Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h) f( 0) to h 0 h nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy f ( 0 ). Jeżeli pochodna istnieje w każdym puncie pewnego zbioru D, to przyporządkowanie każdemu D liczby f () nazywamy funkcją pochodną. Mówimy, że f() jest różniczkowalna w D. Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna f ( 0 ) jest równa tangensowi kąta jaki tworzy styczna do wykresu f() z osią układu O w punkcie 0. Równanie tej stycznej to: y y 0 = f ( 0 )( 0 ). Funkcja różniczkowalna jest ciągła. Twierdzenie odwrotne jest nieprawdziwe (np. f() = nie jest różniczkowalna chociaż jest ciągła w punkcie 0 = 0). Interpretacja fizyczna pochodnej Jeżeli t oznacza czas a s(t) jest długością drogi od początku ruchu do chwili t wtedy s (t 0 ) t 0 s(t 0+ t) s(t 0) t jest prędkością chwilową tego ruchu w chwili t 0. Definicja pochodnej Formalnie rzecz biorąc pochodna w punkcie jest granicą ilorazów różnicowych. Jednak do praktycznego liczenia pochodnych wystarczy znać wyłącznie pochodne funkcji elementarnych oraz kilka podstawowych wzorów. Pochodne funkcji elementarnych ˆ ( n ) = n n dla n R, w szczególności: (c) = 0 () = ( ) = ( ) = 2 ˆ (e ) = e, (a ) = a ln a, (ln ) =, (log a ) = ln a ˆ (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos 2, (ctg ) = sin 2 ˆ (arcsin ) =, (arccos ) =, (arc tan ) = +, (arc ctg ) = + Tych wzorów warto nauczyć się na pamięć, bo sprawdzanie za każdym razem pochodnej danej funkcji w tablicach (nawet jeśli te tablice ma się akurat pod ręką) jest czasochłonne. Liczenie pochodnych ˆ Pochodna sumy (różnicy) funkcji to suma (różnica) pochodnych: (f() ± g()) = f () ± g () ˆ Stałą zawsze można wyłączyć przed pochodną: (af()) = af () ˆ Pochodną iloczynu oblicza się według wzoru: (f()g()) = f ()g() + f()g () Liczenie pochodnych ˆ Pochodną ilorazu oblicza się według wzoru: ( f() g() ) = f ()g() f()g () (g()) 2 ˆ Pochodną funkcji złożonej oblicza się według wzoru: [f(g())] = f (g()) g () ˆ Pochodna funkcji odwrotnej przy pewnych założeniach to: (f ) ( 0 ) = Przykładowe pochodne ( 4 + 5 sin ln ) = 4 3 + 5 cos ( e ) = ( ) e + (e ) = 2e + e = e (2 + ) ( 2 ) = (2 ) e (e ) = 2e e = 2 2 e (e ) 2 e 2 e Nieznacznie trudniejsze jest obliczanie pochodnej funkcji złożonych: (sin(ln( + 4))) =... Póki nie nabierze się wprawy można podstawić za wnętrze funkcji zmienną t, tak aby nowa funkcja od t była funkcją elementarną:... = (sin t) t=ln(2 +4)=... Przykładowe pochodne Następnie obliczamy pochodną funkcji elementarnej, pamiętając o domnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej (czyli tej za którą wstawiliśmy zmienną t):... = cos t t t=ln(2 +4)=... i wracamy do podstawienia: f (y 0)
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 2... = cos(ln( + 4)) (ln( + 4)) =... I tak dalej. Jeśli nabierze się już wprawy, to można darować sobie wprowadzanie nowej zmiennej i liczyć w pamięci - pochodna logarytmu to odwrotność tego co w środku razy pochodna tego co w środku :... = cos(ln( + 4)) +4 (2 + 4) Kolejne przykłady pochodnych (2 ln tg 2 ) = 2 ln tg 2 ln 2 tg cos 2 2 (najbardziej zewnętrzną funkcją jest 2 t, stąd zaczynamy od liczenia jej pochodnej, a następnie domnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej) (e 2 arcsin ) = (e 2 ) arcsin + e 2 (arcsin ) = e 2 2 arcsin + e 2 Kolejne przykłady pochodnych Jeszcze jednym typem