4.1. Modelowanie matematyczne

Transkrypt

1 4.1. Modelowanie matematyczne Model matematyczny Model matematyczny opisuje daną konstrukcję budowlaną za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych będą należały to zbioru liczb rzeczywistych i będą one reprezentować pewne właściwości rzeczywistej konstrukcji. W naszych modelach wprowadzimy pewne przybliżenia i uproszczenia, aby utrzymać stopień złożoności modelu matematycznego na rozsądnym poziomie, jednocześnie w miarę dokładnie opisać nim rzeczywistość. Rodzaje modeli matematycznych: 1. płaskie układy tarcz sztywnych 2. płaskie układy prętowe. 2

2 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Definicja tarczy sztywnej Tarcza sztywna jest szczególnym przypadkiem znanej z fizyki bryły sztywnej. Bryła sztywna jest to ciało trójwymiarowe, w którym odległość dwóch dowolnych punktów nie zmienia się niezależnie od działających na to ciało obciążeń. Tarcza sztywna powstaje poprzez wycięcie w bryle sztywnej nieskończenie cienkiego plastra. 3

3 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Definicja tarczy sztywnej Tarcza sztywna oraz wszystkie obciążenia na nią działające leżą na jednej płaszczyźnie. A L B P2 P1 A P4 L B P3 4

4 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Liczba stopni swobody punktu Stopniem swobody nazywamy niezależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie ciała na płaszczyźnie. Y ya A xa X Punkt posiada na płaszczyźnie dwa stopnie swobody. 5

5 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Liczba stopni swobody odcinka o stałej długości L Y L ya A B α X xa Odcinek o stałej długości L posiada na płaszczyźnie 3 stopnie swobody 6

6 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Liczba stopni swobody tarczy sztywnej Y B ya A L α C xa X Tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie 3 stopnie swobody. 7

7 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Definicja płaskiego układu tarcz sztywnych Tarcza sztywna posiadająca trzy stopnie swobody może na płaszczyźnie wykonywać trzy rodzaje ruchu: 1. może się poruszać w kierunku osi X 2. może się poruszać w kierunku osi Y 3. może się obracać na płaszczyźnie XY. 8

8 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Definicja płaskiego układu tarcz sztywnych Od konstrukcji budowlanej zaś wymagamy aby była stabilna i nie wykonywała żadnych ruchów, czyli nie może ona być mechanizmem. Aby tak było musimy jakoś unieruchomić tarczę sztywną na płaszczyźnie. Dokonujemy tego za pomocą więzów. Łączymy nimi daną tarczę sztywną z inną tarczą sztywną lub z tak zwaną tarczą podporową (TP), która to jest szczególnym przypadkiem tarczy sztywnej, przez to że nie zmienia swojego położenia na płaszczyźnie. Układ składający się z jednej lub kilku tarcz sztywnych, więzów oraz tarczy podporowej nazywamy płaskim układem tarcz sztywnych. 9

9 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Przegub (przegub rzeczywisty) Przegub rzeczywisty nazywany krótko przegubem pozwala tarczy sztywnej tylko na obrót wokół niego. A A TP α TP Przegub odbiera tarczy sztywnej 2 stopnie swobody. 10

10 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych y Pręt podporowy L A TP x α B B' B B' A TP x= L sin β y= L L cos Pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej 1 stopień swobody. 11

11 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Przegub fikcyjny Dwa dowolne, nierównoległe pręty podporowe łączące dwie te same tarcze sztywne możemy sprowadzić do przegubu fikcyjnego, który będzie się znajdował w punkcie przecięcia kierunków obu prętów. TP 1 O Przegub fikcyjny odbiera tarczy sztywnej 2 stopnie swobody. TP 2 12

12 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Przegub niewłaściwy Jeżeli oba pręty podporowe są do siebie równoległe, to tworzą one przegub niewłaściwy, który znajduje się w nieskończoności na prostej równoległej do kierunków obu prętów podporowych. TP 1 TP 2 Przegub niewłaściwy odbiera tarczy sztywnej 2 stopnie swobody. 13

13 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Tarcza sztywna jako pręt podporowy W niektórych przypadkach możemy tarczę sztywną traktować jako pręt podporowy. B B 1 III I A II I A II 15

14 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Warunek konieczny geometrycznej niezmienności Płaski układ tarcz sztywnych, który nie wykonuje żadnych ruchów nazywamy układem geometrycznie niezmiennym. Jeżeli układ składa się z t tarcz sztywnych (bez tarczy podporowej), to posiada on na płaszczyźnie 3 t stopni swobody. Aby płaski układ tarcz sztywnych był geometrycznie niezmiennym liczba stopni swobody, które odbierają wszystkie więzy p musi być większa lub równa liczbie stopni swobody posiadanych przez wszystkie tarcze sztywne. Warunek ten nazywamy warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności płaskiego układu tarcz sztywnych 17

