Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE

Transkrypt

1 . UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego wektor nie jest równoległ do żadnej głównch, centralnch osi bewładności prekroju poprecnego. Będiem się starali wnacć element macier naprężeń i odkstałceń ora współrędne wektora premiescenia w dowolnm punkcie pręta. Roważm więc, pokaan na rs.. pręt prmatcn określon w układie osi (,,), w którm oś jest osią pręta, a osie (, ) są głównmi centralnmi osiami bewładności jego prekroju poprecnego. ateriał pręta jest iotropow, liniowo sprężst o stałch materiałowch E ora ν. W roważanm prpadku moment ginając diała w płascźnie anaconej sarm kolorem na rsunku, a jego wektor jest nachlon pod kątem α do osi. v (,0,0 ) α α I II płascna obciążenia ślad płascn obciążenia Rs.. Pr rowiąwaniu postawionego adania wkorstam wniki uskane dla prpadku ginania prostego. Otóż godnie asadą de Saint-Venanta statcnie równoważne obciążenia wwołują jednakowe stan naprężenia i odkstałcenia, a jeśli tak to moment możem astąpić dwoma równoważnmi mu momentami cosα i sinα, którch kierunki są równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rs..). W ten nieskomplikowan sposób otrmaliśm dwa proste ginania wględem osi i, dla którch maciere naprężeń są już nam nane. W obu prpadkach jednm nieerowm elementem macier naprężeń jest naprężenie normalne σ. Proste sumowanie, godnie asadą superpocji, daje wór określając te naprężenia, dla roważanego pręta, w postaci: σ (.) lub, po wkorstaniu ależności międ, i w formie: cosα sinα σ. (.) 9

2 Wor określające krwinę osi pręta po deformacji w wniku diałania momentów, mają postać: i ρ E ora ρ E. (.), w, v Ugięcia punktów osi pręta w kierunku osi i oblicam od każdego momentu ginającego osobno, korstając równań różnickowch, które pr wrotach momentów i układu odniesienia pokaanch na rs.. są następujące: Rs.. d w d E ora d v d E (.) Całkowite ugięcie osi belki jest geometrcna sumą ugięć od składowch momentów ginającch. acier odkstałceń odpowiadając temu stanowi naprężenia łatwo wnacm równań Hooke a, i będie ona awierała jednie tr odkstałcenia liniowe, którch dwa są sobie równe... nalia stanu naprężenia i odkstałcenia W tm prpadku wtrmałości w pręcie wstępuje jednoosiow niejednorodn stan naprężenia, pr cm wartości naprężeń normalnch σ, są liniową funkcją miennch ora i nie ależą od miennej. Ponieważ jednm nieerowm elementem macier naprężeń jest σ, to wnioski anali stanu naprężenia i odkstałcenia dla tego prpadku, dotcące naprężeń i odkstałceń głównch ich kierunków, jak i ekstremalnch naprężeń stcnch będą analogicne do tch, jakie bł w prpadku osiowego rociągania i ginania prostego. Wor (.) c (.) pokaują, że końce wektorów naprężenia σ leżą na płascźnie - płascźnie naprężeń. Krawędź precięcia się płascn naprężeń płascną prekroju poprecnego, tj. oś obojętna, stanowi miejsce geometrcne punktów, w którch wartości naprężeń normalnch spełniają równanie: σ 0 Podstawiając do niego wrażenie (.) dostajem równanie osi obojętnej dla roważanego prpadku: tgα (.5) atrmajm się chwilę pr równaniu tej prostej. ego prosta analia pokauje, że pr ukośnm ginaniu: oś obojętna prechodi pre pocątek układu współrędnch ale jej położenie (nachlenie) nie ależ od wartości momentu ginającego, 0