pochodnej jest pochodna z funkcji typu f() g() Oblicza się ją korzystając z przekształcenia: f() = e ln f() skąd f() g() = e g() ln f() i już mamy do czynienia ze zwykłą funkcją złożoną. Przykładowo: ( sin ) = (e sin ln ) = e sin ln (sin ln ) = sin (cos ln + sin ) Reguła de l Hospitala Jednym z wielu zastosowań pochodnych jest reguła de l Hospitala, czyli metoda obliczania granic w przypadku niektórych wyrażeń nieoznaczonych. Reguła ta to jedno z najsilniejszych narzędzi do obliczania granic. f() Jeśli obliczamy granicę (w punkcie lub w nieskończoności): i obie funkcje f, g dążą jednocześnie do zera lub a g() do nieskończoności, czyli mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0 0 ] lub [ ], to granicę można obliczyć według f() wzoru: a g() f () (o ile granica po prawej stronie istnieje) a g () Reguła de l Hospitala Przykłady: e e l Hospitala: (e e )... = (H) () ln sin 2 ln sin 2 tg tg 2 = (H) = 2 cos 2 2 cos 2 2 =... Łatwo widać, że mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0 ], zatem możemy użyć reguły de 0 = (H) = e + e = 2 2 cos 2 sin 2 cos sin = cos 2 2 cos 2 = Reguła de l Hospitala Niektóre inny typy nieoznaczoności można doprowadzić do postaci w której można użyć reguły de l Hospitala: ˆ Nieoznaczoność typu [0 ] Jeśli w iloczynie dwóch funkcji jedna dąży do zera, a druga do nieskończoności, możemy odwrócić (w sensie liczbowym) którąkolwiek z nich i w ten sposób otrzymać nieskończoność z założeń reguły de l Hospitala: (e ) ctg =... Oczywiście e dąży w zerze do zera, a ctg do nieskończoności. Ale: ctg = tg więc nasza granica jest równa: e = (H) tg Reguła de l Hospitala e cos 2 = ˆ Nieoznaczoność typu [ ] W takim wypadku można sprowadzić wyrażenie z którego liczymy granicę do wspólnego mianownika: ( sin ) sin sin = (H) = cos sin = (H) sin + cos 2 cos sin = 0 ˆ Nieoznaczoności typu [0 0 ], [ 0 ], [ ] W takim wypadku używamy podobnego przekształcenia jak w wypadku liczenia pochodnej funkcji typu f() g() : e ln ln = e (ostatnie przekształcenie wynika z ciągłości funkcji e ) Policzymy osobno granicę z wykładnika: 2
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 3 ln ln = (H) więc nasza granica to: e 0 = ( ) = 0 Reguła de l Hospitala Zadanie: Obliczyć ln( + ) Po prostu należy wyłączyć przed nawias. Ćwiczenia Oblicz pochodne funkcji: 2 ln( + ) 2 ( ln( + )) = ln( + ) = 0 0 2 + a) f() = e sin g) f() = b) f() = sin h) f() = e 2 + sin cos e c) f() = 2 tg i) f() = earcsin sin 3 2 d) f() = sin e 2 + j) f() = ln sin( + ) e) f() = ( + ) 202 k) f() = arcsin f) f() = arcsin ln arc tan l) f() = (sin ) Ćwiczenia Oblicz granice: a) cos e b) sin 2 c) arc tan 0 9 + 8 d) 7 6 + 5 e) ( ctg ) (e e ) 2 f) cos g) ( sin 2 ) h) tg 2 π i) ( ) tg 2 π j) ( ln ( + )) k) +( + )ln + 2 ( ) = 3 + 2 + 2 2 + 2 = 2 l) ( 2 π arc tan ) Ekstremum funkcji i monotoniczność Funkcja f() ma w punkcie 0 maksimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu 0, że S że S przedziału to f ( 0 ) = 0. f() < f( 0 ). Funkcja f() ma w punkcie 0 minimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu 0, f() > f( 0 ). Jeżeli funkcja f() jest różniczkowalna w przedziale otwartym i ma ekstremum w puncie 0 z tego Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f() jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu 0 i jest ciągła w puncie 0 wtedy: ˆ gdy pochodna f () przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z + na -, to funkcja ma maksimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f () > 0. ˆ gdy pochodna f () przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z - na +, to funkcja ma minimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f () < 0. Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f() jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu 0 i jest ciągła w puncie 0 wtedy: ˆ funkcja jest rosnąca w przedziale (a,b) gdy ˆ funkcja jest malejąca w przedziale (a,b) gdy f () > 0. (a,b) f () < 0. (a,b)
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 4 D D Ekstrema globalne Liczbę M nazywamy wartością największa (maksimum globalnym) funkcji f() w zbiorze D, jeśli f( ) = M f() M. D Liczbę M nazywamy wartością najmniejszą (minimum globalnym) funkcji f() w zbiorze D, jeśli f() M. Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f() ma pochodną w puncie 0 wtedy: f( ) = M D ˆ funkcja jest wypukła w puncie 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczną w tym puncie. ˆ funkcja jest wklęsła w puncie 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczną w tym puncie. Mówimy, że punkt ( 0, f( 0 )) jest puntem przegięcia funkcji gdy wypukłość zmienia się na wklęsłość w 0 lub odwrotnie tzn. wklęsłość na wypukłość. Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f () jest ciągła w pewnym przedziale otwartym (a,b) wtedy: ˆ gdy pochodna f () > 0 w tym przedziale to f() jest w tym przedziale wypukła. ˆ gdy pochodna f () < 0 w tym przedziale to f() jest w tym przedziale wklęsła. Przebieg zmienności funkcji Badając pierwszą i drugą pochodną funkcji można uzyskać informacje o samej funkcji. ˆ Pierwsza pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest rosnąca. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest malejąca. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest ekstremum lokalne. Przebieg zmienności funkcji ˆ Druga pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest wypukła. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest wklęsła. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest punkt przegięcia. Przykład Przykładowo jeśli chcemy znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f() =, to (po zauważeniu, że dziedzina to R) liczymy pierwszą pochodną: + f () = 2 + 2 = 2 = ( )(+) Widać stąd, że pochodna zeruje się tylko w punktach = i w =. Nietrudno ( +) 2 ( +) 2 ( +) 2 też zbadać (metodą wężyka ), że f () > 0 w przedziale (, ) oraz f () < 0 w przedziałach (, ) i (, + ). Przykład Wnioski na temat samej funkcji można sformułować słownie, ale najwygodniej jest przedstawić je w tabelce: (, ) (, ) (, ) f () 0 + 0 f() min ma Z tabelki można odczytać gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, a także, że ma minimum lokalne w = (równe f( ) = 2 ) oraz maksimum lokalne w = (równe f() = 2 ). Przykład Gdybyśmy natomiast chcieli znaleźć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji f() = 4 6 + 2 + 5, to trzeba znaleźć drugą pochodną: f () = 4 3 2 + 2 f () = 2 2 = 2( )( + ) Jak poprzednio bardzo łatwo sprawdzić gdzie druga pochodna się zeruje, gdzie jest dodatnia i gdzie jest ujemna. I jak poprzednio wnioski najwygodniej zamieścić w tabelce:
