Rozwiązanie równania różniczkowego MES

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązanie równania różniczkowego MES"

Renata Jakubowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Rozwiązani równania różniczkowgo MES Jrzy Pamin -mail: Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki Krakowskij Strona domowa: Modl fizyczny 1D - pręt Pręt pod obciążnim rozłożonym problm brzgowy û EAconst l P l x, u p x (x) (1) Równowaga dn dx N p x (2) Kinmatyka ɛ du dx u (3) Fizyka N EAɛ Podstawiając (3) (2): (4) Siła-przm. N EAu Podstawiając (4) (1): Modl lokalny: EAu p x Dwa warunki brzgow: podstawowy albo naturalny Z lwj x : u û albo u P EA Z prawj x l: u l û l albo u l P l EA Problm dobrz postawiony gdy min. 1 warunk brzgowy jst podstawowy W.b. moż być jdnorodny lub nijdnorodny Np. u i u l P l EA

2 Mtoda rsiduów ważonych W MES punktm wyjścia jst modl globalny. Zasada prac wirtualnych lub minimum całkowitj nrgii potncjalnj gnrują modl globaln. Jśli znany jst modl lokalny, można zastosować tzw. mtodę rsiduów ważonych. Równoważny modl globalny Zapisujmy równani różniczkow jako warunk zrowania rsiduum R(x) EAu (x) + p x (x) Poszukujmy rozwiązania przybliżongo ũ dla którgo R(x) EAũ (x) + p x (x) W mtodzi rsiduów ważonych żądamy aby w(x)r(x)dx Warunki brzgow muszą być spłnion Mtoda rsiduów ważonych Słab (globaln) sformułowani Podstawiamy za rsiduum w (EAu + p x )dx w EAu dx + w p x dx Całkujmy przz części aby obniżyć wymagania odnośni ciągłości w EAu dx + [w EAu ] l + w p x dx Naturalny warunk brzgowy jst wprowadzany do członu brzgowgo, podstawowy warunk brzgowy nalży spłnić. Dopuszczalna jst aproksymacja funkcją o ciągłości C.

3 Mtoda rsiduów ważonych Zasada prac wirtualnych Słaba forma równania MRW w EAu dx [w EAu ] l + w p x dx Funkcja wagowa jst intrprtowana jako wariacja przmiszcznia podłużngo δu δu EAu dx [δu EAu ] l + δu p x dx δu Przpisujmy w postaci zasady prac wirtualnych δɛ Ndx [δu N] l + δu p x dx, δw int δw xt δu Przmiszczni wirtualn δu spłnia jdnorodn podstawow warunki brzgow (jst kinmatyczni dopuszczaln). Rozwiązani przybliżon Mtoda Bubnowa-Galrkina Słab sformułowani problmu brzgowgo w EAu dx [w EAu ] l + w p x dx plus w.b. Załóżmy aproksymację globalną ũ w postaci n ũ φ + φ i c i φ + φc φ, φ i, i 1... n (znan, liniowo nizalżn) funkcj bazow i1 (φ spłnia nijdnorodn podstawow w.b., φ i spłnia jdnorodn podstawow w.b.) c i (niznan) współczynniki Funkcja wagowa jst aproksymowana z użycim tych samych funkcji bazowych n w φ i b i φb i1 Podstawiamy aproksymacj do równania całkowgo, któr ma być spłnion dla każdgo b i, i otrzymujmy układ n równań algbraicznych o n niwiadomych c i, który łatwo rozwiązać.

4 Mtoda lmntów skończonych Przykładow zagadnini Rozwiąż problm brzgowy u (x) + 6x 2 x (, 1), w.b. u() 1, u (1) 1 2 stosując MES w sformułowaniu Galrkina i 2 lmnty z intrpolacją liniową. Rozwiązani analityczn u (x) 6x 2 u (x) 2x 3 + C u(x) 1 2 x4 + Cx + D u analit 1 2 x x + 1 Mtoda rsiduów ważonych Modl globalny otrzymany MRW R u (x) + 6x 2, wu dx + w(x)r(x)dx w 6x 2 dx Zakładamy, ż rozwiązani dokładn ma ciągłość C 1 Sformułowani słab w u dx + [wu ] 1 + w 6x 2 dx ( 1) w u dx w(1)u (1) + w()u () w 6x 2 dx, u() 1 Na podstawi w.b. u (1) 1 2, wartość u () jst niznana

5 Dyskrtyzacja MES 2 lmnty z liniową intrpolacją x 1.5 x 2 1 x u i i x i x j u j j Topologia 1 i 1 j 2 2 i 2 j 3 Transformacja x (, l ) x x + a a 1, a 2.5 Funkcj kształtu N i 1 x l 1 2x N j x l 2x N [ [N i, N ] j ] d ui u j Aproksymacja Bubnowa-Galrkina u u Nd, w w Nb b T N T Równania MES Równani całkow dla lmntu skończongo w u dx w(l )u (l ) + w( )u ( ) w 6x 2 dx w u dx w(l )u (l ) + w( )u ( ) w 6(x + a ) 2 dx Podstawiamy intrpolację u Nd, w b T N T, żądamy spłninia b b T N T N d dx b T N T (l )u (l )+b T N T ( )u ( ) b T N T 6(x +a ) 2 dx Uwaga: pochodn na brzgu u ( ) i u (l ) ni są aproksymowan. N T N d dx N T (l )u (l )+N T ( )u ( ) N T 6(x +a ) 2 dx Podstawiamy N T (l ) 1, N T ( 1 ) N T N dx d u ( l ) u (l N T 6(x + a ) 2 dx )

6 Równania MES Macirz lmntu skończongo K N T N dx d [ u ( ) u (l ) N T N dx, p ] Pochodn funkcji kształtu N [ 2, 2] Macirzow równani MES N T 6(x + a ) 2 dx N T 6(x +a ) 2 dx, p b [ u ( ) u (l ) ] K d p b p K d p + p b Modl numryczny na poziomi lmntu Oblicznia Obliczamy macirz dla każdgo lmntu.5 [ K 1 K dx p 1 1 2x 1 2x 1 6(x 1 ) 2 dx [ p 2 1 2x (2) 2x (2) 6(x (2) +.5) 2 dx (2) p 1 u b ( 1 ) u (l 1, p 2 u ) b ( 2 ) u (l 2 ) ] ]

7 Globalny układ równań Agrgacja (assmbly) Dodajmy macirz lmntow do wyzrowanych macirzy globalnych zgodni z topologią K K, d d, p p, p b p b, K p b Kd p + p b d u 1 u 2 p u ( 1 ) u (l 1 ) u ( 2 ) u (l 2 ) u 3 u () u (1) Warunki brzgow i rozwiązani Układ 3 równań o 5 niwiadomych u 1 u 2 u u () u (1) al mamy jszcz warunki brzgow u 1 u() 1 oraz u (1).5! Uwaga: do tgo momntu rozwiązani jst nizalżn od warunków brzgowych. Układ 3 równań o 3 niwiadomych u 2 u Najpiirw rozwiązujmy równania 2 i 3, potm równani 1 u , u 3 2, u () 1.5 u ().5

8 Rozwiązani Porównani rozwiązania przybliżongo i analityczngo Rozwiązani Pochodna rozwiązania

Podobne dokumenty

MES dla ustrojów prętowych (statyka)

MES dla ustrojów prętowych (statyka) Jrzy Pamin -mail: jpamin@l5.pk.du.pl Piotr Pluciński -mail: pplucin@l5.pk.du.pl Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki