Termodynamika. Część 10. Elementy fizyki statystycznej klasyczny gaz doskonały. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Transkrypt

1 Trodynaika Część 1 Elnty fizyki statystycznj klasyczny gaz doskonały Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

2 Użytczn całki ax2 dx = 1 2 a x ax2 dx = 1 2a ax2 dx = a a x 2 ax2 dx = 1 4a a x 3 ax2 dx = 1 2a 2 x 4 ax2 dx = 3 8a 2 a

3 Klasyczny opis gazu doskonałgo T tpratura gazu V objętość asa cząstki N liczba cząstk n = N/V śrdnia liczba cząstk na jdnostkę objętości Warunk stosowalności przybliżnia klasyczngo: (triczna długość fali d Brogli'a) << (śrdnia odlgłość poiędzy cząstkai) = h 2 1/2 n 1/3

4 Rozkład Maxwlla Rozważay rozkład prędkości cząstk gazu doskonałgo w przybliżniu klasyczny. Tpratura gazu T, asa cząstki, śrdnia liczba cząstk w jdnostc objętości n. Gęstość prawdopodobiństwa, ż dana cząstka a pęd f p p2 2 p jst okrślona przz rozkład kanoniczny Poniważ p = v v2 2 f v = C Wartość stałj C otrzyujy z warunku noralizacji. W rzultaci f v = 2 v 2 3/ 2 2 Prawdopodobiństwo, ż cząstka a prędkość zawartą w przdzial [v, vdv ] jst równ f v d 3 v. Śrdnia liczba cząstk na jdnostkę objętości, któr ają prędkość zawartą w przdzial [v, vdv ] nv d 3 v = n f v d 3 v

5 Rozkład Maxwlla Rozkład jdnj z składowych prędkości Gęstość prawdopodobiństwa, ż cząstka a składową prędkości v x g v x = f v x,v y,v z dv y dv z = 2 2 3/ 2 v 2 v 2 2 x y v z dvy dv z g v x = 2 v x 2 1/2 2 Jst to rozkład Gaussa o wartości śrdnij v x = oraz odchylniu standardowy =.

6 Rozkład Maxwlla Rozkład szybkości cząstk Gęstość prawdopodobiństwa, ż cząstka porusza się z szybkością v = v w dowolny kirunku otrzyay całkując f v po wszystkich kirunkach wktora prędkości. Poniważ f v ni zalży od kirunku, wystarczy ponożyć f v przz pol powirzchni sfry o proiniu v f v = 4v 2 f v f v = 4 2 3/2 v 2 v2 2 Prawdopodobiństwo, ż cząstka a szybkość w przdzial [ v 1, v 2 ] v 2 P v 1,v 2 = v 1 f vdv Gęstość prawdopodobiństwa, ż cząstka a nrgię kintyczną E f ( E ) = f (v) ( dv de ) = 2π E (π ) 3/2 E

7 Własności rozkładu szybkości cząstk f v = 4 2 Wartość śrdnia 3/2 v 2 v2 2 v = v f v dv = 8 Wartość najbardzij prawdopodobna f v Wikipdia T = 25 o C v = 2 = 2 v v [ / s] Śrdnia wartość kwadratu prędkości v 2 = v 2 f v dv = 3 Śrdnia nrgia kintyczna cząstki E = 1 2 v 2 = 3 2

8 Ciśnini Śrdnia liczba cząstk, których składowa x prędkości, v x, a wartość zawartą w przdzial [v x, v x + dv x ] N v x dv x = N g v x dv x Z tj liczby, tylko t cząstki udrzą w ścianę w przciągu czasu t, których odlgłość od ściany jst nijsza niż v x t, czyli cząstki znajdując się w objętości Av x t. Liczba ta wynosi Av x t V N g v x dv x v v x v x t A powirzchnia ściany Po zdrzniu z ścianą ziana pędu cząstki wynosi 2 v x, zat całkowita ziana pędu wszystkich cząstk zdrzających się z ścianą w przdzial czasu t, równa zgodni z III zasadą dynaiki Nwtona wartości F t, wynosi F = p A x F t = 2 A t N V v x 2 g v x dv x stąd ciśnini gazu p = F A = 2 N V v x 2 g v x dv x = N V ( równani stanu )

