5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW

Transkrypt

1 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 5.. Podstawow równania liniowj sprężstości Stosowan w ninijsm opracowaniu opis omawianch agadniń odnosi się do prostokątngo układu współrędnch kartjańskich [ ] lub gd stosujm apis wskaźnikow do układu [ 3 ]. Chcąc dfiniować podstawow układ równań opisując stan naprężnia stan odkstałcnia i pol prmiscń układu będim się posługiwać następującmi onacniami. Nich stan naprężnia w niskońcni małj objętości ciała poddango diałaniu obciążnia będi opisan w układi współrędnch a pomocą składowch tnsora uporądkowanch w macir w postaci: ij 3 ij 3 (5.) gdi składow są naprężniami normalnmi natomiast opisują naprężnia stcn. nsor stanu naprężnia (5.) jst smtrcn to nac ż achodą następując równości: (5.) Stosując konskwntni apis macirow wgodni jst nikid opisać stan naprężnia a pomocą wktora naprężnia o następującch składowch: [ ]. (5.3) utaj tak jak i poprdnio a pomocą idntcnch indksów onacono składow normaln indks aś różn opisując składow macir informują o składowch stcnch stanu naprężnia. Stan odkstałcnia podobni jak poprdnio nawiąując do opisu tnsorowgo rprntuj macir składowch w postaci: ij ` 3 ij 3. (5.4) W apisi macirowm posługiwać się będim wktorm odkstałcnia odnision do układu [ ] są następując: którgo składow [ γ γ γ ] (5.5) omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

2 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM Zwracam w tm mijscu uwagę ż w wor (5.5) posługujm się tw. inżnirskimi dfinicjami odkstałcń stcnch wiąanmi odpowidnimi składowmi tnsora odkstałcń a pomocą wiąków: γ γ γ. (5.6) Prjęci w apisi macirowm miar inżnirskich odkstałcń ( γ - kąt odkstałcnia postaciowgo) podktowan jst dwoma faktami. Pirws to ich powschn użwani w klascnch agadniniach liniowj sprężstości. Drugi aś wnika konicności spójngo potraktowania miar naprężń i odkstałcń b w prost sposób można bło apisać wrażni na pracę w obu apisach - wskaźnikowm i macirowm: ij ij. (5.7) Opróc pól naprężń i odkstałcń do apisania podstawowgo układu równań konicn jst jsc pol prmiscń którgo składow w punkci opisan są w apisi wskaźnikowm: lub w macirowm: [ u u u ] ui 3 (5.8) [ u v w] u. (5.9) 5.. Podstawow równania w apisi wskaźnikowm Dla prpomninia apism podstawow układ równań liniowj torii sprężstości. powa analia ciała odkstałcalngo wmaga nalinia funkcji naprężń lub prmiscń u spłniającch następując równania: - tr równania różnickow cąstkow równowagi (równania Navira) + i j 3 (5.) ij b i gdi w apisi wskaźnikowm astosowano umowę sumacjną co nac ż powtarając się w jdnomiani wskaźnik informuj o konicności dokonania sumowania po wsstkich możliwch jgo wartościach a wstępując międ wskaźnikami nak prcinka jst smbolm różnickowania wględm odpowidnij minnj prstrnnj; na prkład ; - sść równań różnickowch cąstkowch gomtrcnch (równania Cauch'go) ( + u ) ij u i j j i (5.) - sść równań algbraicnch ficnch (równania Hook'a) ij ijkl kl (5.) Z powżsgo apisu ni wnika dklarowana uprdnio licba równań al biorąc pod uwagę ałożnia o iotropii układ (5.) rdukuj się tlko do sściu nialżnch równań i wstępującch w nich tlko dwóch stałch matriałowch. Ponadto posukiwan rowiąania musą dodatkowo spłniać: - równania nirodilności gomtrcnj omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

