Algebra liniowa z geometrią analityczną

Transkrypt

1 WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai pirwiastów wilomiaów drugigo i trcigo stopia. Twirdi: Każdy wilomia wadratowy postaci: W() = a b c ma w bior C licb spoloych dwa pirwiasti, pry cym ma mijsc trychotomia: R lub R lub C R Dowód Postać aoica wilomiau a b c a b c b c b a a a a a 4a b 4ac b b a a, gdi b 4ac a 4a a 4a., dwa róż pirwiasti rcywist b b b a lub a 4a a 4a a a b a a., pirwiast o rotości b a b c a tj. a b a., i ma rowiąań w bior licb rcywistych W bior licb spoloych achodi: Zatm: i i b i a b c a, a ba c a a b i gdi a a Dwa pirwiasti spolo b a i a b i a a, b a a i, 4 4 Pryład Rowiąać rówai x ; 4, to i, i i, i Twirdi: Jśli wilomia w a a a a, /8

2 jst wilomiam mij spoloj, to wx y i w x y i Px, y i Qx, y gdi P x, y i x y Dowód Z rówości : i, i i Pryład możmy apisać w postaci: Q, są wilomiaami o współcyiach rcywistych miych x i y., i 4, i 5 i ( i) (4 i) (5 i) 6 i i x y i 4 ix y i 5 i x y i 6 i x i 6x 6xy y y 9x x x, y i Qx y P, Wios Twirdi Jśli to licba y y 9xy 4x, 4y 8xy x,... ora dfiicji dodawaia i możia. xy 5x y 6 y 5y x x y i x y i x y i w w x y i jst pirwiastim wilomiau w a a a a x y i tż jst pirwiastim wilomiau w. Dowód Dla w Px, y i Qx, y mamy: x i y P x, y Qx y Stąd:,, i w w ( ) w( ) P( x, y ) iq( x, y ) P x y i Qx, y i, Twirdi ( d Moivr a) (prypomii) Dla ażdj licby spoloj rcos i si achodi: ora dla licby aturalj,,,..., r i cos si Fucja: pirwiast stopia Dfiicja Rowiąaia rówaia, gdi x y ic ora,, ; awimy pirwiastami stopia licby. Podstawow twirdi algbry /8

3 Pirwiastów stopia licby jst. Wios Zapis dla licby i jst jdoacy. i jst fucją w dotychcasowym ssi tgo słowa. Rowiąai rówaia dla trygoomtrycj postaci licb spoloych x i y r cos i, x i y rcos i si si Z twirdia d Moivr a: Stąd r cos i si r cos i r r i r (ii) cos cos (iii) si si si r Uład rówań (ii), (iii) ma rowiąai postaci cyli gdi Z Stąd: r cos i si, Z mod Jśli. Otrymujmy wartości, wyrażo pr r cos i si,,,, ; Z Pryład dwa pirwiasti stopia = = r cos i si, r cos i si /8

4 Pryład Oblicyć pirwiasti stopia licby 4 i arcsi 5 5 cos i arcsi si 5 arcsi 5 5 cos i si Zbiór pirwiastów stopia licby i cos i si,,, arcsi 5 - olj pirwiasti stopia Mamy: cos i si,,,, Twirdi (a) ), (b) (mod, (c), (d), Itrprtacja gomtryca licb,,, : Wirchołi -ąta formgo wpisago w orąg o promiiu i środu (, ). Fucja liiowa spoloa f : C C; f gdi: a i b= r(cos isi ) C c i d C x yi r (cos isi ) C Itrprtacja gomtryca /łożi trch prstałcń w płascyźi/ (i) Rociągięci w stosuu r (ii) Obrót o ąt Arg a i bx i y rcos i si r cos i si 4/8

5 r r [cos( ) isi( )] (iii) Prsuięci o wtor odpowiadający ; x iy x i y c i d x c i y d Iwrsja f, gdi cos i si r cos i si Nich r r. Zatm: cos i si cos i si r r r. Itrprtacja gomtryca prstałcia f (łożi dwóch prstałcń) (i) iwrsji, Arg' Arg ' (ii) odbicia wględm osi x, ' ' Arg' ' Arg' ' ' ' Aalityca postać f() u i v x y i x Stąd u x y, y v x y 5/8

6 u x u v, v y u v Rówai oręgu w płascyźi ma postać ogólą: a x y bx cy d Rówai oręgu prstałcogo pry pomocy fucji f() u bu cv a d u( u v ) u v u v Cyli d u v bu cv a Wios f prstałca oręgi a oręgi. a x y bx cy d Dla a= bx + cy + d = rówai prostj obram tj prostj jst orąg o rówaiu: u v bu cv d. Pryład Zalźć obra prostj l : x + y 4 = pr prstałci f Mamy: a =, b =, c =, d =-4.. Obram prostj l pr f() jst orąg o rówaiu: v u v 4 u tj. u 4 v 8 64 a więc orąg o środu w, i o promiiu o długości /8

7 Fucja wyładica Dfiicja Dla = x + iy, pryjmimy f() = x cos y i si y x Stąd:, y arg. Fucja jst fucją orsową: i dla Z Wios,,. Dla = yi (tj. = ) iy i cos y i si y (w scgólości: ) it t paramtryc prdstawii oręgu jdostowgo a prdial, (tj. gdy t prbiga, to it prbiga puty a oręgu o rówaiu x y ). Itrprtacja gomtryca fucji f() = i iarg cos i r r si Pryjmijmy tra, ż r cos i si r cos i ; si, gdi mamy więc a mocy dfiicji fucji wyładicj: Stąd r isi (cos isi ) r cos 7/8

8 r r, tj.. f rociągięci Arg Arg rociągięci w stosuu wdłuż promiia Arg. Fucja f() = log Dfiicja log l r i jśli r dla i r Fucja log i jst fucją poiważ i log l r i gdi Z ; ( r ). Fucja log ma isońci wil gałęi: ażdj ustaloj wartości odpowiada jda gałąź logarytmu będąca fucją w dotychcasowym asym roumiiu tgo trmiu. Gałąź główa: l r i Arg r Własości fucji log log log log, log, log. i i Dowód: Dla r, r mamy log log i i i logr r r r log lr r i l r i l r i log log Poadto: log l iarg l iarg iarg. 8/8