Przykład 1 modelowania jednowymiarowego przepływu ciepła

Transkrypt

1 Przykład 1 modlowania jdnowymiarowgo przpływu cipła 1. Modl przpływu przz ścianę wilowarstwową Ściana składa się trzch warstw o różnych grubościach wykonana z różnych matriałów. Na jdnj z ścian zwnętrznych dana jst tmpratura T 0 na przciwlgłj znana jst tmpratura otocznia T ot oraz współczynnik wymiany cipła α. Okrślić tmpratury w koljnych warstwach ściany: Dan: λ 1 20 W/m C, λ 2 30 W/m C, λ 3 50 W/m C, 10.2m, 20.1m, 10.1m α 25 W/m 2 C, T ot 800 C, T 0 20 C 2. Dyskrtyzacja - podział na lmnty skończon Wyróżniono 3 liniow lmnty skończon (4 węzły) 3. Wyznaczni lokalnych macirzy przwodności ciplnj okalna macirz przwodności ciplnj dla liniowgo lmntu 1D: k λ gdzi: λ przwodność ciplna lmntu skończongo,, długość lmntu skończongo W przykładzi nalży wyznaczyć 3 lokaln macirz przwodności ciplnj, poniważ wyróżniono 3 lmnty skończon λ1 1 1 k11 k 12 2 λ2 1 1 k11 k 12 3 λ 3 k11 k 12 k k k k22 2 k k k22 3 k k22

2 Zastosowania MES aboratorium 1 str.1 4. Agrgacja Zagrgowana macirz przwodności ciplnj dla przykładu ma postać: K k11 k k k22 + k11 k k k22 + k11 k k k22 5. Uwzględnini warunków brzgowych mtoda kary Zgodni z schmatm mtody kary dla zadania przpływu cipła (str.2) modyfikacji podlgają lmnty lżąc na przkątnj globalnj macirzy przwodności ciplnj oraz prawa strona równania (macirz struminia cipła R). W węźl nr 1 występuj warunk brzgowy 3 rodzaju (WB3), natomiast w węźl nr 4 warunk brzgowy 1pirwszgo rodzaju (WB2): k11 + α k T1 α T ot T 2 0 k k + k k k T k22 + k11 k k T k22 + C 4 CT0 6. Rozwiązani układu równań MES Zastosowani mtody kary umożliwia potraktowani wktora tmpratur węzłowych jako niwiadomj w równaniu MES: KT R Odpowiada to przkształcniu równania do postaci -1 TK R

3 Zastosowania MES aboratorium 1 str.2 7. Kod do programu Sciab dla powyższgo przykładu clar clc //okrślni długości poszczgólnych lmntów 10.2; 20.1; 30.1; //okrślni współczynników przwodności ciplnj lam120; lam230; lam350; //okrślni warunków brzgowych alfa25; Tot800; T020; //wyznaczni macirzy przwodności ciplnj poszczgólnych lmntów K1lam1/1*[1, -1; -1, 1] K2lam2/2*[1, -1; -1, 1] K3lam3/3*[1, -1; -1, 1] //Zainicjowani globalnj macirzy sztywności KGzros(4,4) //Agrgacja globalnj macirzy sztywności KG(1:2,1:2)KG(1:2,1:2)+K1 KG(2:3,2:3)KG(2:3,2:3)+K2 KG(3:4,3:4)KG(3:4,3:4)+K3 //Zainicjowani macirzy kolumnowj węzłowych strumini cipła Rzros(4,1) //Uwzględnini warunków brzgowych - mtoda kary Cmax(KG)*10^4; //Okrślni stałj C R(1,1)R(1,1)+(alfa*Tot) R(4,1)R(4,1)+(C*T0) KG(1,1)KG(1,1)+alfa KG(4,4)KG(4,4)+C //Rozwiązani układu równań Tinv(KG)*R; //wyświtlni wktora węzłowych tmpratur T disp(t)

