ROZDZIAŁ III. STATYKA KRATOWNIC PRZESTRZENNYCH

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ROZDZIAŁ III. STATYKA KRATOWNIC PRZESTRZENNYCH"

Wiktor Mazurkiewicz
7 lat temu
Przeglądów:

1 ROZDZIAŁ III. STATYKA KRATOWNIC PRZESTRZENNYCH Mimo, ż przstrznn konstrkcj kratow znan yły od dawna (por.[17]), to do nidawna stosowan yły stosnkowo rzadko, co yć moż spowodowan yło sporymi kłopotami oliczniowymi, jaki msiał pokonać inżynir projktjący konstrkcję. Jżli dla płaskich kratownic statyczni wyznaczalnych omyślono szrg mtod łatwiających oliczani sił wwnętrznych (mtoda równowagi węzłów i jj odmiana graficzna - mtoda Crmony, mtoda przkrojów - Rittra, itp.), to w przypadk kratownic przstrznnych pozostała tylko mtoda równowagi węzłów. Dż kłady równań, któr ta mtoda daj dla kratownic przstrznnych znichęcały do projktowania konstrkcji tgo typ. Konstrkcj przstrznn, z wygląd kratow, są w rzczywistości ardzo rzadko kratownicami np. słynna wiża Eiffla l słpy wsporcz napowitrznych linii nrgtycznych, maszty - zwłaszcza t o przkroj czworokątnym, to najczęścij ramy przstrznn, gdyż trzymją swoją gomtryczną nizminność dzięki lmntom zginanym, któr w klasycznych kratownicach ni występją. Użyci komptrów i now mtody analizy statycznj konstrkcji wykorzystjąc t możliwości tchniczn (wśród nich jdną z głównych ról płni mtoda lmntów skończonych), spowodowały znaczny postęp w konstrowani kratownic przstrznnych. Jdnym z najczęstszych, jak nam się wydaj, zastosowań tych konstrkcji są przkrycia strktraln. Rys.3.1 przdstawia przykłady przstrznnych kratownic. Rys

2 3.1. OZNACZENIA I PODSTAWOWE ZWIĄZKI Węzł kratownicy przstrznnj ma trzy stopni swoody, gdyż w opisi jgo rch msimy podać trzy składow wktora przmiszcznia. Rys.3. pokazj przmiszcznia węzłów i siły działając na lmnt kratownicy przstrznnj. Podoni jak w rozdz. II składow wktorów sił i przmiszczń zran zostały w macirz kolmnow, któr nazywać ędzimy wktorami: wktor przmiszczń węzłowych węzła początkowgo i w gloalnym kładzi współrzędnych: i Ø = ix iy iz, (3.1) tn sam wktor opisany w lokalnym kładzi współrzędnych: Ø ' i = ix iy iz, (3.) wktor sił węzłowych działających w węźl początkowym i lmnt zapisany w kładzi gloalnym: f i ØF = F F ix iy iz, (3.3) oraz w kładzi lokalnym: ØF f ' i = F F ix iy iz. (3.4) Wktory t tworzą wktory sił i przmiszczń lmnt: wktor przmiszczń węzłowych lmnt o węzłach i (początkowy) oraz j (końcowy) zapisjmy w gloalnym kładzi współrzędnych następjąco: Ø i = Ø = j ix iy iz jx jy jz, (3.5) 64

3 jgo opis w kładzi lokalnym: ' Ø ' i = Ø ' = j ix iy iz jx jy jz. wktor sił węzłowych lmnt w kładzi gloalnym: f f ' Ø F F fi F = Ø f = j F F F ix iy iz jx jy jz, oraz w kładzi lokalnym: Ø F F f ' i F = Ø f ' = j F F F ix iy iz jx jy jz. Ojaśninia i znaczni żytych symoli znalźć można na Rys.3.. (3.6) (3.7) (3.8) 65

4 Rys MACIERZ SZTYWNOŚCI EEMENTU KRATOWNICY PRZESTRZENNEJ Związk między siłami i przmiszczniami węzłowymi dla kratownicy przstrznnj jst idntyczny jak w przypadk kratownicy płaskij, gdy rozpatrjmy go w lokalnym kładzi współrzędnych. Dochodzi oczywiści trzcia siła F iz l F jz, al równani równowagi momntów względm osi y, wymsza zrową wartość tj siły: a) F = F + F = 0 fi F = -F, x ix jx ix jx po względnini równ. f y iy jy iy ) F = F + F = 0 fi F = 0, po względnini równ. z iz jz iz c) F = F + F = 0 fi F = 0, (3.9) d) M x = 0, ) M = - F = 0 fi F = 0, y jz jz f) M = - F = 0 fi F = 0. z jy jy 66

5 Zalżność między siłą osiową a przmiszczniami, idntyczna jak w rozdz.ii (por. równ..11) pozwoli wyrazić poszkiwaną zalżność następjąco: f ' = K' ', (3.10) gdzi: K' = Ø J' - J' - J' J', (3.10a) J' = EA Ø (3.10) Prznisini zapis tych równań do kład gloalngo wykonamy analogiczn, jak w przypadk kratownicy płaskij (por. związki.33,.34,.350. Do zakończnia transformacji macirzy sztywności lmnt do kład gloalngo rakj nam macirzy orot węzła R i oraz wyznacznia składowych macirzy J, podonych do opisanych równanim (.37). Poniważ położni osi y i z kład lokalngo ni jst dla prętów kratownicy istotn, to kirnk osi y ędzimy wyirali tak ay yła ona zawsz równolgła do płaszczyzny XY kład gloalngo, a dla prętów równolgłych do osi Z dodatkowo założymy, ż oś y jst równolgła do osi Y (por. Rys.3.3). Rys

6 Orót z kład lokalngo do gloalngo złożymy z dwóch orotów pośrdnich. Najpirw orócimy kład xyz do pośrdnigo kład x''y''z'', dorango tak ay oś x'' yła równolgła do płaszczyzny XY, a następni orócimy kład x''y''z'' o kąt g tak, ay osi x'' i X yły równolgł. Pirwszy orót wokół osi y daj następjący rzltat: Ø x'' y'' z'' Øc 0 - s = s 0 c Ø x y, z l krócj '' = R ', (3.11) gdzi c = cos = '', s ''= X + Y, = '' + Z. Ø X Y Z Z = sin =, X = X j - X i, Y = Yj - Yi, Z = Z j - Zi, Orót drgi wokół osi z sprowadza związki do kład gloalngo: Øc - s Ø g g 0 = sg cg w krótszj formi: gdzi c g = cosg = x'' y'' z'' = R g '', (3.1) X, s '' g = sin g = Y '', gdy ''=0 przyjmjmy g=0, a stąd c g = 1 oraz s g = 0. Złożni o orotów czyli podstawini równania (3.11) do (3.1) daj poszkiwaną macirz orot węzła: = R g R ', (3.13) i i i i gdzi R = R g R. i i i orot R i : Po wykonani mnożnia macirzy R ig R i otrzymjmy końcową postać macirzy Øc c - s - c s g g g R i = sg c cg - sg s. (3.14) s 0 0 Transformację lok J macirzy sztywności lmnt kratownicy przstrznnj z kład lokalngo do gloalngo oliczamy analogiczni jak w rozdz. II (por. podoną transformację macirzy sztywności.34) 68

7 ( ) T J = R i J' R i. (3.15) Podstawiając do tgo równania związki (3.10) oraz (3.14) otrzymamy: J = C X EA ( ) ( ) ( ) ( ) Ø c g c cg sg c cg cs cg sg c sg c sg cc. ( ) cg cg s sg cs s Po wprowadzni wygodnych oznaczń: X =, C Y Y =, C Z Z =, (3.16) (3.17) któr noszą nazwę kosinsów kirnkowych lmnt, otrzymjmy ardzo prostą postać lok J macirzy sztywności: J = EA Ø C C C C C C C C C C CX CZ CY CZ CZ X X Y X Z X Y Y Y Z. (3.18) Związk (3.18) po wstawini do (3.10a) daj nam macirz sztywności pręta kratownicy przstrznnj w kładzi gloalnym WEKTOR OCIĄŻEŃ TERMICZNYCH EEMENTU KRATOWNICY PRZESTRZENNEJ Poniważ tworzni wktora ociążń kratownicy dla ociążnia siłami skpionymi jst idntyczn jak w kratownicy płaskij, stąd tż pominimy omawiania wktora p. Zajmimy się natomiast wktorm sił węzłowych wywołanych ociążnim trmicznym. W lokalnym kładzi współrzędnych składow tgo wktora są idntyczn (poza poprawką na trzcią składową wktora!) jak dla kratownicy płaskij (.70). Ø f ' t = EAa t Dto następjąco: (3.19) Transformacja do kład gloalngo prziga zgodni z równanim (.31) 69

