tak pogrupowan, ż można j podilić na bloki awirając albo prsunięcia albo obrot, ora sił lub momnt, to prcni się to do uproscnia budow macir transformacji, gdż każd bloków można transformować nialżni: 107
R ØR = i R i R j R j, (5.) gdi R i jst macirą obrotu węła i a R j macirą obrotu węła j. Poniważ lmnt jst prost, to tak jak w poprdnich prpadkach (krat, rama płaska) prjmujm R i = R j. Transformację macir stwności do układu globalngo otrmam pr mnożni macir idntcni jak w (.4). ( ) K = R K' R T, (5. 4) gdi R okrślona jst równanim (5.). Postać macir K współrędnch dosć łożona, więc ni będim jj podawali. jst w globalnm układi 5.. WARUNKI BRZEGOWE DA RAMY PRZESTRZENN Warunki brgow wstępując w podporach ram prstrnnch są bardo bliżon do warunków omawianch konstrukcji płaskich. Ocwist są różnic dotcąc stopni swobod, któr ni wstępował w ramach płaskich. Omówim warunki brgow, któr opisują t podpor ramowch konstrukcji prstrnnch, i któr są najcęścij wkorstwan ( Rs.5.). Rs.5. 108
Rs.5. Uwględnini warunków brgowch odbwa się analogicni jak w omawianch wcśnij konstrukcjach tn. pr modfikację globalnj macir stwności (por.p..). 5.4. EEMENTY BRZEGOWE Różnorodność podpór możliwch do astosowania w konstrukcji prstrnnj wrasta jsc, gd dodam wię sprężst i podpor ukośn. 109
Tak jak w rodiałach poprdnich, do modlowania tch więów polcam stosowani sprężstch lub stwnch lmntów brgowch. W asadi astosować można pojdnc lmnt opisan w rod.ii lub III, którgo da się łożć bardij skomplikowan podparci, al dla wgod podam tu astosowani macir uniwrsalngo lmntu sprężstgo o sściu stopniach swobod: K' b = ØhrX 0 0 0 0 0 0 hry 0 0 0 0 0 0 hrz 0 0 0 0 0 0 grx 0 0 0 0 0 0 gry 0 0 0 0 0 0 grz, (5.5) gdi h rx, h ry, h rz - są stwnościami sprężn pr rociąganiu, a g rx, g ry, g rz - są stwnościami giętnmi (lub skrętnmi) sprężn. Transformacja tj macir do układu globalngo jst podobn jak w rod. IV (równani (4.48)). Poniważ rakcj nasgo lmntu objmują dwa nialżn wktor: wktor sił i momntów podporowch, to odpowidnio macir transformacji ma postać: R b R r 0 = Ø 0 R, r (5.) gdi R r jst macirą obrotu węła daną równanim (5.4). Po wkonaniu mnożń otrmam macir stwności lmntu brgowgo w globalnm układi współrędnch: H 0 b b b b T K = R K ( R ) = Ø ' 0 G, gdi H jst macirą stwności pr prsuwaniu a G macir stwności obrotu: (5.7) Ø xx hrx + X hry + X hrz 0 0 H = 0 xyhrx + YhrY + YhrZ 0 0 0 h + h + h xz rx Z ry Z rz. (5.8) Macir G łatwo otrmać macir H aminiając stwność sprężn rociąganch h rx, h ry, h rz na stwność sprężn ginanch g rx, g ry, g rz. 110
ROZDZIAŁ V. STATYKA PRZESTRZENNYCH UKŁADÓW RAMOWYCH...97 5.1. MACIERZ SZTYWNOŚCI EEMENTU RAMY PRZESTRZENN...97 5.. TRANSFORMACJA MACIERZY SZTYWNOŚCI DO GOBANEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH...10 5..1. Wkorstani kąta obrotu a do utwornia macir transformacji...104 5... Wkorstani wktora kirunkowgo...105 5... Wkorstani punktu kirunkowgo...10 5..4. Macir transformacji lmntu...107 5.. WARUNKI BRZEGOWE DA RAMY PRZESTRZENN...108 5.4. EEMENTY BRZEGOWE...109 111