3 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 3 (5.3) ij kl + kl ij ik jl jl ik w każdm punkci obsaru ora - naprężniow i prmiscniow warunki brgow n p na brgu ij j * i S * u i u i na brgu S u (5.4) (5.5) S S u pr cm oba dklarowan brgi i są rołącn tworąc w sumi cał brg ropatrwango obsaru tn. S S u ora S S u S. Domślam się ż wględu na łożoność wmagań nakładanch na rowiąania problmów okrślni funkcji analitcnch spłniającch równania (5.) - (5.5) ni jst łatw. W scgólności adani staj się nimożliw do rowiąania jśli skomplikuj się warunki brgow problmu. Zauważm jsc ż rowiąani problmu mchanicngo opisango a pomocą tak skonstruowango modlu matmatcngo prowadi do adania anali matmatcnj. rudności na któr natrafia się pr takim sformułowaniu skłaniają do posukiwania innch rowiąań tm ram już ni analitcnch lc rowiąań prbliżonch Podstawow równania w apisi macirowm Ropocnijm tm ram od równań gomtrcnch. Odpowidni składow wktora odkstałcń można apisać w następującj postaci: u v w γ v w + γ γ u w +. u v + (5.6) Użwając poprdnio wprowadonch onacń apism powżs układ alżności w postaci: L u (5.7) gdi macir opratorów różnickowch L ma wmiar ( 63) a jj składow można prdstawić jako L. (5.8) Równania równowagi można tra apisać krótko: L + b (5.9) omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

4 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 4 gdi jst wktorm sił masowch. Zwróćm uwagę na fakt ż macir opratorów różnickowch równań równowagi (5.9) jst transponowana do odpowidnij macir wiąków gomtrcnch. b Równania ficn (konsttutwn) jako alżności międ składowmi wktorów naprężń i odkstałcń okrślon są następująco: G G G γ γ γ (5.) gdi pr onacono moduł odkstałcalności podłużnj (moduł Younga) aś ) ( + G jst modułm odkstałcalności postaciowj (moduł Kirchhoffa) st licbą Poissona. W postaci równania macirowgo powżsą alżność konsttutwną można wraić jako j C (5.) gdi ) ( ) ( ) ( C. (5.) Zalżność (5.) jst jdnonacna a kwadratowa macir konsttutwna jst niosobliwa istnij więc odworowani odwrotn D (5.3) gdi macir i jj rprntacja prdstawia się następująco: D C + ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) ( D (5.4) Podsumowując łatwo auważć i docnić więłość stosowango apisu macirowgo któr powala widić podstawow układ równań w następującj postaci: omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

5 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 5 L u L + b (5.5) C lub D 5.. Analia prbliżona problmu brgowgo Jak wspomniano wżj możliwość nalinia rowiąań problmów brgowch w postaci amkniętch formuł analitcnch ogranica się nistt do wąskij klas adań. W więksości prpadków ważnch inżnirskigo punktu widnia to nac dla prpadków najdującch astosowania praktcn skomplikowan warunki podparcia układów nitpow obciążnia c inn nirgularności unimożliwiają otrmani rowiąań analitcnch. Chęć otrmania wartościowch jakościowo i ilościowo wników opisującch stan układów musa do sukania odpowidi na drod dskrtacji. Zamiast więc sukać odpowidi układu w postaci pól naprężń odkstałcń i prmiscń posukuj się wartości tch pól w skońconj licbi punktów nalżącch do obsaru i jgo brgu. Z punktu widnia astosowań aparatu matmatcngo w prpadku stosowania dskrtacji uwalniam się od rowiąwania problmu różnickowgo astępując go adanim algbraicnm. Ni chcm w tm mijscu dskutować o różnch możliwościach stosowania dskrtacji a co a tm idi o różnch mtodach rowiąwania problmów brgowch. Podkrślam tlko ż omawiana tutaj MS akłada analię prbliżoną polgającą na podial całgo układu na mnijs cęści (lmnt) posiadając charaktrstcn punkt wan węłami w którch to punktach skoncntrowana jst nijako płna informacja o achowaniu się tch lmntów i ich własnościach. Wspomnian prbliżni polga - w najbardij podstawowj wrsji - na prjęciu pola prmiscń opisującgo prmiscni dowolngo punktu lmntu jako funkcji prmiscń węłów i położnia dango punktu (jst to tw. wrsja prmiscniowa MS). Niwiadom są więc prmiscnia węłów. Musim bć świadomi ż prjmowan funkcj okrślając pol prmiscń lmntu wkl ni odpowiadają w płni funkcjom analitcnm rowiąującm problm różnickow. Innmi słow popłniam na tm tapi błęd któr jak można to udowodnić malją w miarę jak rośni licba lmntów na któr podilono cał układ. Musim bć takż świadomi ż prjmując pol prmiscń w postaci okrślonch funkcji dklarujm tm samm pr wiąki gomtrcn pol odkstałcń i dalj pr alżności konsttutwn - pol naprężń. Jśli w okrślonch prpadkach scgólni alż nam na w miarę jak najlpsm odworowaniu pola odkstałcń bądź naprężń istniją inn możliwości prjęcia funkcji aproksmacjnch akładającch wprost t właśni pola. aki sformułowania MS ni będą jdnak prdmiotm ninijsgo opracowania. Roważana wrsja prmiscniowa MS w clu pranaliowania problmu brgowgo wmaga podjęcia następującch kroków: - dokonania podiału układu (konstrukcji kontinuum) na skońconą licbę podobsarów o prostj gomtrii - wbrania punktów węłowch (węłów) w którch ostaną apwnion warunki równowagi i godności prmiscń - ałożnia funkcji prmiscń w obsarach każdgo lmntu takigo ż prmiscnia wsstkich punktów alżą od prmiscń węłów - spłninia w lmnci alżności L u ora D - wnacnia stwności lmntów i równoważnch sił węłowch - budowania układu równań równowagi dla węłów dskrtowango kontinuum - rowiąania układu równań równowagi dla prmiscń węłów - oblicnia prmiscń odkstałcń i naprężń w wbranch punktach lmntów - oblicnia rakcji podpór. omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

6 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM Podstaw MS wnikając równania prac wirtualnj Załóżm ż trójwmiarow lmnt skońcon jst dfiniowan w kartjańskim układi współrędnch [ ]. Nich wktor u opisując prmiscni dowolngo punktu lmntu jst wrażon a pomocą składowch: u [ u v w] gdi u v w są - odpowidnio - prmiscniami w kirunku osi. Sił masow onacm a pomocą wktora b [ b b b gdi składow onacają sił prpadając na jdnostkę objętości powirchni lub długości. Pr d onacm wktor prmiscń węłowch lmntu.. Wmiar tgo wktora jst równ licbi węłów lmntu pomnożonj pr licbę prjętch stopni swobod węła. Jśli ałożm ż prmiscnia węła opisują składow prsunięć w kirunku osi ora jśli n jst licbą węłów w lmnci to ] gdi [ di ] i nn d... i [ d d d ] d i i i. (5.6) (5.7) Zauważm tlko ż inn tp prmiscń taki jak obrot c krwin mogą równiż bć i będą dalj traktowan jako składow wktora prmiscń. Podobni prjmijm sił węłow p jako składow sił w wsstkich węłach lmntu w kirunkach osi i : gdi [ pi ] i nn p... i [ p p p ] p. i i i (5.8) (5.9) Po tch dfinicjach wstępnch ałóżm pol prmiscń w lmnci jako funkcję prmiscń węłów lmntu w postaci: u N d. (5.3) Poniważ wktor u ma wmiar ( 3) aś wktor prmiscń węłów d wmiar licb stopni swobod lmntu n n 3 więc macir funkcji próbnch inacj wanch funkcjami kstałtu jst df n macirą prostokątną o wmiarach 3 n. Każda składowch macir N jst funkcją i okrśla wpłw df d danj składowj wktora prmiscń na prmiscni dowolngo punktu lmntu o współrędnch. Zalżność (u) otrmuj się pr różnickowani stosownch wrażń na prmiscnia L u L N d B d. (5.3) Macir B opisuj więc odkstałcnia w każdm punkci lmntu spowodowan jdnostkowm prmiscnim koljnch stopni swobod węłów. Z prawa ficngo łatwo więc wprowadić ż D D B d (5.3) omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

7 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 7 gdi ilocn macir D B opisuj - podobni jak poprdnio - mian naprężń jako funkcj prmiscń węłów. Zasada prac wirtualnch głosi ż jśli układ najdując się w równowad poddan jst wirtualnm prmiscniom (kinmatcni godnm stanom dformacji) wówcas praca wirtualna wnętrnch obciążń jst równa wirtualnj nrgii odkstałcnia naprężń wwnętrnch: δ U δ (5.33) W gdi U jst wwnętrną nrgią odkstałcnia W - pracą sił wnętrnch aś δ onaca wariację (stan wirtualn - pomślan godn więami). Wprowadźm więc wirtualn stan prmiscń węłowch i onacm go pr δ ( i... nn ). Wirtualn prmiscnia i odkstałcnia można wówcas wraić jako d [ δd i ] δ u N δ d ora δ B δ d. (5.34) Wirtualna nrgia układu i praca wirtualna sił wnętrnch wrażają się tra w postaci worów: δ U δ d i δ W δ p p + δu b d (5.35) koljno podstawiając otrmujm (5.33) δ d δ p p + δu b d. (5.36) Uwględniając (5.3) i (5.34) otrmujm δ d B D d δ d p + δ d N b d (5.37) i ra jsc wkorstując (5.34) i uprascając pr δ d otrmujm lub ostatcni B D B d d p + N b d (5.38) K d p + (5.39) p b gdi K jst tw. macirą stwności lmntu którj składow mogą bć intrprtowan jako fikcjn sił w węłach spowodowan jdnostkowmi ich prmiscniami p awira równoważn sił węłow spowodowan masą ciała. Obcność pocątkowgo stanu odkstałcń - ałożć suprpocję stanów odkstałcń - stąd naprężni b można uwględnić w następując sposób: + C (5.4) omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

8 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 8 D ( ) (5.4) i po podobnch podstawiniach i prkstałcniach jak to ucniono powżj otrmujm: K d p + p + b (5.4) p gdi p B D d jst wktorm równoważnm obciążniom węłów od pocątkowgo stanu odkstałcń (np. wpłw tmpratur). Ctlnik mógłb dla nabrania umijętności sprawdić poprawność wprowadongo woru (5.4). Prśldźm na prostm prkładi pręta (rs. 5.) postaci opiswanch macir ora sposób dojścia do sformułowania macir stwności prostgo lmntu. Podkrślm jdnak w tm mijscu ż jak dotąd próbujm włącni dfiniować składow stosownch macir i wktorów odnision do lokalngo układu współrędnch i tlko do jdngo lmntu. Rs. 5.. Funkcj kstałtu dla dwuwęłowgo lmntu kratownic Wktor prmiscnia uprasca się tutaj do jdnj tlko składowj u [ u ] podobni rstą jak wktor sil masowch b [ b ]. lmnt jst dwu węłow i ma po jdnm stopniu swobod w każdm węźl tak więc globaln wktor prmiscń jst tlko dwulmntow d [ d d ] [ u u ]. Podobni rc się ma obciążniami p p p p p. Prjmijm funkcję prmiscń w postaci liniowj: [ ] [ ] u c + c (5.43) gdi stał c i wnacm warunków brgowch dla u d c d ( ) L dla L u d c d d /. (5.44) Prmiscni dowolngo punktu wraża się atm worm omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

9 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 9 u d N d L L d (5.45) gdi macir funkcji kstałtu N składa się dwóch funkcji liniowch. Prbig tch funkcji ilustrowano na rsunku 5.. Odkstałcnia dla tgo prostgo prpadku opisano tlko jdną składową więc du dn [ ] L u d B d d d (5.46) B N [ ]. L (5.47) Stan naprężnia równiż sprowada się do jdnj tlko składowj: D B d (5.48) gdi oprator konsttutwn uprościł się do jdnj tlko stałj. Rs. 5.. Obciążnia pręta kratownic: osiow ciągł i liniowo minn Macir lmntu otrmujm tra podstawinia: K B D B d L L [ ] A da d A L (5.49) gdi prjęto ż pol powirchni prkroju pręta jst stal na całj jgo długości. Prjmijm dodatkowo ż pręt obciążon jst siłą masową miniającą się liniowo tak jak to pokaano na rsunku 5. wdług funkcji: b b b b + ; (5.5) L wówcas wktor sił masowch diałającch w węłach wnosi: omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

10 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM p b b + b b + b L N b d 6. (5.5) Gd lmnt poddan jst diałaniu tmpratur mam do cninia pocątkowmi odkstałcniami α ( ) gdi pr α onacono współcnnik rosralności ciplnj matriału. Sił prkładan w węłach lmntu spowodowan pocątkowmi odkstałcniami wnosą: p p L A B D α ( ) da d Aα ( ). (5.5) Ctlnik mógłb adać sobi trud sprawdnia poprawności wników worów (5.5) i (5.5) Podstaw MS wprowadon twirdnia o minimum całkowitj nrgii potncjalnj Otrman w poprdnim rodial równania MS uskuj się równiż pr astosowani twirdnia o minimum całkowitj nrgii potncjalnj. wirdni to głosi ż spośród wsstkich kinmatcni dopuscalnch pól prmiscń spłnia się to któr całkowitj nrgii potncjalnj apwnia minimum. Całkowita nrgia potncjalna układu wraża się jako: Π U W (5.53) gdi U onaca nrgię sprężstą ciała a W jst pracą sił wnętrnch. Łatwo wkaać ż Π dla ciała liniowo-sprężstgo jst funkcjonałm kwadratowm i ma jdno globaln minimum. Rowiąani jst więc jdnonacn. nrgię Π apism więc w postaci: Π * d u b d u p ds (5.54) S * gdi p jst danm obciążnim brgu S Prjmując intrpolację dla lmntu w nanm już nam kstałci: u N d B d D możm powżs twirdni ogranicć do obsaru lmntu i apisać: Π d B D B d d d N b d S d N p * ds ; (5.55) stacjonarności tgo wrażnia wnika równowaga lmntu: Π d B D B d d p K d p (5.56) omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

11 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM * gdi p opisuj sił węłow dango lmntu jako fkt obciążń masowch b i powirchniowch p : p N b d + S N p * ds. (5.57) Sprawę modfikacji wprowadonch worów dla prpadków uwględniającch udiał odkstałcń wstępnch poostawia się Ctlnikowi. nrgia sprężsta pojdncgo lmntu blkowgo b uwględninia wpłwu ścinania wnosi: U d D d d. (5.58) Jśli prjmim klascn ałożni blki Brnoulli'go ż odkstałcni jst funkcją prmiscnia (ugięcia) d v (5.59) d wówcas nrgia wwnętrna lmntu ginango wnosi: U d v d d d v d d v d d A I da d d v d. (5.6) d Równani powżs intrprtuj nrgię wwnętrną lmntu blkowgo jako funkcję prmiscń v f (). omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

12 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM Rs Postaci funkcji kstałtu dla lmntu blkowgo Ropatrm lmnt blkow płaski dwuwęłow ginan w płascźni jak na rsunku 5.3. Wktor prmiscń węłowch prjmijm w postaci d [ d d d3 d 4 ] [ v φ v φ ] gdi pr v onacono prmiscni prostopadł do osi pręta aś φ jst kątm obrotu prkroju. Indks omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

13 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 3 odnosą się do numracji węłów. Zgodni ałożniami klascnj torii blk kąt obrotu są pochodnmi prmiscń: dv dv φ φ. (5.6) d d Odpowidni wktor sił węłowch p [ p m p m ] awira sił skupion diałając w kirunku prmiscń ora momnt ginając godn kątami obrotów prkrojów. Załóżm funkcję prmiscń w postaci kompltngo wilomianu trcigo stopnia: v( ) 3 c + c + c3 + c4. (5.6) W funkcji tj współcnniki c i wnacm warunków brgowch któr dfiniują wilkości prmiscń i kątów obrotów na końcach lmntów jako równ składowm wktora d. Zapism t warunki: dla dla dv() v() v ora φ d l dv( l) v( l) v ora φ d (5.63) Po wnacniu stałch c i apism macir funkcji kstałtu: N [ 3l + l l l + l + 3l l l ] 3 (5.64) l Funkcj kstałtu któr prdstawiono na rsunku 5.3 opisują mianę prmiscnia v() spowodowaną jdnostkowmi prmiscniami węłów. Jśli ałożm dalj prawdiwość hipot płaskich prkrojów wówcas prmiscni podłużn wnisi: skąd odkstałcni dv u( ) (5.65) d du d v d v κ gdi κ. (5.66) d d d Widim atm ż oprator różnickow L transformując prmiscni v () w odkstałcni ma postać: d L (5.67) d skąd macir B L N otrmujm w postaci: omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

14 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 4 [ ] B L N 3 l. (5.68) Pamiętając ż dla tgo prostgo prpadku wiąk ficn ma postać D ) otrmujm macir stwności K dla lmntu blkowgo: (cli oprator gdi I macir A K 6 6 l 6 l I 6 l 4 l 6 l l K (5.69) 3 l 6 l 6 l 6 l l 6 l 4 l da. Drobn prkstałcnia któr nalżało wkonać b w końcu otrmać jawną postać poostawiam Ctlnikowi. Równoważn obciążnia węłow wnikając prjęcia ciężaru równomirni rołożongo b bądź liniowo miniającgo się b () jak na rsunku 5.4 wnosą odpowidnio: p p b b l N b b l d [ 6 l 6 l] - obciążni stał b l [ 9 l 3 l] - obciążni liniowo minn. 6 (5.7) Rs. 5.4 Obciążnia lmntu blkowgo: obciążni równomirn i liniowo minn Chcąc uwględnić równiż wpłw odkstałcń pocątkowch ałóżm ż lmnt poddan jst liniowj miani tmpratur od na cęści dolnj do na górnj. Jśli > i wsokość lmntu jst równa h to miana tmpratur w każdm punkci wnosi: omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

15 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 5 ( + ) ( ). (5.7) h Pirws cłon opisuj fkt równomirngo ogrania a poniważ ni wwołuj ginania ostani w dalsch roważaniach pominięt. Drugi cłon powoduj odkstałcnia od ginania: najdujm więc α h ( ) (5.7) p l A B B d α h α I h ( ) dad ( ) [ l l] (5.73) Jżli nan są wrażnia okrślając krwin pocątkow lmntu to pocątkow odkstałcnia wrażają się alżnością: κ κ (5.74) sił węłow wnacm godni (5.4) jako: p B D d. (5.75) 5.5. Podsumowani Spróbujm na konic tgo rodiału uświadomić sobi w jaki csto formaln sposób możm budować macir stwności lmntów ora wktor obciążń wnikając bądź diałania sił masowch bądź wstępnch odkstałcń. Zapamiętajm następując tok postępowania:. Ropocnam od aproksmacji pola prmiscń którą można wraić następująco : u g c (5.76) gdi pr g onacliśm tw. macir gomtrcną która najcęścij gromadi odpowidni potęgi stosowanch wilomianów intrpolacjnch aś c jst macirą stałch. Stał t wnacm warunków brgowch ( prmiscnia w węłach musą bć godn wartościami prmiscń wnikającmi prjętch funkcji ). Warunki brgow wrażą się w postaci: d [ i h c gdi h g ] dla i...ndf. (5.77) Macir h jst macirą kwadratową i niosobliwą tak więc układu równań (5.77) można wnacć stał wilomianów intrpolacjnch jako funkcji prmiscń węłów omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

16 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 6 c h d. (5.78) 3. Funkcj kstałtu otrmam tra automatcni i formalni: u g h d N d (5.79) więc N g h. 4. Znając postać opratora różnickowgo L łatwością wnacm macir B L N. 5. ra upłni formalni pr ustalonm prawi konsttutwnm D otrmujm macir stwności ora poostał wktor p lub p. K p b Zaproponowan sposób postępowania spróbujm wkorstać w dalsch roważaniach. Nalż jdnak anacć ż o il dla lmntów o niwilkij licbi stopni swobod taki formaln sposób podjścia jst wgodn o tl dla lmntów bardij skomplikowanch moż okaać się niskutcn. W takich prpadkach wgodnij będi od rau próbować dfiniować postaci funkcji kstałtu N a ni uskiwać ich w sposób formaln. Ma to mijsc główni w stuacjach gd unika się budowania jawnj postaci macir stwności lmntu a otrmuj się ją w wniku abigów numrcnch. Na konic roważań na tmat formułowania lmntów skońconch podjmijm próbę odpowidi na ptani kid rowiąani równania różnickowgo opisującgo dan agadnini brgowopocątkow otrman a pomocą MS będi bigać się rowiąanim analitcnm (dokładnm). C w miarę więksania licb lmntów skońconch rowiąani to będi biżn rowiąanim dokładnm? Zanacm prd ropatrnim tgo problmu ż rowiąania otrmwan mtodą lmntów skońconch są obarcon kilkoma tpami błędów wnikającmi : błędów aokrąglń oblicń komputrowch błędów wnikającch aproksmacji praw konsttutwnch błędów powstałch całkowania macir i błędów mtod rowiąwania równań (sposobu całkowania równań ruchu). Poniżj ropatrm tlko błęd wnikając dskrtacji cli idaliacji konstrukcji c kontinuum matrialngo lmntami skońconmi. Można wkaać ż w clu apwninia monotonicnj biżności rowiąań lmnt skońcon musą spłniać dwa asadnic krtria: upłności i godności. Jżli są on spłnion to dokładność wników rośni w miarę agęscania siatki podiału na lmnt. Warunk upłności wmaga b funkcj prmiscń lmntu mogł rprntować jgo ruch stwn (bnaprężniow) ora stan stałch odkstałcń. Na prkład dla lmntu płaskigo wmagan jst b funkcj prmiscń mogł prdstawić 3 postaci ruchu stwngo (dwa translacjn i jdn stwn obrót) ora stan stałgo odkstałcnia. Stan stałgo odkstałcnia można intrprtować wmaganim b w miarę agęscania lmntów pr ich pomnijsani w lmntach takich odkstałcnia powinn bć stał b móc skoli rprntować dowoln minn stan odkstałcnia całgo układu. Drugi krtrium tw. krtrium godności lmntu onaca ż prmiscnia wwnątr lmntu jak i na jgo brgach powinn bć ciągł. Chodi o to b ni pojawiał się niciągłości pola prmiscń pomięd lmntami w stuacji gd układ lmntów ostani poddan obciążniu. W prpadku gd mam do cninia tlko translacjnmi stopniami swobod wmagani to sprowada się do sprawdnia tlko ciągłości prmiscń u v i w. W prpadku wstępowania rotacjnch stopni swobod dfiniowanch jako pochodn prmiscń (w lmntach blkowch i płtowch) nalż spłnić to wmagani równiż dla tch stopni swobod cli spłnić ciągłość ich pirwsch pochodnch. Ciągłość tę awcaj trudno jst spłnić dla lmntów płtowch w którch kąt obrotu są otrmwan pr różnickowani prmiscń poprcnch. lmnt ni spłniając powżsch krtriów nawan są lmntami nidostosowanmi a ich stosowani ni gwarantuj. monotonicnj biżności wników. o c lmnt jst godn i upłn alż od użtgo sformułowania i każd sformułowani nalż sprawdić indwidualni. omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr

17 5. PODSAWOW SFORMUŁOWANIA MODY LMNÓW SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MCHANIKI KONINUUM 7 Zadania. Zapis funkcjonał całkowitj nrgii potncjalnj w notacji wskaźnikowj i macirowj dla ogólngo problmu kontinuum.. Podaj wprowadni woru na macir stwności lmntu blkowgo twirdnia o minimum całkowitj nrgii potncjalnj. 3. Wprowadź wor na postaci macir stwności lmntu prętowgo (kratownic) równania prac wirtualnj i twirdnia o minimum całkowitj nrgii potncjalnj. Jaki są wspóln cch tgo wprowadnia? 4. Dana jst rama o gomtrii prdstawionj poniżj na rsunku. Poostał dan o prkrojach prjmij tablic. Nalż : - ponumrować węł i pręt - sformułować macir połącń węłów - oblicć macir stwności wbranch lmntów w układi globalnm - dokonać agrgacji globalnj macir stwności układu - modfikować układ równań godni warunkami brgowmi. Rsunk gomtrii ram płaskij A A A I I P [m] [cm ] [cm ] [cm 4 4 ] [ cm ] [GPa] [kn] omas Łodgowski Witold Kąkol Mtoda lmntów skońconch w wbranch agadniniach mchaniki Alma Matr