8 f t t = R f ', (3.0) gdzi R jst macirzą orot lmnt: R R i 0 = Ø 0 R. j (3.1) Poniważ lmnt kratownicy jst prosty, to R i =R j, gdzi macirz R i okrślona jst równanim (3.14). otrzymamy: f t = EA t to Po wykonani podstawinia równania (3.14) do (3.0) i wykonani mnożnia a D Ø cg c s c g s - cg c - sg c - s l w nico innj postaci: (3.) f t = EA t to Ø C X C Y CZ a D. - C X - C Y - CZ Dalsz postępowani jst idntyczn jak w przypadk kratownicy płaskij. (3.3) 3.4. EEMENT BRZEGOWY W rozdz. II szroko omówiliśmy różn rodzaj warnków rzgowych, w tym tż sprężyst lmnty rzgow. Poniważ jst to ardzo żytczny lmnt, którym można modlować wil różnych warnków rzgowych, poświęcimy m tż nico wagi i w tym rozdzial, skpiając się na różnicach między płaskimi i przstrznnymi lmntami. Rozważać ędzimy najogólnijszy lmnt sprężysty o sztywności k, nachylony względm osi kład gloalngo pod kątami a X, a Y, a Z, których kosinsy kirnkow są równ: c X = cosa X, c Y = cosa Y, c Z = cosa Z. (3.4) 70

9 Macirz sztywności takigo lmnt w kładzi lokalnym jst analogiczna do macirzy sztywności zwykłgo lmnt kratowgo, z tym ż lmnt ma trzy stopni swoody, więc macirz sztywności ojmj tylko jdn lok J' (3.10) K' = k Ø (3.5) Transformjąc tn lmnt do gloalngo kład współrzędnych otrzymamy macirz ardzo podoną do tj, którą dla płaskigo lmnt otrzymaliśmy w rozdz. II: K = k Ø c c c c c c c c c c c X c X cy c X cz X Y Y Y Z X Z Y Z Z (3.6) Elmnty rzgow można składać z soą tworząc np. lmnt o trzch różnych sztywnościach k x, k y, k z w kirnkach równolgłych do osi kład lokalngo xyz: Øk x 0 0 K' = 0 k y 0. (3.7) 0 0 k z Transformacja tj macirzy do kład gloalngo jst analogiczna jak opisana wczśnij transformacja lok J' (3.15). Wynik tj transformacji ni podajmy ttaj, pozostawiając jj wykonani jako ćwiczni dla czytlnika NAPRĘŻENIA I SIŁY WEWNĘTRZNE Podoni jak w p..11 rozdz. II podamy równania pozwalając oliczyć naprężnia i siły wwnętrzn w lmnci [ ] s x = E( - t ) = E ( jx ix ) ( a t o ) - - D t, (3.8) l w innj postaci: s s x x E (3.9) = [ ] ' -Ea t D to. Transformacja wktora ' do kład gloalngo daj związk: E = [ ]( R ) T (3.30) - Ea t D to, który po wykonani mnożnia pozwala zapisać naprężni normaln w lmnci następjąco: 71

10 s x [ ]( ) T T T 1 = E - c c R -a t D t o gdzi c jst wktorm kosinsów kirnkowych lmnt: c T = [ cx cy cz ] (3.17). (3.31) Oliczni siły normalnj sprowadza się do scałkowania naprężń na powirzchni przkroj, a przy założni jdnorodności pola naprężń (podoni jak to zroiliśmy w rozdz. II) 1 T T T N = s A = EA - c c R -a D t. x [ ]( ) t o (3.3) Rakcj podpór, któr pozostały jszcz do wyznacznia, oliczamy przy pomocy równania (.75), dokładni tak samo jak dla kratownicy płaskij, więc ni ędzimy omawiać szczgółowo tgo prolm dla kratownicy przstrznnj. 7

11 ROZDZIAŁ III. STATYKA KRATOWNIC PRZESTRZENNYCH OZNACZENIA I PODSTAWOWE ZWIĄZKI MACIERZ SZTYWNOŚCI EEMENTU KRATOWNICY PRZESTRZENNEJ WEKTOR OCIĄŻEŃ TERMICZNYCH EEMENTU KRATOWNICY PRZESTRZENNEJ EEMENT BRZEGOWY NAPRĘŻENIA I SIŁY WEWNĘTRZNE

Podobne dokumenty

Zagadnienie statyki kratownicy płaskiej

Zagadnienie statyki kratownicy płaskiej Zagadnini statyki kratownicy płaskij METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, smstr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynirii Lądowj, Politchnika Krakowska Ewa Pabisk () Równania MES dla ustrojów prętowych