Materiały ćwiczeniowe do małego kursu chemii teoretycznej Mechanika statystyczna. Rozkład Maxwella-Boltzmanna.

Transkrypt

1 Matriał ćwicniow do ałgo kursu chii tortcnj Mchanika statstcna. Rokład Mawlla-Boltanna. Opracowani: Barbara Pac, Piotr Ptln

2 WSTĘP Nichaj adan będi układ wilu (n idntcnch cąstk, którch każda a r stopni swobod. Jako narędi do opisu takigo układu wprowada pojęci:. Prstrni faowj µ (o r wiarach, na którj osiach prdstawian są wartości współrędnch i pędów uogólnionch pojdncj cąstki;. Prstrni faowj γ (o rn wiarach, na którj osiach prdstawian są wartości współrędnch i pędów uogólnionch wsstkich cąstk układu. Punkt faow w prstrni µ rprntuj więc stan pojdncj cąstki, punkt faow w prstrni γ - stan całgo układu. Stan ikro (stan chanicn układu w pwnj chwili t uważa a adan, gd na uogólnion współrędn i pęd wsstkich cąstk. (Równoważni: gd adan jst położni rprntującgo układ punktu faowgo w prstrni γ, lub tż gd adan jst w prstrni µ położni punktu faowgo odpowiadającgo każdj cąstc. Stan akro układu uważa a adan, gd na rokład licbow rprntującch cąstki punktów faowch poięd poscgóln koórki prstrni µ. Stan ikro układu akroskopowgo rguł ni jst nan (jgo okrślni praktcni uniożliwia licba cąstk, porównwalna licbą Avogadr. Wnioski co do właściwości takigo układu ogą ić jdni charaktr statstcn. Dochodi do nich w oparciu o pojęci społu statstcngo, dfiniowango jako hipottcn biór układów idntcnch w stosunku do układu badango pod wględ stanu akro, al różniącch się stan ikro, pr c ( konstrukcji licba lntów społu (układów najdującch się w każd stani ikro jst idntcna. W ałożniu, nasa wida o stani każdgo układu nalżącgo do społu dotc stanu akro, jst więc nipłna. Prjuj, ż o każd układi będąc lnt społu wi dokładni tl sao. Zalżni od tgo, jaki konkrtni inforacj o układi są na dostępn, rokład ν({q i,p i } punktów faowch (rprntującch poscgóln układ poięd różn obsar prstrni γ jst różn. W scgóln prpadku, gd układ najduj się w kontakci tricn trostat o tpratur T, i inforacja o układi sprowada się do najoości tj tpratur, jgo objętości V ora licb n awartch w ni cąstk, odpowidni spół statstcn nosi nawę kanonicngo. Dla społu takigo rokład punktów faowch w prstrni γ jst okrślon wor F E ( dν ν d τ γ [W..] gdi k jst stałą Boltanna, ν onaca globalną licbę punktów faowch (lntów społu, aś dν jst licbą punktów faowch w infinitalnj koórc prstrni faowj o objętości dτ γ. E jst wartością nrgii, odpowiadającą danj koórc prstrni faowj. Wilkość F a sns ficn nrgii swobodnj układu i wraża się jako F ln Z [W..] pr tw. kanonicną suę stanów Z, dfiniowaną wor Z E dτ γ [W..] Wilkość dν/ν o a sns prawdopodobiństwa, ż punkt faow rprntując badan pr nas układ najduj się w wbranj koórc prstrni γ o objętości dτ γ, cli ż awart w ni cąstki ają współrędn i pęd uogólnion odpowiadając położniu tj koórki. Jak widać, pojawini się w wor [W..] wilkości F gwarantuj, ż rokład ν({qi,pi} jst unorowan, to nac, ż prawdopodobiństwo dν/ν o scałkowan po całj prstrni γ jst równ jdności, cli ż każd układ najduj się w jakiś stani.

3 Jżli stan ikro układu tworłb biór policaln (lub jżli prstrń γ podililibś na policalną licbę koórk, to wor [W..; W..] prbiorą postać ν i ν Z F Ei ( Ei i [W..4] [W..5] Dięki utożsainiu wilkości F nrgią swobodną układu, pr suę stanów ożna wraić równiż i inn wilkości trodnaicn, np. nrgię wwnętrną E, ntropię S c ciśnini p E n ln Z T Z ln Z S nkln + n + nk n T ln Z p n V T V V [W..6] [W..7] [W..8] Jżli oddiałwani poięd cąstkai jst anidbwaln, to pojdncą cąstkę takigo gau doskonałgo oż traktować jako układ, aś otacając ją cąstki jako trostat. Odpowidniki prstrni γ staj się wówcas prstrń µ. Ocwiści, dfiniowani ciśninia c ntropii tak rouiango układu ni iałob snsu ficngo, jdnak kstałt funkcjn alżności gęstości punktów faowch od nrgii poostaj taki sa, jak w wor [.]. Uskana w tn sposób alżność ε µ dn Cn dτ [W..9] nosi nawę rokładu Mawlla-Boltanna. W powżs wor ε onaca nrgię cąstki (w odróżniniu od wilkości E, onacającj powżj nrgię całgo gau, aś stała C, wnacana warunku ε C dτ [W..] µ prjuj rolę wprowadonj poprdnio kanonicnj su stanów, apwniając noraliację rokładu. Rokład Mawlla-Boltanna [W..9] okrśla licbę punktów faowch w infinitalnj koórc prstrni µ o objętości dτ µ, cli inni słow licbę cąstk o odpowiadającch tj koórc wartościach współrędnch i pędów uogólnionch.

4 Znajoość tak okrślongo rokładu powala oblicać wdług woru F µ Fq (, p dτ i i ε µ ε dτ µ µ [W..] wartości śrdni wilkości chanicnch F({q i,p i } charaktrującch cąstki. Mogą to bć np. składow wktora proinia wodącgo (położnia lub pędu c prędkości, ich potęgi lub oduł, nrgia kintcna, potncjalna lub całkowita E itp. Zwłasca ta ostatnia wilkość, łatwa do powiąania wartością stałj norującj C E d ln C dt [W..] a duż nacni praktcn ięd inni dlatgo, ż woru E CV [W..] T V powala wnacać cipło właściw gau. Istotną konskwncją powżsch worów jst tw. asada kwipartcji nrgii ówiąca, ż Jżli nrgia ε cąstki składa się addtwni pwnj licb cłonów kwadratowch, to każd nich daj do nrgii śrdnij E tn sa wkład, równ /. 4

5 Zadani (Zspoł statstcn Dla gau doskonałgo o stopniach swobod translacji nalźć: a kanonicną funkcję rodiału b nrgię swobodną c nrgię wwnętrną Kanonicna funkcja rodiału Z dfiniowana jst wor [W..]. Jżli nas układ składałb się tlko jdngo atou gau doskonałgo (n to: E Z Q / dτ µ [..] W prpadku układu składającgo się dwóch atoów (n otralibś: ( E + E / E / E / Z dτγ dτµ dτµ QQ [..] Jżli at nas ga składa się n atoów to funkcja rodiału całgo układu jst ilocn funkcji rodiału obliconch dla pojdncgo (i-tgo atou (Q i : Z n Q i i Dodatkowo, poniważ nas układ składa się idntcnch atoów [..] Q Q... Q n [..4] a at n Z Q i [..5] Prjści do opisu kwantowgo waga uwględninia w nas opisi asad niroróżnialności cąstk. Można to sprowadić do podilnia su statstcnj społu Z pr n! Q Z [..6] n! Oblicni kanonicnj funkcji rodiału dla n atoów gau doskonałgo o stopniach swobod translacji waga (wobc powżsgo woru oblicnia su statstcnj Q i. gdi i n i Q dτ µ [..7] i E / i i E ( p + p + p [..8] pi pi pi Qi ( + + / dp dp dp d d d h i i i i i i ( p + + i pi pi / dp h idpidpi dididi ( p + + i pi pi / dp h idpidpi dvi Vi ( pi + pi + pi / V i p p i / i / pi / h dpidpidpi h i i [..9] dp dp dp i 5

6 Vi h p i W taki rai: / V dpi h V n ( π n Z n h n! ( π [..] Kontar: Wilkości ficni intrsując, jak potncjał trodnaicn (patr niżj, wrażają się pr logart funkcji rodiału, która usi at bć wilkością bwiarowa. Można to apwnić wrażając każdą olkularnch funkcji rodiału w jdnostkach h (h onaca tu stalą Plancka, jak w powżsch worach. Wprowadni cnnika h gwarantuj równocśni poprawn prchodni powżsch wrażń w ich odpowidniki kwantow. Cnnik tn oż bć intrprtowan jako objętość prstrni faowj µ, odpowiadająca pojdncu stanowi kwantowu; sua statstcna jst nikid inacj nawana sua stanów. rai: Sua statstcna społu jst wiąana nrgia swobodna alżnością [W..]. W taki n n V k ( π n π ( F ln h ( n! n lnv n ln T n ln h + ln n! [..] Wobc woru [W..6] a: / E ln Z T V n [..] 6