15 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Warunek konieczny geometrycznej niezmienności Płaskie układy tarcz sztywnych niespełniające warunku koniecznego geometrycznej niezmienności są układami geometrycznie zmiennymi. Układy takie są mechanizmami i nie mogą być modelem żadnej konstrukcji budowlanej. 19

16 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Warunki dostateczne geometrycznej niezmienności TP 3 O 1 TP 2 TP I Punkt O - biegun chwilowego obrotu. 20

17 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Warunki dostateczne geometrycznej niezmienności O I TP Warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności tarczy sztywnej połączonej z tarczą podporową lub inną tarczą sztywną trzema prętami podporowymi jest to, aby ich kierunki nie przecinały się w jednym punkcie. 21

18 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych B A 1 TP TP Warunki dostateczne geometrycznej niezmienności Warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności tarczy sztywnej połączonej z tarczą podporową lub inną tarczą sztywną przegubem oraz prętem podporowym jest to, aby przegub nie leżał na kierunku pręta podporowego. 22

19 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Układ trójprzegubowy Układem trójprzegubowym nazywamy układ dwóch tarcz sztywnych połączonych między sobą dowolnymi przegubami, ponadto każda z tych tarcz jest połączona z tarczą podporową także dowolnym przegubem. 1 B I I II A C TP 2 C II B A 3 TP TP 4 23

20 4.2. Płaskie układy tarcz sztywnych Warunki dostateczne geometrycznej niezmienności A B C A TP 2 C II I TP TP B TP Aby układ trójprzegubowy był geometrycznie niezmienny, wszystkie trzy przeguby nie mogą leżeć na jednej prostej. 24

21 Definicja pręta oś pręta B Pręt jest to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar,czyli długość, jest dużo większa niż dwa pozostałe. Nie ma przy tym znaczenia jakim materiałem (betonem, stalą czy drewnem) jest on wypełniony. A przekrój pręta 25

22 Przykłady prętów 26

23 Przykłady prętów 27

24 Więzy w płaskich układach prętowych Odcinek, który jest modelem matematycznym pręta posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Aby odebrać mu je wszystkie stosujemy więzy, które nazywamy podporami. We wszystkich podporach zakładamy brak tarcia. Rodzaje podpór: 1. przegubowo-przesuwna 2. przegubowo-nieprzesuwna 30

25 Więzy w płaskich układach prętowych 3. teleskopowa 4. ślizgowa 5. utwierdzenie 6. przegub. 31

26 Podpora przegubowo-przesuwna Odpowiada ona jednemu prętowi podporowemu, którego kierunek jest prostopadły do oznaczającej ją kreski. Odbiera ona prętowi jeden stopień swobody. Pręt ma możliwość przesuwu po kierunku kreski oraz obrotu wokół wierzchołka trójkąta. 32

27 Podpora przegubowo-przesuwna 33

28 Podpora przegubowo-przesuwna 34

29 Podpora przegubowo-nieprzesuwna Odpowiada ona dwóm prętom podporowym. Stanowi więc przegub fikcyjny. Podpora ta odbiera prętowi dwa stopnie swobody Pręt ma tylko możliwość obrotu wokół wierzchołka trójkąta. 35

30 Podpora przegubowo-nieprzesuwna 36

31 Podpora przegubowo-nieprzesuwna 37

32 Podpora teleskopowa Odpowiada ona dwóm równoległym prętom podporowym, których kierunek jest prostopadły do osi pręta. Stanowi ona więc przegub niewłaściwy znajdujący się w nieskończoności prostopadle do osi pręta. Podpora ta odbiera prętowi dwa stopnie swobody Pręt ma tylko możliwość przesuwu po swoim kierunku. 38

33 Podpora ślizgowa Odpowiada ona dwóm równoległym prętom podporowym, których kierunek jest prostopadły do kreski oznaczającej tę podporę. Stanowi ona więc przegub niewłaściwy. Podpora ta odbiera prętowi dwa stopnie swobody Pręt ma jedynie możliwość przesuwu po kierunku kreski symbolizującej ten typ podpory. 39

34 Utwierdzenie Odpowiada ona trzem prętom podporowym, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Podpora ta odbiera prętowi trzy stopnie swobody, więc nie pozwala ona na żaden jego ruch. 40

35 Utwierdzenie 41

36 Przegub A A I I II II 42

37 Przegub 43

38 Belki Belka jest to układ prętowy składający się z jednego lub wielu prętów prostych, których osie leżą na prostej poziomej. Pręty te są podparte wszystkimi rodzajami podpór. Jeżeli belka składa się tylko z jednego pręta, to nazywamy ją belką prostą, ale jeżeli składa się z przynajmniej dwóch prętów, to wtedy nazywamy ją belką złożoną. 71