9 Trodynaika gazu doskonałgo Kanoniczna funkcja rozdziału dla jdnj cząstki Z 1 = 1 h 3 dx dydz Z 1 = V h 3 p 2 x 2 dp x p 2 p 2 2 x y p z 2 p 2 y 2 dp y dp x dp y dp z p 2 z 2 dp z = V 2 3 h 3 Z 1 = V 2 h 2 3/2 = V 3 Funkcja rozdziału dla N cząstk rozróżnialnych: Z N = Z 1 N. Dla cząstk nirozróżnialnych Z N = Z N 1 N! = V N 2 N! h 2 3 N /2

10 Trodynaika gazu doskonałgo ln Z N = N lnv 3 N 2 ln ln N! 3 N 2 ln 2 Ciśnini gazu h 2 p = ln Z N V T,N = N V równani stanu. Używając przybliżnia Stirlinga: ln N! N ln N N otrzyujy F = ln Z N = N [ ln V N 3 2 ln 2 h 1 ] 2 S = F T V, N = Nk [ ln V N 3 2 ln 2 h ] U = 2 ln Z N T V, N = 3 2 N = F N T,V = ln[ V N 2 h 2 3 ] 2

11 Gaz doskonały w polu sił zwnętrznych Całkowita nrgia cząstki Er,p = E kin p E pot r Gęstość prawdopodobiństwa, ż cząstka a dany pęd i położni qr, p E p kin E r pot Rozkłady gęstości prawdopodobiństwa dla pędu i położnia są nizalżn. Dla pędu f p p2 2 rozkład Maxwlla Dla położń E r pot f r Zat koncntracja cząstk (śrdnia liczba cząstk na jdnostkę objętości) zalży od położnia wdług zalżności E r pot nr

12 Gaz doskonały w jdnorodny polu grawitacyjny Rozważay gaz w pobliżu powirzchni Zii E pot x, y, z = g z gdzi z oznacza wysokość na którj znajduj się cząstka, a g jst przyspiszni ziski. Koncntracja cząstk na wysokości z n z gz Z równania stanu gazu doskonałgo p z = n z zat zalżność ciśninia gazu od wysokości gz p z = p wzór barotryczny gdzi p oznacza ciśnini na wysokości z =. Dla ałych wysokości gz p z = p p g 1 z

13 Efuzja z T tpratura gazu n śrdnia liczba cząstk na jdnostkę objętości v t A powirzchnia otworu Cząstczki o prędkościach z przdziału v,vdv trafią na otwór w ciągu czasu t jżli będą się znajdować w pochyły walcu o podstawi A i wysokości v t cos. Liczba tych cząstk wynosi gdzi J v d 3 v = n A v t cos f v d 3 v f v jst rozkład prędkości Maxwlla. Dla jdnostkowj powirzchni A i jdnostkowgo czasu t J v d 3 v = n f v v cos d 3 v

14 Efuzja Przchodziy z współrzędnych kartzjańskich do sfrycznych J v d 3 v = n f v v cos d 3 v = n f v v cos v 2 sindvdd Całkując po wszystkich ożliwych kirunkach wktora prędkości otrzyujy rozkład szybkości cząstk w wiązc z 2 J v dv = J v dv = 2 1 /2 d sincosd nv 3 f v dv sin d sin nv 3 f v dv = nv 3 f v dv v t J v dv = 1 4 J v dv = n nv f v dv 2 3/2 v 3 v2 2 dv Śrdnia liczba cząstk gazu wydostających się przz otwór o jdnostkowj powirzchni w ciągu jdnostki czasu wynosi J = J v dv = 1 4 n v f v dv J = 1 4 nv = n 2