7 Zadani Zbiornik o objętości V napłniono gaow non. Stosując rokład Mawlla-Boltanna nalźć wor na:. licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow pędów nalżą do prdiałów (p, p +dp, (p,p +dp, (p,p +dp ;. licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow prędkości nalżą do prdiałów (v, v +, (v,v +, (v,v + ;. licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, b wględu na wartość składowj v ; 4. licbę atoów nonu ającch składow p,p pędu awart w prdiałach (p, p +dp, (p,p +dp, b wględu na wartość składowj p ; 5. licbę atoów nonu ającch składową v prędkości awartą w prdial (v, v +, b wględu na wartości składowch v i v ; 6. licbę atoów nonu, dla którch oduł prędkości w płascźni v v w v + v awart jst w prdial (w, w+dw, b wględu na kirunk prędkości w tj płascźni i wartość v. 7. najbardij prawdopodobną wartość w; 8. licbę atoów nonu, którch oduł prędkości v v v + + v awart jst w prdial (v, v+ 9. najbardij prawdopodobną wartość odułu prędkości v.. wartość śrdnią v. wartość śrdnią w ;. wartość śrdnią v.. wartość śrdnią v ; 4. wartość śrdnią odułu v 5. wartość śrdnią w; 6. wartość śrdnią v; 7. wartość śrdnią nrgii kintcnj dla trch stopni swobod translacji. 8. Narsuj schatcni rokład Mawlla i Boltanna odułu prędkości v dla tpratur T, T i T (T T, T 4T. Jak inia się wra wrost tpratur wartość najbardij prawdopodobna odułu prędkości a jak licba odpowiadającch jj cąstk? Ad. Wrażni na nrgię kintcną atou nonu a postać: ε ( p + p + p [..] W taki rai godni wor [W..9] rokład Mawlla-Boltanna ożna apisać jako: ( p + p + p dn Cn dp dp dp gdi C jst stałą noraliującą rokładu. Zgodni wor [W..]: [..] ( p+ p+ p C dpdpdp [..] 7

8 Łącąc wor [..] i [..] otruj: dn n ( p+ p+ p dpdpdp ( p+ p+ p dpdpdp [..4] Zauważ, ż wrażni w ianowniku ożna apisać jako ilocn trch (analogicnch całk: dn n ( p+ p+ p dpdpdp p p p dp dp dp [..5] Wartość każdj wstępującch w ianowniku trch całk jst taka saa i wobc woru [u.] równa: p dp π [..6] W taki rai wrażni [..5] okrślając licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow pędów nalżą do prdiałów (p, p +dp, (p,p +dp, (p,p +dp prji ostatcni postać: ( p + p + p dp dp dp dn n ( π [..7] Ad. Korstając wiąku poięd (-owi składowi pędu i prędkości: p [..8] ożna apisać: dp [..9] W taki rai wrażni [..4] prji postać: ( + v+ v dn n ( v + v+ v Wrażni w ianowniku ożna (jak w punkci prdstawić jako ilocn trch całk: dn n ( + v+ v [..] [..] Każda całk wstępującch w wor [..] a taką saą wartość równą (wobc worów [u.] π. i [u.6] ( 8

9 Zat wór na licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow prędkości nalżą do prdiałów (v, v +, (v,v +, (v,v + prji ostatcni postać: dn n π ( + v + v [..] Ad. Wor [..-..] okrślają licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow prędkości nalżą do prdiałów (v, v +, (v,v +, (v,v +. Tcas nas intrsuj tra licba atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, al ni intrsują nas wartości składowj v. Eliinację alżności od wartości składowj v najłatwij prprowadić woru [..]: cli: dn n ( + v [..] dn n ( + v [..4] Oblicając jak poprdnio wrażni w ianowniku otruj ostatcni wór okrślając licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, b wględu na wartość składowj v ; dn n π ( + v [..5a] Ad. 4 Wór okrślając licbę atoów nonu ającch składow p,p pędu awart w prdiałach (p, p +dp, (p,p +dp, b wględu na wartość składowj p oż łatwo otrać na dwa sposob. Dsponuj obcni wor [..5] opisując licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, b wględu na wartość składowj v. Uwględniając wiąk poięd składowi pędu i prędkości [..8,..9] oż łatwo apisać: dn ' ( p + p n dpdp π [..5b] Wór tn ożna takż uskać pr wliinowani (w sposób opisan w punkci woru [..5] lub woru [..7] alżności od wartości składowj p. Mchanicn porównani postaci worów [..5a] [..5b], prowadi do wniosku, ż aiana innch ( v p, v p, v p prowadi do prnisinia as ( licnika do ianownika. 9

10 Ad.5. Porównując strię wrażń danch worai [..] i [..5] i okrślającch odpowidnio licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow prędkości nalżą do prdiałów (v, v +, (v,v +, (v,v + ora licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v + b wględu na wartość składowj v łatwo prwidić postać wrażnia okrślającgo licbę atoów nonu ającch składową v prędkości awartą w prdial (v, v + b wględu na wartości składowch v i v : dn n [..6] π Prpuscni to ożna łatwo potwirdić rachunki prprowadając oblicni analogicn do tch opisanch w punkci. (Dogodn wor wjściow do dalsch oblicń jst tu wór [..4]. Ad.6 Wór [..4] okrśla licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, b wględu na wartość składowj v. Zainiając w ni współrędn kartjański v, v na współrędn bigunow w, ϕ, gdi: w v + v [..7a] wdwdϕ [..7b] otruj: dn n π Eliinacja alżności od ϕ : dn 4 n π w w dw dϕ dwdϕ [..8] π [..9] prowadi ostatcni do woru okrślającgo licbę atoów nonu, dla którch oduł prędkości w v + v w płascźni v v awart jst w prdial (w, w+dw, b wględu na kirunk prędkości w tj płascźni i wartość v. Ma on postać: w dn n wdw 4 [..] Ad. 7 Wór [..] okrśla rokład ożliwch wartość odułu prędkości w v + v. W taki rai wartość najbardij prawdopodobna (najcęścij spotkana w będi odpowiadała aiu tgo rokładu. Onac: f( w cw w [..] i posukaj aiu tj funkcji: w w f '( w c [ w ] [..a] w w f '( w w [..b]

11 w ( w [..c] W taki rai najbardij prawdopodobna wartość w wnosi: wa [..d] Ad. 8 Sposób postępowania prowadąc do okrślnia woru na licbę atoów, którch oduł prędkości v v + v + v awart jst w prdial (v, v+ jst analogicn do oówiongo w punkci 6. T ra jdnak wgodn punkt wjścia do dalsch prkstałcń będi wór [..] okrślając licbę atoów nonu ającch składow v,v prędkości awart w prdiałach (v, v +, (v,v +, (v,v +. Prjści na współrędn sfrcn v, ϑ, ϕ gdi: v v v + v + v [..a] prowadi do otrania woru: sinϑdϑdϕ [..b] dn n v sinϑdϑdϕ [..4] π Eliinacja alżności od kąta ϑ i kąta ϕ : δn5 n v sinϑdϑ π [..5] prowadi ostatcni do wniku: π π dϕ dn n 5 4π v [..6] π cli woru okrślającgo licbę atoów nonu, którch oduł prędkości v v v + + v awart jst w prdial (v, v+. Ad. 9 Sposób postępowania prowadąc do najbardij prawdopodobnj wartości odułu prędkości v jst analogicn do oówiongo w punkci 7 i sprowada się do nalinia aksiu funkcji: gv ( c v [..7] Odpowidni oblicnia prowadą do wniku va [..8] Ad. Korstając woru [..] ożna apisać wrażni powalając oblicć wartość śrdnią kwadratu składowj -owj prędkości. Ma ono postać: v v [..9]

12 Oblicając wartości całk wstępującch w t wrażniu (wor [u] i [u4] otruj: v [..] Ad. Zgodni wor [..] wrażni powalając oblicć wartość śrdnią kwadratu prędkości ożna apisać w postaci: w ( + v w ( + v [..] Ab oblicć wartość całk wstępującch w licniku usi "ujdnolicić" wstępując w nich współrędn; ożna to robić dwojako: popr prjści na współrędn kartjański (co waga podstawinia w v + v lub popr prjści na współrędn bigunow (jakobian prjścia a postać daną wor [..7b]. W pirws prpadku: w ( + v w ( + v ( + v ( v + v [..] v + v v + v Zauważ, ż wrażnia w uskanj sui odpowiadają wartościo śrdni kwadratów -owj i - owj składowj prędkości: v i v. Ich wartości są ocwiści równ. Korstając at woru [..] oż ostatcni okrślić wartość śrdnią kwadratu prędkości: w [..]