39 Belki Typy statycznie wyznaczalnych belek prostych: 1. belka swobodnie podparta 2. belka wspornikowa Przykładowa belka złożona 72

40 Przykładowe belki 73

41 Przykładowe belki 74

42 Analiza kinematyczna belek prostych t=1 p=3 3 1 = 3 t=1 p=3 3 1 = 3 Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie. Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie. 75

43 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 1 1 I 2 3 A II 4 t=2 p = 4+2= = 6 Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. 76

44 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład I 3 A II 4 Tarcza sztywna numer II połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu A oraz pręta podporowego numer 4, przegub nie leży na kierunku pręta podporowego. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. Belka złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. 77

45 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 2 1 I 2 3 A II 4 t=2 p = 4+2= = 6 Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. 78

46 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 2 1 I 2 3 A II 4 Tarcza sztywna numer II połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu A oraz pręta podporowego numer 4, przegub nie leży na kierunku pręta podporowego. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. Belka złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. 79

47 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 3 1 A 2 I B II 3 C 4 t=2 p = 4+2= = 6 Tarcze sztywne numer I i II tworzą układ trójprzegubowy, w którym przeguby A, B i C nie leżą na jednej prostej. Belka złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. 80

48 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 4 1 I 2 3 II A III B 4 5 t=3 p = 5+2 2= = 9 Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. 81

49 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład 4 1 I 2 3 II A III B 4 C 5 Tarcze sztywne numer II i III tworzą układ trójprzegubowy, w którym przeguby A, B i C nie leżą na jednej prostej. Jest więc on geometrycznie niezmienny. Belka złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. 82

50 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład I 3 A II 4 B 5 III t=3 p = 5+2 2= = 9 Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3,których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna. 83

51 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład I 3 A II 4 B 5 III Tarcza sztywna numer II połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu A oraz pręta podporowego numer 4, przegub nie leży na kierunku pręta. Jest więc ona geometrycznie niezmienna. 84

52 Analiza kinematyczna belek złożonych - przykład I 3 A II 4 B 5 III Tarcza sztywna numer III połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu B oraz pręta podporowego numer 5, przegub leży na kierunku pręta podporowego. Jest ona więc geometrycznie zmienna. Belka złożona jest geometrycznie zmienna. 85

53 Ramy płaskie Ramą płaską nazywamy układ prętowy złożony z jednego lub wielu prętów prostych, które są podparte wszystkimi typami podpór. Jadnak w przeciwieństwie do belek osie tych prętów nie leżą na jednej prostej. W ramie płaskiej pionowe elementy to słupy, poziome to rygle. Punkty, w których poszczególne pręty są połączone sztywno, a nie za pomocą przegubu, nazywamy węzłami ramy. 86

54 Ramy płaskie rygiel węzeł węzeł słup 87

55 Przykładowe ramy płaskie 88

56 Przykładowe ramy płaskie 89

57 Przykładowe ramy płaskie 90

58 Przykładowe podpory ram płaskich 91

59 Przykładowe węzły ram płaskich 92

60 Przykładowe węzły ram płaskich 93

61 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 1 I 1 2 t=1 p=3 3 1 =

62 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 1 I Rama płaska jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. 95

63 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 2 B I t=2 p = 4+2 = = 6 II

64 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 2 B I 1 2 Rama płaska jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. A II 4 C 3 Tarcze sztywne numer I i II tworzą układ trójprzegubowy, w którym przeguby A, B oraz C nie leżą na jednej prostej. 97

65 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 3 A I II t=2 p = 4+2 = =

66 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 3 A I II 1 Jest ona więc geometrycznie niezmienna Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. 99

67 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 3 A Rama płaska jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. I Jest ona więc geometrycznie niezmienna II 4 Tarcza sztywna numer II połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu A oraz pręta podporowego numer 4, przegub nie leży na kierunku pręta podporowego. 100

68 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 4 101

69 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 4 I II B A t=3 p = = = 9 III

70 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 4 I 1 2 Tarcza sztywna numer I jest połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest ona więc geometrycznie niezmienna. 3 II B A III

71 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 4 I II Tarcze sztywne numer II i III tworzą układ trójprzegubowy, w którym przeguby A, B i C nie leżą na jednej prostej. Jest on więc geometrycznie niezmienny 1 2 B A III 3 C 5 4 Rama płaska jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. 104

72 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 5 105

73 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 5 t=2 p = 4+ 2 = = 6 A Tarcze sztywne numer I i II połączone są między sobą przegubem A oraz prętem podporowym numer 3, przegub nie leży na kierunku pręta podporowego. Możemy je traktować jako jedną tarczę sztywną. ściąg 3 I II

74 Analiza kinematyczna ram płaskich - przykład 5 Tarcza sztywna numer I+II połączona jest z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna. I+II Rama płaska jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna