MES dla ustrojów prętowych (statyka)

Transkrypt

1 MES dla ustrojów prętowych (statyka) Jrzy Pamin -mail: Piotr Pluciński -mail: Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki Krakowskij Strona domowa: Zasada prac wirtualnych Podział na lmnty skończon δw int = δw xt δu δw int = δw int, δw xt = δw xt Równoważna warunkowi minimum całkowitj nrgii potncjalnj w przstrzni przmiszczń dopuszczalnych. u, u u ϕ y, v v v ϕ ϕ u y, v v, u v ϕ kratowy ES blkowy ES ramowy ES Związki lmntow zapisan w lokalnym (lmntowym) układzi współrzędnych. u

2 Zminn dla konstrukcji ramowych [ ] u u = - wktor przmiszcznia (niwiadoma podstawowa) [ v ] ɛ = - wktor uogólnionych odkształcń ( = Lu) [ κ ] N s = - wktor uogólnionych naprężń M [ ] px p = - wktor intnsywności obciążnia ciągłgo p y Intrpolacja Galrkina w lmnci u( ) = N( )d, δu = N( )δd d - stopni swobody (s.s.), tj. przmiszcznia wzłow ( ) = B( )d, B = LN, δ = B( )δd s( ) = D ( ) = DB( )d Zasada prac wirtualnych δw xt = δw int = δ T s d δu T p d + δd T f f - wktor sił przywęzłowych (siły, którymi lmnty sąsidni działają na dany lmnt przz wspóln węzły) y p x p y f 4 f 6 f f 5 f 3 f

3 Podstawiamy dyskrtyzację δwint = δd T K - lmntowa macirz sztywności δwxt = δd T B T DB d d = δd T K d N T p d + δd T f = δd T (z + f ) z - węzłow siły zastępując obciążni (ciągł) przyłożon do wnętrza lmntu Żądamy, aby δw int = δw xt δu Elmntow równani równowagi K d = z + f Opis lmntu blkowgo Rprzntacja zginania Dfinicj przmiszcznia, uogólniongo odkształcnia i uogólniongo naprężnia u(x) = [v(x)], (x) = [κ(x)], s(x) = [M(x)] Równania kinmatyczn i konstytutywn w punkci P (x, y, z) = P (x,, ) = P (x) na osi blki κ(x)= d v(x) dx = Lu, L = [ d dx M(x)=EI(x) κ(x) s = D, D = [ EI(x) ] ]

4 Opis lmntu blkowgo Aproksymacja ugięcia y, v v ϕ v ϕ NDOF n =, NDOF = 4 d w = {v w, ϕ w } [ ] d [4 ] = {v, ϕ, v, ϕ } u( ) [ ] = [v( )] = N( ) [ 4] N (x ) = 3 ( ) + ( x ) 3 d [4 ], N = [N N N 3 N 4 ] N 3 (x ) = 3 ( ) ( x ) 3 N (x ) = [ ( )] N 4 (x ) = [ ( ) ( x ) ] Opis lmntu blkowgo Aproksymacja krzywizny i momntu zginającgo, macirz sztywności ( ) [ ] s( ) [ ] K [4 4] = = [κ( )] = LN( ) q = B( ) [ 4] = [M( )] = D B( ) d [ ] [ 4] [4 ] B T DB d d [4 ] 6 6 K = E I

5 Opis lmntu blkowgo Obliczni węzłowych sił zastępujących stał obciążni rozłożon y p y z = N T [ p y ] dx z p y z p y z 3 p y z 4 p y z = p y p y p y p y Równowaga globalna Transformacja T : globalny lokalny Macirz okrślon w lokalnym (lmntowym) układzi współrzędnych będą oznaczan nadkrślnim. d = T d, z = T T z, K = T T K T Równania równowagi lmntu w lokalnych współrzędnych f = K d z Równania równowagi lmntu w globalnych współrzędnych Agrgacja f = K d z K = K, d = d, z = z, f = f f = K d z = w + r w - wktor zwnętrznych sił skupionych przyłożonych w węzłach r - wktor rakcji podpór

6 Algorytm obliczń MES dla konstrukcji prętowj Równowaga zdyskrtyzowango układu (węzłów) K d = w + z + r plus podstawow (kinmatyczn) warunki brzgow Statyka. Podział na lmnty (okrślni numrów, osi, topologii), przygotowani pliku z danymi. Obliczni macirzy lmntowych K, K, agrgacja macirzy globalnj K 3. Obliczni wktorów lmntowych z, z, agrgacja wktora globalngo z, okrślni wktora sił zwnętrznych przyłożonych w węzłach w 4. Rozwiązani układu równań Kd = w + z + r z uwzględninim kinmatycznych warunków brzgowych, tzn. obliczni niwiadomych przmiszczń węzłowych d i rakcji r Algorytm obliczń MES dla konstrukcji prętowj Statyka (c.d.) Podział macirzy na bloki [ ] [ ] [ ] [ ] K K d w + z = r + K K d w + z r Zadan przmiszcznia d = ˆd, zatm r = K d = w + z K ˆd d r = Kd z w d 5. Obliczni sił przywęzłowych w lmntach d d d f = K d z lub d d f = K d z f 6. Narysowani wykrsów sił przkrojowych, sprawdzni równowagi