13 Prjści w wrażniu [..] współrędnch kartjańskich na współrędn bigunow waga następującgo prkstałcnia: w π π ( + v w w w w w ( + v [..4] dϑdw w dw dϑ dϑdw w w π π w dw dϑ w Oblicni wartości całk wstępującch w t wrażniu (wor [u.8] i [u.9] prowadi do otrania wartości tj saj, co pr poprdni rachunku (w. Ad. Porównaj oblicon w poprdnich punktach wartości śrdni: v w v + v Można at ockiwać, ż v v + v + v [..5] Ab potwirdić nas ockiwania nalż oblicć wartość wrażnia: w w w dw dw v ( + v+ v v ( + v+ v [..6] Analogicni jak w adaniu - oblicnia ożna prowadić w współrędnch kartjańskich lub sfrcnch. Ad. Zgodni wor [..] wrażni powalając oblicć wartość śrdnią v a postać: v v [..7] Całkę wstępującą w licniku ożna ropisać jako suę dwóch całk różniącch się granicai całkowania. Prowadi to do następującgo rultatu: v v + v v + v [..8]

14 Otran wnik jst konskwncją faktu, ż funkcja podcałkowa v jst ilocn funkcji parstj ( i niparstj (v a więc funkcją niparstą (porównaj wór [u.]. Wartość całki wstępującj w ianowniku jst nirowa (wor [u.] i [u.6] at wartość całgo wrażnia [..8]jst równa. v [..9] Rultat tn obowiąuj ocwiści dowolną składową prędkości (v i v. W konskwncji wartość śrdnia wktora prędkości v jst takż równa (v. Ad. Wartość śrdnia odułu dowolnj składowj prędkości będi ocwiści iała wartość różną od. Korstając, jak w poprdnich prpadkach, woru [..] ożna apisać: v v [..4] Zgodni dfinicją wartości bwględnj: a, a a [..4] a, a< wrażni [..4]ożna apisać jako suę dwóch wrażń różniącch się granicai całkowania. Prowadi to do wniosku: v v v v + π Ad.4 Wartość śrdnia odułu prędkości w oż ostać oblicona na podstawi wrażnia: w w ( + v ( + v Prchodąc na współrędn bigunow i korstając worów [u8] i [u] otruj: w π π w w w w dϑdw dϑdw w w w dw ( π [..4] [..4] w dw π 4 [..4] 4

15 Ad. 5 Wrażni powalając oblicć wartość śrdnią odułu prędkości v a postać: v v ( v + v+ v ( v + v+ v [..44] Prchodąc na współrędn sfrcn: π π π π v sinϑdϑdϕ v v sinϑdϑdϕ v v 8 π [..45] Ad. 6 Wrażni [..] opisując nrgię kintcną atou nonu ożna takż apisać w postaci: ε ( v + v + v ε + ε + ε [..46] Korstając aż do nudnia woru [..] i woru [..46] oż apisać: ε ε ( ε + ε + ε ε ε ( ε + ε + ε ε [..45] Postępując analogicni jak poprdnio [..] otruj suę trch składników, odpowiadającch wartościo śrdni poscgólnch składowch nrgii: ε ε ε ε ε ε + + ε ε ε ε ε + ε + ε [..46] Z strii składników su wnika, ż będą on iał taką saą wartość. Oblic at tlko jdn nich. Wstawiając ε i porównując wrażni [..9] ożna apisać: ε v [..47] Korstając at obliconj wcśnij [..] wartości v a: ε [..48] 5

16 W taki rai: ε ε + ε + ε [..49] Otran wnik jst łatw do prwidnia na podstawi asad kwipartcji nrgii. Ad. 7 Schatcn rsunk prdstawiając rokład Mawlla i Bolanna odułu prędkości v dla trch tpratur T, T i T (T T, T 4T prdstawiono poniżj.,6,4, dn,,8,6 T T T,4, vw Jak widać wra wrost tpratur najbardij prawdopodobna wartość odułu prędkości wrasta al licba odpowiadającch jj atoów alj. 6

17 Zadani Załóż, ż biornik o objętości V napłniono gaow fullrn C 6. Cąstcka C 6 jst rotator sfrcn, tj. wsstki tr główn składow jj ontu bwładności są sobi równ. Stosując rokład Mawlla-Boltanna nalźć wor na:. licbę cąstck C 6, dla którch odpowidni składow wktora ontu pędu nalżą do prdiałów (M, M +dm, (M,M +dm, (M,M +dm ;. licbę cąstck C 6 ającch skladow M, M wktora ontu pędu awart w prdiałach (M, M +dm, ((M,M +dm, b wględu na wartość składowj M ;. licbę cąstck C 6 ającch skladową M wktora ontu pędu awartą w prdial (M, M +dm, b wględu na wartości składowch M i M ; 4. licbę cąstck C 6, dla którch oduł wktora ontu pędu w płascźni M M W M + M awart jst w prdial (W, W+dW, b wględu na kirunk ontu pędu w tj płascźni i wartość M. 5. najbardij prawdopodobną wartość W; 6. licbę cąstck C 6, którch oduł wktora ontu pędu M M M + + M awart jst w prdial (M, M+dM 7. najbardij prawdopodobną wartość odułu wktora ontu pędu M. 8. wartość śrdnią M 9. wartość śrdnią W ;. wartość śrdnią M.. wartość śrdnią M ;. wartość śrdnią odułu M ;. wartość śrdnią W; 4. wartość śrdnią M; 5. wartość śrdnią nrgii kintcnj dla trch stopni swobod rotacji. Ad. Wrażni na nrgię rotacji a postać: M M M ε R ( + + [..] I I I Poniważ cąstcka fullrnu jst bąki sfrcn, składow jj ontu bwładności są sobi równ: I I I I [..] Wrażni na nrgię rotacji prjuj at postać: ε R I M + M + M ( [..] a rokład Mawlla-Boltanna ożna apisać korstając worów [W..9, W..], w którch ε εr ( M + + I M M [..4a] dτ µ dmdmdm [..4b] W taki rai rokład MB a postać: ( M + M + M I dn Cn dm dm dm gdi C jst stałą noraliującą rokładu wrażoną (wór [W..] w następując sposób: [..5] ( M + M + M I C dm dm dm [..6] 7

18 Połącni obu worów prowadi do wrażnia na licbę cąstck C 6, dla którch odpowidni składow wktora ontu pędu nalżą do prdiałów (M, M +dm, (M,M +dm, (M,M +dm : dn n ( M+ M + M I dmdmdm ( M+ M + M I dmdmdm [..7] i ostatcni po oblicniu wartości całk najdującch się w ianowniku powżsgo wrażnia: ( M + M + M I dm dm dm dn n ( πi [..8] Prprowadon wżj rouowani jst analogicn do prprowadongo w poprdni adaniu i prowadącgo do wrażnia [..7] okrślającgo licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow pędów nalżą do prdiałów (p, p +dp, (p,p +dp, (p,p +dp. Nic diwngo; wrażni na nrgię rotacji ε εr ( M + + I M M [..9] ożna łatwo otrać astępując w wor opisując nrgię translacji: ε ( p + p + p [..] wilkości charaktrstcn dla ruchu postępowgo (asa, składow wktora pędu wilkościai charaktrstcni dla ruchu obrotowgo (ont bwładności, składow wktora ontu pędu: I [..a] p M, p M, p M, [..b] Analogicn astąpini innch w wor [..7] opisując licbę atoów nonu, dla którch odpowidni składow pędów nalżą do prdiałów (p, p +dp, (p,p +dp, (p,p +dp usi at prowadić do otrania woru [..8] na licbę cąstck C 6, dla którch odpowidni składow wktora ontu pędu nalżą do prdiałów (M, M +dm, (M,M +dm, (M,M +dm. Ad. Wór opisując licbę cąstck C 6 ającch składow M, M wktora ontu pędu awart w prdiałach (M, M +dm, ((M,M +dm, b wględu na wartość składowj M uska postępując w sposób analogicn do opisango w punkci poprdnigo adania. Sprowada się on t ra do wliinowania ( woru [..8] alżności od wartości składowj M. Otruj w tn sposób: dn n i ostatcni: ( M+ M I M M dm dm I I dm ( M + M I dmdm dn n πi [..] [..] 8