3 położenie osi obojętnej ależ od wartości, ora α, tn. od geometrii prekroju poprecnego i płascn diałania obciążeń, oś obojętna nie pokrwa się kierunkiem wektora momentu ginającego (tak bło w prpadku prostego ginania), odchla się ona od niego w kierunku minimalnej głównej centralnej osi bewładności prekroju poprecnego. Wjątek mogłb stanowić prekroje dla którch, ale wobec erowania się momentu dewiacji, każda oś centralna jest osią główną centralną i w takim prpadku awse wstępować będie proste ginanie. Powżse spostreżenia są bardo istotne punktu widenia wmiarowania, bo powalają łatwo wnacć punkt prekroju poprecnego, w którch naprężenia normalne σ osiągają wartości ekstremalne. Punkt te położone są najdalej od osi obojętnej co wnika to liniowości woru określającego wartości naprężeń normalnch. Rokład naprężeń normalnch σ w prekroju poprecnm pręta pokauje rs... oś obojętna Rs.. Rokład ten jest wnikiem dodania do siebie rokładów dwóch prostch ginań, tj. ginania w płascźnie (, ) i w płascźnie (, ) (rs..). Rs.. ak już ostało powiediane, najwiękse co do bewględnej wartości naprężenia wstąpią w punktach najodleglejsch od osi obojętnej. Wnacenie położenia tch punktów pr najomości położenia osi obojętnej nie powinno sprawiać trudności. Kolejn ra należ podkreślić, że wprowadone wor obowiąują pr prjętch wrotach osi układu odniesienia i wektora momentu ginającego. W prpadku innch wrotów należ we worach uwględnić korektę naków.

4 .. Wmiarowanie prętów ukośnie ginanch Tak jak w prpadku prostego ginania ogranicm się tera tlko do wmiarowania e wględu na stan granicn nośności, prjmując, że będie on osiągnięt, jeśli prnajmniej w jednm punkcie prekroju poprecnego wielkość naprężenia normalnego będie równa wtrmałości obliceniowej. eśli pręt wkonan jest materiału którego wtrmałości obliceniowe pr rociąganiu R r i ściskaniu R c, są różne to warunek stanu granicnego nośności stanowią nierówności: ma σ R i ma σ c Rc gdie: r r ma σ r i ma σ c - najwiękse naprężenia rociągające i ściskające w prekroju poprecnm. W prpadku materiału o tej samej wtrmałości obliceniowej na rociąganie i ściskanie (materiał ionomicn) warunek wmiarowania będie jeden: ma σ R. Gd prekrój poprecn pręta ma dwie osie smetrii i obrs ewnętrn jego kstałtu jest prostokątn np. dwuteownik, prostokąt wciętmi otworami itp. to maksmalne naprężenia normalne wstąpią w narożach i mają wartość: ma σ r ma σ c +. W W.. Prkład Prkład... Drewniana belka wspornikowa o długości l.0 m i prostokątnm prekroju poprecnm b cm, h cm obciążona jest na końcu siłą P.0 kn nachloną pod kątem α 0 do osi pionowej (rsunek obok). Wnacć rokład naprężeń normalnch w prekroju utwierdenia i położenie osi obojętnej. Rowiąanie płascna obciążenia h P b l α P.0 kn P α knm l.0 m.0 ślad płascn obciążenia

5 Rsunek wżej pokauje wkres momentów ginając w płascźnie obciążenia. W utwierdeniu moment ma wartość.0 knm a jego wektor będąc prostopadł do płascn obciążenia nie jest równoległ do żadnej głównch centralnch osi bewładności prekroju poprecnego. am do cnienia e ginaniem ukośnm (dokładniej mówiąc wra e ścinaniem, ale naprężenie stcne, w tm prkładie, nie są predmiotem nasego ainteresowania). Składowe tego wektora (pokaane na rsunku) w osiach głównch centralnch mają wartości: cos α.0 * knm, sin α.0* knm. Główne centralne moment bewładności wnosą: * 8 cm, * 5 cm. W prjętm układie odniesienia i wrotach momentów rokład naprężeń normalnch określa wór: σ. 59* 0 8* * 0 5* 0 8. * 0 Wartości naprężeń normalnch w narożach prekroju wnosą:. 0 σ. * 0 ( 0. ). 0 ( 0. 0 ). * 0. 8* Pa σ. * 0 ( 0. ). 0 ( 0. 0 ). * 0. 8* 0 5. Pa σ. * 0 ( 0. ). 0 ( 0. 0 ). * * Pa σ. * 0 ( 0. ). 0 ( 0. 0 ). * * 0 5. Pa Równanie osi obojętnej: σ 0. * Oś obojętna twor osią kąt 55, widać jak wraźnie odchla się ona od wektora momentu gnącego, któr twor osią kąt 0, w stronę głównej centralnej osi o mniejsm momencie bewładności. Rsunki poniżej pokaują rokład naprężeń normalnch w prekroju utwierdenia. Rsunek po lewej, cęsto nawan jest brłą naprężeń, rsunek po prawej pokauje rokład naprężeń na krawędiach prekroju, ale daje pełn obra tego co się dieje wewnątr oś obojętna σ Pa oś obojętna

6 Prkład... Wnacć rokład naprężeń normalnch w prekroju utwierdenia belki wspornikowej o obciążeniu i prekroju poprecnm jak na rsunku. q P.0 kn q0.5 kn/ m l.0 m α P α 0 cm Rowiąanie Obciążenie ciągłe q diała w płascźnie która odchla się od płascn (, ) o kąt 0, siła skupiona P diała w płascźnie (, ). adanie w którm obciążenia diałają w dowolnch płascnach najprościej jest rowiąwać wkorstując asadę superpocji sumując moment od poscególnch obciążeń. Ponieważ moment wstępują w różnch płascnach sumowanie należ wkonać uwględnieniem ich własności wektorowch pamiętając, że wektor momentów są prostopadłe do płascn diałania obciążeń które je wwołują. Otrmaną sumę należ potem rołożć na składowe równoległe do głównch centralnch osi bewładności prekroju poprecnego. tego wględu wdaje się, że najgrabniej jest rokładać obciążenie na składowe równoległe do tch osi bo otrmane od nich moment będą od rau tmi które należ wstawiać do woru na naprężenia normalne. I tak też będiem postępować w tm prkładie. α α 0 Składowe obciążenia ciągłego q wnosą: qsin α 0.5* kn/m q q q cos α 0.5*0.8 0.kN/m Wkres momentów w płascnach układu odniesienia q 0. q 0.50 q cm obciążenie w płascźnie (, ) obciążenie w płascźnie (, ) q 0. kn/ m P.0 kn l.0 m q 0.50 kn/ m l.0 m.99 knm.5 knm

7 Składowe momentu ginającego w prekroju utwierdenia pokaane są na rsunku obok, a rokład naprężeń normalnch określa ależność: σ Wartości naprężeń policm w narożach prekroju. W tm prpadku będą to punkt, którch współrędne są maksmalne, stąd możem naprężenia policć korstając e wskaźników wtrmałości: b h * W 5 cm hb *, W 5 cm. ma ma *0.5*0 σ.* 0 W W 5*0 5 *0.99 *0.5*0 σ.9 * 0 W W 5 *0 5 *0.99*0.5*0 σ + +.* 0 W W 5*0 5*0.99 *0.5*0 σ * 0 W W 5 *0 5 *0 Pa. Pa, Pa -.9 Pa, Pa -. Pa, Pa.9 Pa oś obojętna.9 σ Pa Prkład... Dobrać potrebne wmiar kątownika równoramiennego e wględu na naprężenia normalne dla belki obciążonej jak na rsunku jeśli R 5 Pa. 0 0 q kn/ m l.0 m q 0 0 5

8 Rowiąanie q kn/m l.0 m ma q l / oś obojętna ma 0 Obciążenie diała w płascźnie (, 0 ) atem wektor momentu ginającego jest równoległ do osi 0. Ponieważ jest ona tlko osią centralną a nie główną centralną wstępuje prpadek ukośnego ginania. Osie główne centralne (, ) w tm prekroju poprecnm (oś jest osią smetrii) nachlone są pod kątem 5 do osi centralnch ( 0, 0 ). aksmaln moment ginając wstępując w środku ropiętości belki wnosi: q l * ma. 5 knm, 8 8 a jego współrędne w osiach głównch centralnch mają wartości: 0 wmiar w cm ma knm. Prjęto kątownik równoramienn 0*0*5, którego główne centralne moment bewładności mają wartości 98 cm, 50 cm. Należ tera sprawdić c spełnion jest warunek stanu granicnego nośności e wględu na naprężenia normalne, któr wmaga ab: ma σ R. aksmalne naprężenia normalne wstąpią w punkcie najodleglejsm od osi obojętnej. ej położenie jest łatwo naskicować. Odchla się ona od wektora momentu ginającego w stronę osi, bo wględem tej osi moment bewładności jest najmniejs. Nietrudno tera stwierdić, że punkt jest najodleglejs od osi obojętnej i w osiach głównch centralnch ma współrędne (8.8, 5.0) cm. Rokład napreżeń normalnch w tm prpadku określa ależność: σ, stąd σ * * * 0 98* * 0 50* 0. Pa, a ponieważ : σ ma σ. < R 5, więc prekrój ostał prjęt prawidłowo.

9 Prkład... Wnacć maksmalne naprężenia normalne w prekroju poprecnm adanej belki ora maksmalne ugięcie jej osi jeśli E 05 GPa. knm Rowiąanie Rokład napreżeń normalnch pr tch ustalonch wrotach momentów i osi układu współrędnch wnaca ależność: σ R kn ( ) + Łatwo dowieść równań równowagi, że diałające w płascźnie (, ) obciążenie q wwoduje reakcje R RB 0.0kN a diałając w płascźnie (, ) moment powoduje reakcje R RB. 0 kn. Równania momentów ginającch ( ) i ( ) napisem prjmując a dodatnie moment pokaane na wkresach obok. I tak ( ) 0 0 ( ) rokładu momentów na belce można wnioskować, że maksmalne naprężenia wstąpią w punkcie K ( jeśli mam wątpliwości to można sprawdić we wsstkich punktach narożnch). atem: K 0 σ ( ) ( 8* 0 ) + ( 8. 5* 0 ) ( +. ) * 0 * 0 89 R 0 kn q 0 kn/m l.0 m q 0 kn/m l.0 m R B kn () ( ) cm knm () B R B 0 kn 0 89 Warunek koniecn ekstremum funkcji jednej miennej daje równanie, którego wnacm położenie prekroju w którm naprężenie normalne jest maksmalne: cm cm Profil spawan IPES 0 Hut Pokój 08 cm, cm K cm

10 K dσ d ( ) m. oment ginające w tm prekroju mają wartości: (. ) 0*. 0*.. 0 knm, (. ) *.. 9 knm. Stąd maksmalne naprężenia normalne w prekroju poprecnm belki wnosą: K σ. 0* 0 (. ) ( 8* 0 ) + ( 8. 5* 0 ) * 0 * * 0 N/m 09. Pa. ( ) ajmiem się tera obliceniem maksmalnego ugięcia osi belki. Prekrój poprecn w którm oś belki premieści się najwięcej nie musi się pokrwać tm w którm wstępują najwiękse naprężenia normalne. w v Ugięcia punktów osi pręta w kierunku osi i oblicm od każdego momentu osobno korstając równań różnickowch, które pr wrotach momentów i układu odniesienia pokaanch na rsunku obok są następujące: d w d E ora d v d E. Oblicenie ugięcia w płascźnie (, ). d w d ( ) ( ) '' E ( ) 0 E w 0 ' ( ) 0 0 C E w + ( ) C D E w + Kinematcne warunki bregowe: / w / w ( 0) 0 D 0 D 0 ( ) 0 5* 0* + C 0 C 80 knm. atem funkcja ugięcia w płascźnie (, ) ma postać: w 5. ( ) E Oblicenie ugięcia w płascźnie (, ). 8

11 d v d ( ) ( ) '' E ( ) E v ' ( ) C E v + ( ) + C D E v + Kinematcne warunki bregowe: / v / v ( 0) 0 D 0 D 0 ( ) 0 * + C 0 C knm. Stąd funkcje ugięcia w płascźnie (, ) określa ależność: v. ( ) + E Całkowite ugięcie jest geometrcną sumą premiesceń w tch dwóch prostopadłch płascnach określoną worem: f ( ) v ( ) + w ( ). Podstawiając a v ( ) ora w ( ) f ( ) E 0. 8* wżej otrmane ależności dostajem: E 80 ( ) + ( ) iejsce wstąpienia maksmalnego ugięcia otrmujem równania erowania się pochodnej jego funkcji: ( ) df d 0 * 9. 5 ( )( ) + * ( )( ) 9. 5 ( ) + ( ) którego rowiąaniem jest. 8 m. aksmalne ugięcie wnosi: (. 8) 0. 8* 0 * ma f f Składowe tego premiescenia są równe: v (. 8). 55 cm i (. 8). 00 w cm. m.5 cm. 0 9