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 5 (, ) (, ) (, ) f () + 0 0 + f() p.p. p.p. Jak widać punkty przegięcia są w = (wówczas f() = 2) oraz w = (wówczas f( ) = 2). Uwaga!: Jeśli badamy pełen przebieg zmienności funkcji, to w pierwszym wierszu punktami wyróżnionymi muszą być miejsca zerowe obu pochodnych oraz punkty spoza dziedziny. Przebieg zmienności funkcji Wykorzystując całą zebraną do tej pory wiedzy możemy wyciągnąć wszystkie informacje o zachowaniu funkcji, czyli zbadać tytułowy przebieg zmienności funkcji. Schemat postępowania wygląda mniej więcej tak: Zebranie wstępnych informacji o funkcji: ˆ Dziedzina (koniecznie) ˆ Miejsca zerowe (niekoniecznie, ale warto wiedzieć gdzie wykres przecina oś OX) ˆ Parzystość, nieparzystość, okresowość (opcjonalnie) Asymptoty ˆ Granice na wszystkich końcach przedziałów określoności ˆ Wnioski na temat asymptot pionowych i poziomych ˆ Ewentualne szukanie asymptot ukośnych Przebieg zmienności funkcji Badanie pierwszej pochodnej ˆ Doprowadzenie pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych pochodnej oraz jej znaku Badanie drugiej pochodnej ˆ Doprowadzenie drugiej pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz jej znaku Tabelka Wykres ˆ Informacje o obu pochodnych zamieszczamy w tabelce i na ich podstawie wnioskujemy na temat zachowania funkcji W rozwiązaniu powinny być uwzględnione wszystkie istotne rzeczy choć nie koniecznie w podanej kolejności. Przykład Zbadajmy funkcję f() = e. Oczywiście jej dziedzina to D f = (, 0) (0, + ). Widać też, że w dziedzinie funkcja nie ma miejsc zerowych. Poszukajmy zatem asymptot, zaczynając od liczenia granic na końcach przedziałów określoności: e = [ 0 ] = 0 + e = (H) + e = + e = [ 0 ] = + e = [ ] = + Możemy zatem wywnioskować, że obustronną asymptotą pionową jest +0 = 0, lewostronną asymptotą poziomą jest y = 0, natomiast nie ma asymptoty poziomej prawostronnej. Analogiczny rachunek (dwukrotnie użyta reguła de l Hospitala) pokazuje, że nie ma też prawostronnej asymptoty ukośnej. Przykład Przejdźmy więc do analizy pochodnych. Mamy: oraz f () = e e f () = e e ( ) 2 = e ( ) Łatwo widać, że pierwsza pochodna zeruje się w jedynce, dla argumentów mniejszych 4 od jedynki jest ujemna, a dla większych od jedynki dodatnia. Natomiast druga pochodna nie ma miejsc zerowych, ale jest dodatnia dla iksów dodatnich i ujemna dla ujemnych. Zamieśćmy te informacje w tabelce: Przykład = e ( 2+2) 3 (, 0) 0 (0, ) (, ) f () 0 + f () + + f() min
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 6 Minimum lokalne w jedynce jest równe f() = e Wypełnianie tabelki należy zacząć od pierwszego miejsca - wyróżniamy w nim wszystkie miejsca zerowe obu pochodnych, punkty które wypadły z dziedziny oraz wszystkie przedziały między tymi punktami. Następnie uwzględniamy dziedzinę, to znaczy wykreślamy te miejsca, w których funkcja i jej pochodne nie istnieją. Później wypełniamy kolejne wiersze, zapisując w nich informacje uzyskane przy badaniu obu pochodnych (tzn. znak i miejsca zerowe), a na koniec uzupełniamy ostatni wiersz na podstawie dwóch wcześniejszych. Przykład Na końcu na podstawie asymptot i tabelki możemy zrobić wykres funkcji: Ćwiczenia Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) f() = 3 + 3 9 + 2 b) f() = 3 +2 c) f() = +2 d) f() = ( 3)e Znajdź przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f() = 4 6 + + 3 b) f() = ln( + 4) c) f() = ( + )e d) f() = ln Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f() = e b) f() = 2