19 Powżs wór ożna apisać prprowadając (opisaną w punkci aianę innch w otran w poprdni adaniu wor [..5b] na licbę atoów nonu ającch składow p,p pędów awart w prdiałach (p, p +dp, (p,p +dp, b wględu na wartość składowj p. Sposób rowiąania problu opisango w adaniu oż na służć obcni jako swgo rodaju worc postępowania. Prdstawion ta tok rouowania ożna stosunkowo łatwo dostosować do rowiąania nasgo problu. Dodatkowo, prprowadni odpowidnij aian innch w wprowadonch w ad. worach prowadi nial autoatcni do uskania worów będącch rowiąani ninijsgo adania. Ad. Wór [..] okrśla licbę cąstck fullrnu ającch składow M,M ontu pędu awart w prdiałach (M, M +M, (M,M +dm, b wględu na wartość składowj M. Zainiając w ni współrędn kartjański M, M na współrędn bigunow w, ϕ, gdi: W M + M [..a] dm dm WdWdϕ [..b] otruj: W dn n I πi dwdϕ [..4] Eliinacja alżności od kąta ϕ : π W dn n 4 dw d ϕ [..5] πi prowadi ostatcni do woru okrślającgo licbę cąstck fullrnu, dla którch oduł ontu pędu W M + M w płascźni M M awart jst w prdial (W, W+dW, b wględu na kirunk ontu pędu w tj płascźni i wartość M. Ma on postać: W dn n I WdW I 4 [..6] Mchanicn porównani postaci powżsgo woru postacią wrażnia na licbę atoów nonu, dla którch oduł prędkości w płascźni v v w v + v awart jst w prdial (w, w+dw, b wględu na kirunk prędkości w tj płascźni i wartość v ( poprdnigo adania prowadi do spostrżnia, ż ont bwładności wstępuj tu w ianowniku, podcas gd w wsponian wor wstępował w licniku. Wnika to ocwiści faktu, ż korsta woru, w któr intrsującą nas inną jst oduł prędkości a ni oduł pędu. Ctlnik oż sa łatwo sprawdić, ż w prpadku korstania woru, w któr inną jst oduł pędu, aiana innch jst autoatcna. Ad. 5 W oparciu o analogię do woru [..d]: wa ożna łatwo prwidić, ż posukiwani najbardij prawdopodobnj wartości W daj: Wa I [..7] Wartość ta odpowiada ocwiści aksiu funkcji [..6]. Sprawdni tgo bpośrdni rachunki poostawia ctlnikowi. 9

20 Ad. 6 Korstając woru okrślającgo licbę cąstck C 6, dla którch odpowidni składow wktora ontu pędu nalżą do prdiałów (M, M +dm, (M,M +dm, (M,M +dm i prchodąc na współrędn sfrcn ora liinując alżność od kątów ϑ, ϕ otruj wór na licbę cąstck C 6, którch oduł wktora ontu pędu M M M + + M awart jst w prdial (M, M+dM: M dn n I 4 4π M dm [..8] πi Do woru [..8] doprowadi równiż odpowidnia aian wilkości w wor [..6]. Ad. 7 Najbardij prawdopodobną wartość odułu wktora ontu pędu M równą: Ma I [..9] otra postępując w sposób opisan w punkci 5. Ad. 8 Korstając woru [W..] wrażni na wartość śrdnią kwadratu składowj -owj wktora ontu pędu ożna apisać w postaci (analogicni do woru [..9] poprdnigo adania: M M M I M I dm dm [..] Oblicając wartości całk wstępującch w t wrażniu (wor [u] i [u4] (lub na podstawi ian sboli w wor[..9] otruj: M I [..] Ad. 9 Zgodni wor [W..] wrażni powalając oblicć wartość śrdnią kwadratu ontu pędu ożna apisać w postaci: W ( M + M I W ( M + M I dm dm dm dm [..] Prchodąc na współrędn sfrcn (ctlnikowi poostawia prprowadni odpowidnich oblicń w współrędnch kartjańskich otruj: W W I W W W I dw dw [..] Oblicni wartości całk wstępującch w t wrażniu (wor [u.8] i [u.9] prowadi do otrania wartości W I [..4]

21 Ad. Oblicon w poprdnich punktach wartości śrdni: M I W M + M I powalają okrślić, ż: M M + M + M I [..5] Sprawdni tgo wniku bpośrdnii oblicniai poostawia ctlnikowi. Ad. - 5 Poniżj podaj jdni ostatcn wniki oblicń. Ich wkonani poostawia ctlnikowi. M [..6] I M [..7] π W M πi [..8] 8I π [..9] ε [..] R

22 Zadania do saodilngo rowiąania Zadani Fikosorbowan cąstcki wodoru śligają się swobodni po płaskij powirchni kataliatora talicngo. Zakłada, ż ich stężni na powirchni jst ał. A. Ignorując poostał stopni swobod apisać i unorować rokład Mawlla-Boltanna dla translacji aadsorbowanch cąstck wodoru ora nalźć wor na I. licbę cąstck, którch oduł prędkości awart jst w prdial [v, v+]. II. śrdni oduł prędkości środków ciężkości cąstck III. śrdni kwadrat prędkości środków ciężkości cąstck. IV. śrdnią prędkość środków ciężkości cąstck V. śrdni oduł pędu środków ciężkości cąstck VI. śrdni kwadrat pędu środków ciężkości cąstck. VII. śrdni pęd środków ciężkości cąstck B. Ignorując poostał stopni swobod, apisać i unorować rokład Mawlla-Boltanna dla rotacji aadsorbowanch cąstck wodoru ora nalźć wor na I. licbę cąstck, którch oduł ontu pędu awart jst w prdial [M,M+dM]. II. śrdni oduł ontu pędu cąstck III. śrdni kwadrat ontu pędu cąstck. IV. śrdni ont pędu cąstck C. Ignorując poostał stopni swobod, apisać i unorować rokład Mawlla-Boltanna dla osclacji aadsorbowanch cąstck wodoru ora nalźć wor na I. licbę cąstck, którch oduł wchlnia położnia równowagi awart jst w prdial [ ζ ; ζ + dζ ] II. śrdni oduł wchlnia położnia równowagi III. śrdni kwadrat wchlnia położnia równowagi IV. śrdni wchlni położnia równowagi D. Oblicć cipło właściw aadsorbowango wodoru w granic i wsokich, ii niskich tpratur., Zadani Cąstcka siarkowodoru jst aadsorbowana chicni w tn sposób, ż ato siarki stal spocwa w t sa punkci na płaskij powirchni kataliatora, a ato wodoru wkonują rotację w płascźni równolgłj do tj powirchni. I. Zapisać wór Mawlla-Boltanna, opisując w stani równowagi trodnaicnj licbę cąstck siarkowodoru poprdnigo adania, którch oduł ontu pędu dla ruchu obrotowgo atoów wodoru wokół osi prostopadłj do powirchni kataliatora i prchodącj pr ato siarki awart jst w prdial [M,M+dM]. Rokład unorować. II. Znalźć wor na a wartość najbardij prawdopodobną odułu ontu pędu; b wartość śrdnią ontu pędu; c pirwiastk wartości śrdnij kwadratu ontu pędu; Usrgować powżs wartości w porądku rosnąc. d Jak iniłb się śrdni kwadrat ontu pędu, gdb oba ato wodoru astąpion ostał dutr? III. Jaki jst, pr ałożniach prjętch w adaniu, olow cipło właściw aadsorbowango siarkowodoru?

23 Zadani Enrgia potncjalna dla trójwiarowgo iotropowgo osclatora haronicngo a postać: U k( + +. Traktując ato krstału nonu jako spół takich osclatorów stosującch się do rokładu Mawlla-Boltanna nalźć wor na: I. Licbę atoów, dla którch odpowidni składow wchlnia nalżą do prdiałów (, +d, (,+d, (, +d; II. licbę atoów ającch skladow, wchlnia w prdiałach (, +d, (, +d b wględu na wartość składowj ; III. licbę atoów, dla którch oduł wchlnia w płascźni ρ + awart jst w prdial ( ρ, ρ + d ρ, b wględu na kirunk wchlnia w tj płascźni i wartość. IV. najbardij prawdopodobną wartość ρ. V. licbę atoów, którch wchlnia położnia równowagi r + + awart jst w prdial (r, r+dr VI. najbardij prawdopodobną wartość wchlnia r.

24 Uupłnini Funkcja gaa Eulra dla licb naturalnch: Γ( n ( n! n N [u.] dla niparstch wilokrotności licb : π n ( n!! dla n,,... Γ( n + [u.] π dla n n Całki tpu a d n a d Γ( n + a> n+ a [u.] n n a - n a - n 6a -4 a d [u.4] [u.5] [u.6] n+ a Całki tpu d n n n n n+ a d a d a a d a 5 a d a n+ a d a Γ( n + n+ [u.7] [u.8] [u.9] [u.] Funkcja podcałkowa jst tu ilocn funkcji niparstj i parstj (a więc funkcją niparstą. W konskwncji: n+ a d [u.] 4

25 n a Całki tpu d n a d Γ( n + n+ a [u.] n n n n n a d a d a π a d π a 4 a d π a [u.] [u.4] [u.5] Funkcja podcałkowa jst tu ilocn dwóch funkcji parstch (funkcją parstą. W konskwncji: n a n a d d [u.6] 5