Eikonał Optyczny.doc Strona 1 z 6. Eikonał Optyczny

Transkrypt

1 Eikonał Optyczny.doc Stona z 6 Eikonał Optyczny µ µ Rozpatzmy ośodk bz ładunków i pądów z polm o pulsacji ω Uwaga: ni zakłada się jdnoodności ośodka: ε ε xyz,,, Równania Maxwlla: H iωε ε E ikc ε ε E E iωµ µ H ikc µ µ H εε E µ µ H a xyz,, Pzypomnini: jżli ε i µ ni zalżą od, to ozwiązanim byłala płaska: ik n c w E E s π ω ω, k, k k n λ c c v v gdzi jst wsom w kiunku ozchodznia się fali. s f Taz postuluj się ogólnijszą postać ozwiązania: J E, H ik J E E, H H ikj - ikonał albo doga optyczna - zczywista, skalanunkcja położnia - wktoow, w ogólności zspolon, funkcj położnia Uwaga : na powizchniach spłniających waunk J const. faza pozostaj stała powizchni t nazywamy fontami falowymi. Uwaga : dlali płaskij: J ns, E E, E _ dlali kulistj: J n, E E, E_

2 ik J a f ik J ik J ik J E E ik J ik J ik J E ik J ik J E ik J H Eikonał Optyczny.doc Stona z 6 Zbadajmy, kidy funkcja postaci E spłnia ównania Maxwll a: L E + E + E P ikcµ µ Tak więc: J E cµ µ H E ik J H + cε εe H ik Zbadajmy podobni ównania na dywgncj: ik J L ε εe ik J ik J E ε ε + E ε ε ik J { } ik J ik J ε ε + ε ε E E + ε ε ik J E εε + Eε ε ik ε ε J n s E P Pzyównując k... p i dziląc pzz ik ε ε uzyskujmy: albo: J L + ε O ik NM ε QP E E E m E J E + E lnε ik H J m H + H ln µ ik Uwaga: w wzoach w amkach wszędzi po pawj stoni występuj ik.

3 Eikonał Optyczny.doc Stona 3 z 6 Pzybliżni optyczn polga na pzyjęciu, ż 6 k m - j to znaczy, k ż amplitudy pól E i H oaz własności ośodka ni zminiają się na odlgłościach zędu długości fali. Uzyskamy wówczas: J E cµ µ H J H + cε εe E J 3 H J 4 Na podstawi ównań (3) i (4) od azu widać, ż E _ J i H _ J. Jdnakż, ównania t można tż uzyskać z () i (), na pzykład: bj g 4, poniważ: cx Yh X Tak więc, na to aby pol lktomagntyczn dan wzoami E ik J i H ik J a f było ozwiązanim ównań Maxwll a w J a pzybliżniu optycznym potzba i wystacza, aby pola E, H oaz fspłniały ównania () i (). Aby uzyskać ównani na J spóbujmy wydukować z () i () pola E i H. Wyznaczając z () pol H H J E cµ µ i wstawiając do () uzyskamy: L N M O Q P J J c c E ε εe µ µ J J E cµ µ ε εe E E ε µ µ µ ε ε E E J µ ε E J J J J

4 Aby powyższa ówność zachodziła dla dowolngo pola E, konicznym jst aby: J µ ε n albo J n Eikonał Optyczny.doc Stona 4 z 6 (5) Zalżność (5) nazywa się ównanim ikonału. Uwaga: J jst skalam, J jst wktom o długości. Oznaczmy kiunk wktoa J n pzz s (zgodni z oznacznim dlali płaskij). Tak więc: J n s oaz s J n. Uwaga: na powizchni falowj (fonci falowym) ikonał jst stały: J const. Wkto J ni moż więc mić składowj stycznj do powizchni falowj. Jst więc do nij postopadły. Uwaga3: poniważ dla dowolngo skalaa a f f, to n s.

5 Obliczmy watość wktoa Poytinga S : Eikonał Optyczny.doc Stona 5 z 6 * * ik J ik J S E H * E H E H Pomnóżmy E wktoowo pzz ównani spzężon zspolono do (): o t * J E E * E c H µ µ L J S O E E * c NM µ µ QP E J E * c H * µ µ * J J, J R * * * J E E E E J cµ µ E H Tak więc: Mamy tż dla gęstości ngii w polu lktycznym: * w t, εε E E, w w t, oaz w w w w εε E E *. h Wstawiając do wzou na S L N M L N M S uzyskamy: w J εε cµ µ OO QP P c w J n n P w Q c s v w s

6 Eikonał Optyczny.doc Stona 6 z 6 WNIOSKI:. Kiunk wktoa Poytinga. Moduł wktoa Poytinga S jst zgodny z kiunkim gadintu ikonału S pędkość fali x gęstość ngii 3. Pomini światła to tajktoi w kiunku wktoa Poytinga (pzpływu ngii). Tak więc są to tajktoi w kiunku J, postopadł do powizchni falowych. + d s s J a f a J+ d f s doga gomtyczna wzdłuż pominia światła. Jżli jst pominim wodzącym pominia światła, to: d d s J ds, s ds n oaz oczywiści: d ds Obliczmy pochodną, óżniczkując jak funkcję złożoną: dj s J d b g d n n n ds ds ds Tak więc:. dj afogfa ' xf F' bgaxfg og' axf s s s. tutaj: F: R R f ( y); G: R R g ( x) Kg x a f Fo G ' x i f i y i y x j K. Mauin, Analiza - Elmnty, s.3 n ds - ikonał jst dogą optyczną (n x dłuższą od gomtycznj): P z P z P, P nds dj JaPf JaPf P P - fonty falow są odlgł od sibi jak n dj. ds n w kiunku większgo współczynnika załamania. - światło odchyla się