Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.

Transkrypt

1 Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej ora wnacenie punktów smetrcnie równoważnch w oparciu o rachunek macierow. Wstęp teoretcn. Diałanie elementów smetrii makroskopowej (środka smetrii, płascn smetrii, osi smetrii i inwersjnch osi smetrii) można predstawić a pomocą rachunku macierowego. Ab utworć macier repreentującą pewien element smetrii waną macierą smetrii S, wstarc ustalić, jakie współrędne uskają wektor baowe w wniku diałania tego elementu, a następnie wstawić je kolejno jako kolumn macier smetrii. Kolumn macier smetrii odpowiadają współrędnm wektorów baowch [], [] i [] po transformacji (po diałaniu danego elementu smetrii). Punkt o współrędnch,, ostaje prekstałcon na punkt o współrędnch ', ', ' diałaniem pewnego elementu smetrii. Nowe współrędne są wiąane e współrędnmi wjściowmi popre transformację liniową: s s2 s3 s2 s22 s23 s 3 s32 s33 Rachunek macierow jest wkorstwan do wnacania położeń punktów smetrcnie równoważnch. Zbiór punktów uskanch w wniku diałania operacji smetrii wstępującch w komórce elementarnej nawam punktami (pocjami) smetrcnie równoważnmi. Położenia wsstkich punktów smetrcnie równoważnch otrmuje się diałając macierą prekstałcenia na punkt,, i kolejne punkt równoważne tak długo, aż wróci się do punktu wjścia. Środek smetrii Macier smetrii dla środka smetrii ma postać: I nv - - -

2 Prekstałcenie wględem środka smetrii mienia naki wsstkich trech współrędnch. Mnożąc pre tę macier współrędne dowolnego punktu o współrędnch,,, uskam współrędne tego punktu,, po jego prekstałceniu wględem środka smetrii Płascna smetrii Maciere płascn smetrii są onacane literą M ora wskaźnikami płascn równoległej do danej płascn smetrii. M () : Tablica. Macierowe repreentacje różnie położonch płascn smetrii Płascna smetrii Macier smetrii Płascna smetrii Macier smetrii m () m () m () m () nv I

3 Osie smetrii Macier smetrii charakterstcną dla każdej osi nawa się generatorem osi smetrii. Dla każdej n-krotnej osi smetrii generatorem jest macier obrotu wokół tej osi o kąt powtaralności 36/n. Generator osi smetrii onacon jest smbolem krotności osi wra kierunkiem równoległm do danej osi. Np. generator dla osi 4 (macier smetrii) wdłuż kierunku [] ma postać: 4 [] : Prkład: Korstając rachunku macierowego podać współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch diałaniem osi 4 równoległej do kierunku []. 4 [] : 4 [] :,,,,,,,,

4 Maciere smetrii (generator) dla osi smetrii w układie heksagonalnm i trgonalnm określam rsunku predstawiającego kierunki w układie heksagonalnm, biorąc pod uwagę trójwskaźnikowe smbole kierunków. Prkład: Korstając rachunku macierowego podać współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch diałaniem osi 3 równoległej do kierunku []. 3 []: Kierunki w układie heksagonalnm 3 [] :,,, -, -,, Osie inwersjne Osie inwersjne są sprężeniem prekstałcenia wględem osi smetrii prekstałceniem wględem środka smetrii. W rachunku macierowm macier smetrii osi inwersjnch odpowiada ilocnowi macier repreentującej inwersję ora macier repreentującej obrót. Prkład: Jeżeli pre macier inwersji pomnożm generator 2-krotnej osi smetrii w kierunku []: Inv 2 [] = M () Otrmam macier smetrii repreentującą diałanie płascn m prostopadłej do osi X [].

5 Wkonanie ćwicenia: Zadanie Utworć maciere smetrii repreentacjne dla następującch elementów smetrii makroskopowej: a) płascn m prostopadłej do kierunku [] b) osi 2 równoległej do kierunku [] c) osi 6 równoległej do kierunku [] d) osi 3 inwersjnej równoległej do kierunku [] Zadanie 2 Korstając rachunku macierowego podaj współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch pre: a) oś 2 równoległą do kierunku [] b) oś 6 równoległą do kierunku [] c) oś 6 inwersjną równoległą do kierunku [] d) płascnę smetrii prostopadłą do kierunku [] Zadanie 3 Predstaw geometrcn i analitcn opis diałania: a) osi cterokrotnej 4 [] na wektor [] b) osi trójkrotnej 3 [] na wektor [] Literatura. Z. Traska-Durski, H. Traska-Durska, Podstaw krstalografii strukturalnej irentgenowskiej, PWN Warsawa Z. Traska-Durski i H. Traska-Durska Podstaw krstalografii, Oficna Wdawnica Politechniki Warsawskiej, Warsawa Z. Bojarski, M. Gigla, K. Stróż, M. Surowiec, Materiał do nauki krstalografii podręcnik wspomagan komputerowo PWN Warsawa Z. Kosturkiewic, Metod krstalografii, Wdawnictwo Naukowe UAM, Ponań Z. Bojarski, H. Habla i M. Surowiec, Materiał do nauki krstalografii, PWN, Warsawa M. Van Meerssche i J. Feneau-Dupont, Krstalografia i chemia strukturalna, PWN, Warsawa 984.