4 Zastosowania MES aboratorium 1 str.3 Przykład 2 modlowania jdnowymiarowgo przpływu cipła (uwzględnini wwnętrznych źródł cipła) 1. Modl jdnowymiarowgo przpływu cipła z wwnętrznym źródłm cipła. W płyci o grubości 25cm i współczynniku przwodności ciplnj λ0.8w/m C gnrowan jst cipło w wydajności 4000 W/m 3. Zwnętrzną powirzchnię płyty z obydwu stron opływa powitrz o tmpraturz 30 C. Współczynnik wnikania cipła wynosi α20w//m 2 C. Wyznaczyć rozkład tmpratury wwnątrz płyty. Dan: λ 0.8 W/m C, α 20 W/m 2 C, T ot 30 C, Q 4000 W/m 3 2. Dyskrtyzacja - podział na lmnty skończon Zadani to można zamodlować jako zadani symtryczn, poniważ oś pionowa prostopadła do płyty przchodząca przz jj środk dzili układ na dwi symtryczn połówki. Symtria dotyczy gomtrii oraz warunków brzgowych. W zagadniniach przpływu cipła w węzłach lżących na osi symtrii zadaj się warunk adiabatyczny (izolacji), tj. warunk brzgowy drugigo rodzaju w którym strumiń cipła q jst równy 0. Symtryczną połowę układu podzilono na 2 lmnty skończon. 3. Wyznaczni lokalnych macirzy przwodności ciplnj okalna macirz przwodności ciplnj dla obydwu lmntów będzi idntyczna poniważ lmnty posiadają tn sam współczynnik przwodności ciplnj oraz tę samą długość, tj. 0,0625m: 4. Agrgacja 1,2 λ 1 1 k Zagrgowana macirz przwodności ciplnj dla przykładu ma postać: k11 k K k k22 + k11 k k k Wyznaczni oraz zagrgowani macirzy kolumnowj struminia cipła Poniważ wydajność wwnętrzngo źródła cipłą jst równa 4000 W/m, to w każdym lmnci o długości m wydzili się 250W cipła (Q*4000*0.0625). Każdy z zastosowanych tu lmntów skończonych posiada 2 węzły więc w każdym z węzłów nalży zadać 125W cipła. Agrgacja powoduj, ż dla węzła wspólngo lmntom skończonym 1 i 2 wartość struminia cipła w węźl wynosi 250W.

5 Zastosowania MES aboratorium 1 str.4 Q / 2 0 Q / R Q / 2 Q / 2 Q Q / 2 Q / Uwzględnini warunków brzgowych mtoda kary Zgodni z schmatm mtody kary dla zadania przpływu cipła - w globalnj macirzy przwodności ciplnj K do lmntu o indksi (3,3) dodawany jst współczynnik α - do globalngo wktora struminia cipła R do lmntu o indksi (3,1) dodawany jst iloczyn α i T ot 8. Rozwiązani układu równań MES Podobni jak w poprzdnim przykładzi rozwiązujmy układ równań: KT R z którgo wyznaczamy węzłow wartości tmpratur 9. Kod do programu Sciab dla powyższgo przykładu clar clc //okrślni długości poszczgólnych lmntów ; ; //okrślni współczynników przwodności ciplnj lam10.8; lam20.8; //okrślni warunków brzgowych alfa20; Tot30; //zdfiniowani wydajności wwnętrznych źdódł cipła Q4000; //wyznaczni macirzy przwodności ciplnj poszczgólnych lmntów K1lam1/1*[1, -1; -1, 1] K2lam2/2*[1, -1; -1, 1] //Zainicjowani globalnj macirzy sztywności KGzros(3,3) //Agrgacja globalnj macirzy sztywności KG(1:2,1:2)KG(1:2,1:2)+K1 KG(2:3,2:3)KG(2:3,2:3)+K2 //Zainicjowani macirzy kolumnowj węzłowych strumini cipła globalnj oraz lokalnych dla lmntów Rzros(3,1) R1zros(2,1) R2zros(2,1) //Uwzględnini wwnętrzngo źródła cipła w macirzy kolumnowj węzłowych strumini cipła R1(1:2,1)Q*1/2 R2(1:2,1)Q*2/2 //Agrgacja globalnj macirzy strumni cipła R(1:2,1)R(1:2,1)+R1 R(2:3,1)R(2:3,1)+R2 //Uwzględnini warunków brzgowych - mtoda kary Cmax(KG)*10^4; //Okrślni stałj C R(3,1)R(3,1)+(alfa*Tot) KG(3,3)KG(3,3)+alfa //Rozwiązani układu równań Tinv(KG)*R; //wyświtlni wktora przmiszczń Q disp(t)